【正文】 5． 直線 y x m?? 與橢圓 2 2 14x y??交于 A 、 B 兩點(diǎn)，則 ||AB 的最大值是 （ ） 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 28 ()A 2 ()B 455 ()C 4105 ()D 8105 6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為 12 ，一個焦點(diǎn)是 ( ,0)Fm? （ m 是大于 0 的常數(shù)） ． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè) Q 是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn) ,FQ的直線 l與 y 軸交于點(diǎn) M ，若 | | 2 | |MQ QF? ，求直線 l 的斜率 ． 例 10．已知點(diǎn) )0,2(?A 、 )0,3(B ，動點(diǎn) 2),( xPBPAyxP ??滿足 ，則點(diǎn)P 的軌跡是（ D） ()A 圓 ()B 橢圓 ()C 雙曲線 ()D 拋物線 例 11． 若 0|3|)1()3( 22 ??????? yxyx ，則點(diǎn) ),( yxM 的軌跡是 （ C ） ()A 圓 ()B 橢圓 ()C 雙曲線 ()D 拋物線 例 12．已知拋物線 2:4C y x? ，若橢圓的左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線 C的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線分別重合，求以橢圓短軸端點(diǎn) B 與焦點(diǎn) F 為兩端點(diǎn)的線段中點(diǎn) P 的軌跡方程． 解 ：設(shè) ( , )Pxy ，顯然 1x? ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (1 2 ,2 )xy? ，由橢圓的定義，知： ||BF eBB ?? ，| | | | | | 2( 1 )c FO O O O F x??? ? ? ? ?，22| | ( 2 2) ( 2 ) ,a F B x y? ? ? ? | | ( 2 1 ) ( 1 ) 2BB x x? ? ? ? ? ?，∴2222( 2 2 ) ( 2 ) 2 ( 1 )2( 2 2 ) ( 2 )xy xxxy?? ???? 化簡得： 2 1yx??， ∴ P 的軌跡方程為：2 1( 0)y x x? ? ? 例 13．動圓 22: ( 1) 1C x y???，過原點(diǎn) O 作圓的任一弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程． 解：（一）直接法：設(shè) OQ 為過 O 的任一條弦 ( , )Pxy 是其中點(diǎn)，則CP OQ? ，則 0CP OQ?? ∴ ( 1, )( , ) 0x y x y??，即 2211( ) ( 0 1 )24x y x? ? ? ? ? （二）定義法：∵ 090OPC??，動點(diǎn) P 在以 1( ,0)2M 為圓心， OC 為直徑的圓上， ∴所求點(diǎn)的軌跡方程為 2211( ) ( 0 1 )24x y x? ? ? ? ? O B O1 P F l x y 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 29 （三）參數(shù)法：設(shè)動弦 PQ 的方程為 y kx? ，由22( 1) 1y kxxy??? ???? 得： 22(1 ) 2 0k x x? ? ?，設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， PQ 的中點(diǎn)為 (, )xy ，則： 12 2121xxx k???? ， 21 ky kx k??? 消去 k 得2211( ) ( 0 1 )24x y x? ? ? ? ? 即時反饋： 1．點(diǎn) M 與點(diǎn) (4,0)F 的距離比它到直線 : 5 0lx?? 的距離小 1，則點(diǎn) M的軌跡方程 是 2 16yx? 2．已知橢圓 134 22 ??yx 的兩個 焦點(diǎn)分別是 F1， F2， P 是這個橢圓上的一個動點(diǎn)，延長 F1P 到 Q，使得｜ PQ｜＝｜ F2P｜，求 Q 的軌跡方程是22( 1) 16xy? ? ? ． 3． 已知點(diǎn) ( , )Pxy 在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動，則點(diǎn) ( , )Q x y xy? 的軌跡是 （ B ） ()A 圓 ()B 拋物線 ()C 橢圓 ()D 雙曲線 4． 雙曲線 22143xy??關(guān)于直線 20xy??? 對稱的曲線方程是22( 2 ) ( 2 ) 143yx???? 5．傾斜角為 4? 的直線交橢圓 14 22 ??yx 于 BA, 兩點(diǎn)，則線段 AB 中點(diǎn)的軌跡方程 是 454 0 (| | )5x y x? ? ? 6. 設(shè)橢圓方程為 1422 ?? yx ，過點(diǎn) M（ 0， 1）的直線 l 交橢圓于點(diǎn) A、B， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 1 ()2O P O A O B??，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 )21,21( ，當(dāng) l 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)時，求： （ 1）動點(diǎn) P 的軌跡方程； （ 2） ||NP 的最小值與最大值 . （ 1）解法一：直線 l 過點(diǎn) M（ 0， 1）設(shè)其斜率為 k，則 l 的方程為 .1??kxy 記 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 由題設(shè)可得點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo) ),( 11 yx 、 ),( 22 yx 是方程組 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 30 ?????????14122 yxkxy 的解 . 將①代入②并化簡得， 032)4( 22 ???? kxxk ，所以 ??????????????.4 8,4 2221221kyykkxx于是 ).4 4,4()2,2()(21 222121 kkkyyxxOBOAOP ????????? 