【正文】 又因為 ∠ A=60176。時， BP=2BQ， 3﹣ t=2t，所以 t=1； 所以 t=1 或 2（ s） （ 3）因為 ∠ DCQ=120176。所以 BP=， 所以 t= （ 2 分） 第 47 頁（共 48 頁） （ 2）當(dāng) ∠ BPQ=90176。當(dāng) △ DCQ 是等腰三角形時， CD=CQ，然后可證明 △ APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出 t 的值； （ 4）面積相等．可通過同底等高驗證． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) △ PBC 是直角三角形時， ∠ B=60176?；?∠ BQP=90176。所以 BP=，即可算出 t的值； （ 2）因為 ∠ B=60176。 2=90 分； （ 3）平均數(shù)是（ 86+86+90+92+90+96） 247。 由勾股定理得： AC=BC= = ， ∴∠ ABC=∠ BAC=45176。量得 CD=20cm，試求 BC、 AC 的長． 【考點】 勾股定理． 【分析】 在直角 △ BCD 中，利用勾股定理求得 BC 的長度；然后在直角 △ ABC 中由 “30 度角所對的直角邊等于斜邊的一半 ”和勾股定理來求 AB 的長度，則 AC=2AB． 【解答】 解： ∵ BD=CD=20， ∴ BC= = =20 （ cm） 設(shè) AB=x，在 Rt△ ABC 中， ∵∠ ACB=30176。 ∠ BCD=45176。則 ∠ SPR=45176。即可． 【解答】 解：根據(jù)題意，得 （ 1） PQ=16 =24（海里）， PR=12 =18（海里）， （ 2） ∵ PQ2+PR2=242+182=900， QR2=900 ∴ PQ2+PR2=QR2， ∴∠ QPR=90176。 在 Rt△ FBE 中，由勾股定理得： BE2+BF2=EF2， ∵ BF=DC， EF=DE， ∴ BE2+DC2=DE2， ∴③ 正確； 不能推出 BE=DC， ∴④ 錯誤； 故答案為： ①②③ ． 【點評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共 9 個小題，共 78 分 .解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 19．（ 24 分）（ 2022 秋 ?槐蔭區(qū)期中）（ 1）計算： ﹣ （ 2）計算： 247。+45176。 BF=DC， ∵∠ ABC=45176。 在 △ FAE 和 △ DAE 中 ∴△ FAE≌△ DAE（ SAS）， ∴∠ FEA=∠ DEA， 即 EA 平分 ∠ CEF， ∴② 正確； 第 40 頁（共 48 頁） ∴ EF=DE， ∵ 將 △ ADC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ∴∠ EAF=∠ BAF+∠ BAE=∠ DAC+∠ BAE=45176。 ∠ DAE=45176。后，得到 △ AFB， ∴△ AFB≌△ ADC， ∴ BF=DC， ∠ CAD=∠ BAF， ∠ DAF=90176。根據(jù)勾股定理即可判斷 ③ ，根據(jù)已知判斷 ④ 即可． 【解答】 解：正確的有 ①②③ ， 理由是： ∵ 在 Rt△ ABC 中， AB=AC， ∴∠ C=∠ ABC=45176。根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出 BF=DC， ∠ CAD=∠ BAF， ∠ DAF=90176。后，得到 △ AFB，連接 EF．下列結(jié)論中正確的有 ①第 39 頁（共 48 頁） ②③ ．（請將正確答案的序號填在橫線上） ①∠ EAF=45176。 ∴∠ DAC=∠ BCE， 在 △ ADC 和 △ CEB 中， ， ∴△ ADC≌△ CEB（ AAS）， ∴ DC=BE=7cm， ∴ AC= = = （ cm）， ∴ BC= cm， ∴ 該零件的面積為： =37（ cm2）． 故答案為： 37cm2． 【點評】 此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法． 18．如圖，在 Rt△ ABC 中， AB=AC， D、 E 是斜邊 BC 上兩點，且 ∠ DAE=45176。 ∵∠ ADC=90176。測得 AD=5cm， BE=7cm，則該零件的面積為 37cm2 ． 【考點】 全等三角形的應(yīng)用；等腰直角三角形． 【分析】 首先證明 △ ADC≌△ CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 DC=BE=7cm，再利用勾股定理計算出 AC 長，然后利用三角形的面積公式計算出該零件的面積即可． 【解答】 解： ∵△ ABC 是等腰直角三角形， ∴ AC=BC， ∠ ACB=90176。． 故選： A． 第 35 頁（共 48 頁） 【點評】 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)． 12．如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2，其面積標(biāo)記為 S1，以 CD 為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2， …按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則 S2022 的值為（ ） A．（ ） 2022 B．（ ） 2022 C．（ ） 2022 D．（ ） 2022 【考點】 等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意可知第 2 個正方形的邊長是 ，則第 3 個正方形的邊長是， …，進(jìn)而可找出規(guī)律，第 n 個正方形的邊長是 ，那么易求 S2022 的值． 【解答】 解：根據(jù)題意：第一個正方形的邊長為 2； 第二個正方形的邊長為： ； 第三個正方形的邊長為： ， … 第 n 個正方形的邊長是 ， 第 36 頁（共 48 頁） 所以 S2022 的值是（ ） 2022， 故選 C 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是找出第 n 個正方形的邊長． 二、填空題（本大題共 6 個小題 .每小題 4 分，共 24 分 .把答案填在題中橫線上 . 13．如圖中的三角形為直角三角形，字母 A 所在的正方形的面積是 16 ． 【考點】 勾股定理． 【分析】 根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理，知以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積． 