【正文】 ， ∠ CAD=∠ BAF， ∠ DAF=90176。， ∵∠ BAC=90176。， ∠ DAE=45176。， ∴∠ BAE+∠ DAC=45176。， ∴∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAC+∠ BAE=45176。， ∴① 正確； 即 ∠ FAE=∠ DAE=45176。， 在 △ FAE 和 △ DAE 中 ∴△ FAE≌△ DAE（ SAS）， ∴∠ FEA=∠ DEA， 即 EA 平分 ∠ CEF， ∴② 正確； 第 40 頁(yè)（共 48 頁(yè)） ∴ EF=DE， ∵ 將 △ ADC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。后，得到 △ AFB， ∴∠ C=∠ FBA=45176。， BF=DC， ∵∠ ABC=45176。， ∴∠ FBE=45176。+45176。=90176。， 在 Rt△ FBE 中，由勾股定理得： BE2+BF2=EF2， ∵ BF=DC， EF=DE， ∴ BE2+DC2=DE2， ∴③ 正確； 不能推出 BE=DC， ∴④ 錯(cuò)誤； 故答案為： ①②③ ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共 9 個(gè)小題，共 78 分 .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 19．（ 24 分）（ 2022 秋 ?槐蔭區(qū)期中）（ 1）計(jì)算： ﹣ （ 2）計(jì)算： 247。 （ 3）計(jì)算： ﹣ 3 （ 4）因式分解： m3n﹣ 9mn． （ 5）因式分解： a2（ x﹣ y） +4b2（ y﹣ x） （ 6）因式分解： 25（ x﹣ y） 2+10（ y﹣ x） +1． 【考點(diǎn)】 二次根式的混合運(yùn)算；提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】 （ 1）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可； （ 2）利用二次根式的乘除法則運(yùn)算； （ 3）利用二次根式的除法法則運(yùn)算； （ 4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解； （ 5）先提公因式（ x﹣ y），然后利用平方差公式因式分解； （ 6）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解． 第 41 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【解答】 解：（ 1）原式 =3 ﹣ = ； （ 2）原式 = =10 ； （ 3）原式 = + ﹣ 3 =3+1﹣ 3 =1； （ 4）原式 =mn（ m2﹣ 9） =mn（ m+3）（ m﹣ 3）； （ 5）原式 =a2（ x﹣ y）﹣ 4b2（ x﹣ y） =（ x﹣ y）（ a2﹣ 4b2） =（ x﹣ y）（ a+2b）（ a﹣ 2b）； （ 6）原式 =25（ x﹣ y） 2﹣ 10（ x﹣ y） +1． =[5（ x﹣ y）﹣ 1]2 =（ 5x﹣ 5y﹣ 1） 2． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最 簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．也考查了因式分解． 20．如圖，一架長(zhǎng)為 5 米的梯子 AB 斜靠在與地面 OM 垂直的墻 ON 上，梯子底端距離墻 ON 有 3 米． （ 1）求梯子頂端與地面的距離 OA 的長(zhǎng)． （ 2）若梯子頂點(diǎn) A 下滑 1 米到 C 點(diǎn)，求梯子的底端向右滑到 D 的距離． 第 42 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 勾股定理的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）已知直角三角形的斜邊和一條直角邊，可以運(yùn)用勾股定理計(jì)算另一條直角邊； （ 2）在直角三角形 OCD 中，已知斜邊仍然是 5， OC=4﹣ 1=3，再根據(jù)勾股定理求得 OD 的長(zhǎng)即可． 【解答】 解：（ 1） AO= =4 米； （ 2） OD= =4 米， BD=OD﹣ OB=4﹣ 3=1 米． 【點(diǎn)評(píng)】 能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，考查了勾股定理的應(yīng)用． 21．某港口位于東西方向的海岸線上． “遠(yuǎn)航 ”號(hào)、 “海天 ”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行， “遠(yuǎn)航 ”號(hào)每小時(shí)航行 16 海里， “海天 ”號(hào)每小時(shí)航行 12海里．它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距 30 海里． （ 1）求 PQ、 PR 的長(zhǎng)． （ 2）如果知道 “遠(yuǎn)航 ”號(hào)沿 東北方向航行，能知道 “海天 ”號(hào)沿哪個(gè)方向航行？為什么？ 