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ),( yx 則 ????????????.4 4,422kykkx消去參數(shù) k 得 04 22 ??? yyx ③ 當(dāng) k 不存在時， A、 B 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（ 0， 0），也滿足方程③，所以點(diǎn) P 的軌跡方程為 .04 22 ??? yyx 解法二：設(shè)點(diǎn) P 的坐 標(biāo)為 ),( yx ，因 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 在橢圓上，所以 ,142121 ?? yx ④ .142222 ?? yx ⑤ ④ — ⑤得 0)(41 22212221 ???? yyxx，所以 .0))((41))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx 當(dāng) 21 xx ? 時，有 .0)(41 21 212121 ??????? xx yyyyxx ⑥ 并且?????????????????.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 .04 22 ??? yyx ⑧ 當(dāng) 21 xx ? 時，點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)為（ 0， 2）、（ 0，－ 2），這時點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 0， 0） 也滿足⑧，所以點(diǎn) P 的軌跡方程為 .141)21(16122???yx ① ② 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 31 三、 課后練習(xí) 1．過點(diǎn) (0,1) 與拋物線 2 2 ( 0)y px p??只有一個公共 點(diǎn)的直線的條數(shù)是 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 2 ． 與直線 042 ??? yx 的平行的拋物線 2xy? 的切線方程是 ． 3．過拋物線 2 ( 0)y ax a??的焦點(diǎn) F 作一直線交拋物線于 ,PQ兩點(diǎn)，若線段 PF 與 FQ 的長分別是 ,pq，則 11pq?等于 （ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a 4． 過拋物線 2 4yx? 的焦點(diǎn)，作傾斜角為 ? 的直線交拋物線于 A， B 兩點(diǎn)，且 316?AB 則 ?? ． 5．若過橢圓 222 1(0 2 )4xy bb? ? ? ?右焦點(diǎn) 2F 且傾斜角為 34? 的直線與橢圓相交所得的弦長等于 247 ，則 b? ． 6．與兩點(diǎn) )0,3(),0,3(? 距離的平方和等于 38 的點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） ()A 1022 ?? yx ()B 1022 ?? yx ()C 3822 ?? yx ()D 3822 ?? yx 7．與圓 2240x y x? ? ? 外切，又與 y 軸相切的圓的圓心的軌跡方程是 （ ） ()A 2 8yx? ()B 2 8 ( 0)y x x??和 0y? ()C 2 8yx? ( 0)x? ()D 2 8 ( 0)y x x??和 0( 0)yx?? 8 ． 到點(diǎn) )0,1(? 的距離與到直線 3?x 的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為 （ ） ()A 442 ??? yx ()B 882 ??? yx ()C 442 ??? xy ()D 882 ??? xy 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 32 9．動圓與 x 軸相切，且與直線 yx? 相交所得的弦長為 2 ，則動圓圓心的軌跡方程 為 10．長為 2a 的線段 AB 的兩個端點(diǎn)分別在 x 軸和 y 軸上運(yùn)動，則 AB 中點(diǎn)的 軌跡方程 為 11．已知直線 l： y＝ k(x－ 5)及圓 C： x2＋ y2＝ 16． (1)若直線 l 與圓 C 相切，求 k 的值； (2)若直線 l 與圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求當(dāng) k 變動時，弦 AB 的中點(diǎn)的軌跡． 12 ． 拋 物 線 xy 42 ? 經(jīng) 過 焦 點(diǎn) 的 弦 的 中 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 是 （ ） ()A 12 ??xy ()B )1(22 ?? xy ()C 212 ??xy ()D 122 ?? xy 13． 已知橢圓 22194xy??的左、右頂點(diǎn)分別為 1A 和 2A ，垂直于橢圓長軸的動直線與橢圓的兩個交點(diǎn)分別為 1P 和 2P ，其中 1P 的縱坐標(biāo)為正數(shù)，則直線 11AP 與 22AP 的 交 點(diǎn) M 的 軌 跡 方 程 （ ） ()A 22194xy?? ()B 22194yx?? ()C 22194xy?? ()D 22194yx?? 14． 已知拋物線 )(12 Rmmxxy ????? 的頂點(diǎn)為 A ，那么當(dāng) m 變化時，此拋物線焦點(diǎn) F 的軌跡方程是 ___________________________． 15．已知直線 1y kx??與雙曲線 2231xy??相交于 ,AB兩點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù) k ，使 ,AB兩點(diǎn)關(guān)于直線 20xy??對稱？若存在，求出 k 值，若不存在，說明理由． 第五部分：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 33 16．已知某橢圓的焦點(diǎn)是 ? ? ? ?124, 0 4, 0FF? 、 ，過點(diǎn) 2F 并垂直于 x 軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為 B ，且 1210F B F B??．橢圓上不同的兩點(diǎn)? ? ? ?1 1 2 2,A x y C x y、 滿足條件： 222F A F B F C、 成等差數(shù)列． （ Ⅰ ）求該橢圓的方程；（ Ⅱ ）求弦 AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)； （ Ⅲ ）設(shè)弦 AC 垂直平分線的方程為 y kx m??，求 m 的取值范圍． 17．設(shè)雙曲線 2 2