【解答】 解：根據(jù)勾股定理，可知 A=25﹣ 9=16． 故答案為： 16． 【點評】 本題考查的是勾股定理，熟知以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積是解答此題的關(guān)鍵． 14． 1 的相反數(shù)是 ． 【考點】 實數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 如果兩數(shù)互為相反數(shù)，那么它們和為 0，由此即可求出 1﹣ 的相反數(shù)． 【解答】 解： 1﹣ 的相反數(shù)是 ﹣ 1． 故答案為： ﹣ 1． 【點評】 本題考查的是相反數(shù)的概念：兩數(shù)互為相反數(shù)，它們和為 0． 15．因式分解： xy﹣ x= x（ y﹣ 1） ． 【考點】 因式分解 提公因式法． 第 37 頁（共 48 頁） 【分析】 直接提公因式法 x，整理即可． 【解答】 解： xy﹣ x=x（ y﹣ 1）． 故答案為： x（ y﹣ 1）． 【點評】 本題考查學(xué)生提取公因式的能力，解題時要首先確定公因式． 16．如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是 ，高為 3，若一只小蟲從 A 點出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到 C 點，則小蟲爬行的最短路程是 ．（結(jié)果保留根號） 【考點】 平面展開 最短路徑問題． 【分析】 先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，由勾股定理可得出． 【解答】 解：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長， C是邊的中點，矩形的寬即高等于圓柱的母線長． ∵ AB=π? =2， CB=2． ∴ AC= ． 故答案為： 【點評】 此題主要考查了平面展開圖最短路徑問題，此矩形的長等于圓柱底面周長，矩形的寬即高等于圓柱的母線長．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形， “化曲面為平面 ”，用勾股定理解決． 17．如圖，把一塊等腰直角三角形零件 ABC（ ∠ ACB=90176。 在 △ CEE′中， CE=3， CE′=1， EE′=2 ， ∵ 12+（ 2 ） 2=32， ∴ CE′2+EE′2=CE2， ∴△ CEE′為直角三角形， ∴∠ EE′C=90176。得到 △ CBE′， ∴ BE=BE′=2， AE=CE′=1， ∠ EBE′=90176。在 △ CEE′中，由于 CE′2+EE′2=CE2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到 △ CEE′為直角三角形，即 ∠ EE′C=90176。 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】 連接 EE′，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 BE=BE′=2， AE=CE′=1， ∠ EBE′=90176。 C． 90176。到 △ CBE′的位置．若 AE=1， BE=2， CE=3，則 ∠ BE′C 的度數(shù)為（ ） A． 135176。 3，錯誤； B、 9 的平方根是 177。 【考點】 二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】 結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可． 【解答】 解： =2． 故選 A． 【點評】 本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的性質(zhì)及二次根式的化簡． 2．下列語句中正確的是（ ） A．﹣ 9 的平方根是﹣ 3 B． 9 的平方根是 3 C． 9 的算術(shù)平方根是 177。量得 CD=20cm，試求 BC、 AC 的長． 23．（ 9 分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是 1，每個小格的頂點叫做格點． 第 27 頁（共 48 頁） （ 1）在圖 1 中以格點為頂點畫一個面積為 10 的正方形； （ 2）在圖 2 中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為 、 ； （ 3）如圖 3，點 A、 B、 C 是小正方形的頂點，求 ∠ ABC 的度數(shù)． 24．（ 9 分）如表格是李剛同學(xué)一學(xué)期數(shù)學(xué)成績的記錄，根據(jù)表格提供的信息回答下面的問題 考試類別 平時 期中考試 期末考試 第一單元 第二單元 第三單元 第四單元 成績 86 86 90 92 90 96 （ 1）李剛同學(xué) 6 次成績的極差是 ． （ 2）李剛同學(xué) 6 次成績的中位數(shù)是 ． （ 3）李剛同學(xué)平時成績的平均數(shù)是 ． （ 4）利用如圖的權(quán)重計算一下李剛本學(xué)期的綜合成績（平時成績用四次成績的平均數(shù)寫出解題過程，每次考試滿分都是 100 分）． 25．（ 12 分）已知， △ ABC 是邊長 3cm 的等邊三角形．動點 P 以 1cm/s 的速度從點 A 出發(fā)，沿線段 AB 向點 B 運動． （ 1）如圖 1，設(shè)點 P 的運動時間為 t（ s），那么 t= （ s）時， △ PBC 是直角三角形； （ 2）如圖 2，若另一動點 Q 從點 B 出發(fā)，沿線段 BC 向點 C 運動，如果動點 P、Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為 t（ s），那么 t 為何值時， △ PBQ是直角三角形？ （ 3）如圖 3，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運動．連接 PQ 交 AC第 28 頁（共 48 頁） 于 D．如果動點 P、 Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)．設(shè)運動時間為 t（ s），那么t 為何值時， △ DCQ 是等腰三角形？ （ 4）如圖 4，若另一動點 Q 從點 C 出發(fā)，沿射線 BC 方向運動．連接 PQ 交 AC于 D，連接 PC．如果動點 P、 Q 都以 1cm/s 的速度同時出發(fā)．請你猜想：在點 P、Q 的運動過程中， △ PCD 和 △ QCD 的面積有什么關(guān)系？并說明理由． 第 29 頁（共 48 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 4