【考點(diǎn)】 勾股定理的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)路程 =速度 時(shí)間計(jì)算即可． （ 2）利用勾股定理的逆定理證明 ∠ QPR=90176。即可． 【解答】 解：根據(jù)題意，得 （ 1） PQ=16 =24（海里）， PR=12 =18（海里）， （ 2） ∵ PQ2+PR2=242+182=900， QR2=900 ∴ PQ2+PR2=QR2， ∴∠ QPR=90176。． 第 43 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 由 “遠(yuǎn)航號(hào) ”沿東北方向航行可知， ∠ QPS=45176。，則 ∠ SPR=45176。，即 “海天 ”號(hào)沿西北方向航行． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系，勾股定理的逆定理、方位角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 22．如圖所示，把一副直角三角板擺放在一起， ∠ ACB=30176。， ∠ BCD=45176。， ∠ ABC=∠ BDC=90176。，量得 CD=20cm，試求 BC、 AC 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 勾股定理． 【分析】 在直角 △ BCD 中，利用勾股定理求得 BC 的長(zhǎng)度；然后在直角 △ ABC 中由 “30 度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 ”和勾股定理來(lái)求 AB 的長(zhǎng)度，則 AC=2AB． 【解答】 解： ∵ BD=CD=20， ∴ BC= = =20 （ cm） 設(shè) AB=x，在 Rt△ ABC 中， ∵∠ ACB=30176。，則 AC=2x． ∵ 由勾股定理得 AB2+BC2=AC2， ∴ x2+（ 20 ） 2=（ 2x） 2， 得 x2= ，又 x＞ 0， ∴ x= ， 即 AC=2AB= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方． 第 44 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 23．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)． （ 1）在圖 1 中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為 10 的正方形； （ 2）在圖 2 中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為 、 ； （ 3）如圖 3，點(diǎn) A、 B、 C 是小正方形的頂點(diǎn)，求 ∠ ABC 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 勾股定理． 【分析】 （ 1）根據(jù)勾股定理畫(huà)出邊長(zhǎng)為 的正方形即可； （ 2）根據(jù)勾股定理和已知畫(huà)出符合條件的三角形即可； （ 3）連接 AC、 CD，求出 △ ACB 是等腰直角三角形即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1 的正方形的邊長(zhǎng)是 ，面積是 10； （ 2）如圖 2 的三角形的邊長(zhǎng)分別為 2， ， ； （ 3）如圖 3，連接 AC， CD， 則 AD=BD=CD= = ， ∴∠ ACB=90176。， 由勾股定理得： AC=BC= = ， ∴∠ ABC=∠ BAC=45176。． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了勾股定理，三角形的面積，直角三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和動(dòng)手操作能力． 第 45 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 24．如表格是李剛同學(xué)一學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)的記錄，根據(jù)表格提供的信息回答下面的問(wèn)題 考試類別 平時(shí) 期中考試 期末考試 第一單元 第二單元 第三單元 第四單元 成績(jī) 86 86 90 92 90 96 （ 1）李剛同學(xué) 6 次成績(jī)的極差是 10 分 ． （ 2）李剛同學(xué) 6 次成績(jī)的中位數(shù)是 90 分 ． （ 3）李剛同學(xué)平時(shí)成績(jī)的平均數(shù)是 89 分 ． （ 4）利用如圖的權(quán)重計(jì)算一下李剛本學(xué)期的綜合成績(jī)（平時(shí)成績(jī)用四次成績(jī)的平均數(shù)寫(xiě)出解題過(guò)程，每次考試滿分都是 100 分）． 【考點(diǎn)】 扇形統(tǒng)計(jì)圖；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；極差． 【分析】 （ 1）用最大值減去最小值即可求得極差； （ 2）排序后位于中間位置的數(shù)是中位數(shù)； （ 3）用算術(shù)平均數(shù)的公式直接計(jì)算即可； （ 4）用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式直接計(jì)算即可． 【解答】 解：（ 1）極差為： 96﹣ 86=10 分； （ 2）中位數(shù)為（ 90+90） 247。 2=90 分； （ 3）平均數(shù)是（ 86+86+90+92+90+96） 247。 6=90 分； （ 4）綜合成績(jī)?yōu)?96 60%+90 30%+89 10%=． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖及有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，難度較小，關(guān)鍵是計(jì)算要認(rèn)真仔細(xì)． 25．（ 12 分）（ 2022 春 ?張家港市期末）已知， △ ABC 是邊長(zhǎng) 3cm 的等邊三角形．動(dòng)點(diǎn) P 以 1cm/s 的速度從點(diǎn) A 出發(fā)，沿線段 AB 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)． （ 1）如圖 1，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ s），那么 t= （ s）時(shí)， △ PBC 是直第 46 頁(yè)（共 48 頁(yè)） 角三角形； （ 2）如圖 2，若另一動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿線段 BC 向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn) P、Q 都以 1cm/s 的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ s），那么 t 為何值時(shí)， △ PBQ是直角三角形？ （ 3）如圖 3，若另一動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動(dòng)．連接 PQ 交 AC于 D．如果動(dòng)點(diǎn) P、 Q 都以 1cm/s 的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（ s），那么t 為何值時(shí)， △ DCQ 是等腰三角形？ （ 4）如圖 4，若另一動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運(yùn)動(dòng)．連接 PQ 交 AC于 D，連接 PC．如果動(dòng)點(diǎn) P、 Q 都以 1cm/s 的速度同時(shí)出發(fā)．請(qǐng)你猜想：在點(diǎn) P、Q 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， △ PCD 和 △ QCD 的面積有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積；等腰三角形的判定． 【分析】 （ 1）當(dāng) △ PBC 是直角三角形時(shí)， ∠ B=60176。，所以 BP=，即可算出 t的值； （ 2）因?yàn)?∠ B=60176。，可選取 ∠ BPQ=90176?；?∠ BQP=90176。，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BP 長(zhǎng)，即可算出 t 的大小； （ 3）因?yàn)?∠ DCQ=120176。，當(dāng) △ DCQ 是等腰三角形時(shí)， CD=CQ，然后可證明 △ APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出 t 的值； （ 4）面積相等．可通過(guò)同底等高驗(yàn)證． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) △ PBC 是直角三角形時(shí)， ∠ B=60176。， ∠ BPC=90176。，所以 BP=， 所以 t= （ 2 分） 第 47 頁(yè)（共 48 頁(yè)） （ 2）當(dāng) ∠ BPQ=90176。時(shí)， BP=， 3﹣ t=，所以 t=2； 當(dāng) ∠ BQP=90176。時(shí)， BP=2BQ， 3﹣ t=2t，所以 t=1； 所以 t=1 或 2（ s） （ 3）因?yàn)?∠ DCQ=120176。，當(dāng) △ DCQ 是等腰三角形時(shí)， CD=CQ， 所以 ∠ PDA=∠ CDQ=∠ CQD=30176。， 又因?yàn)?∠ A=60176。， 所以 AD=2AP， 2t+t=3， 解得 t=1（ s）；（ 2 分） （ 4）相等，如圖所示： 作 PE 垂直 AD， QG 垂直 AD 延長(zhǎng)線，則 PE∥ QG， 所以， ∠ G=∠ AEP， 因?yàn)?， 所以 △ EAP≌△ GCQ（ AAS）， 所以 PE=QG，所以， △ PCD 和 △ QCD 同底等高，所以面積相等． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查對(duì)于勾股定理的應(yīng)用和等腰三角形的判定，還要注意三角形面積的求法． 第 48 頁(yè)（共 48 頁(yè)）