【正文】 2＝ 1 的右焦點(diǎn)為 ( 2 , 0 ) ，所以拋物線 y2＝ 2 px 的焦點(diǎn)為 ( 2 ,0 ) ，則 p ＝ 4. D 4 ．兩個(gè)正數(shù) a 、 b 的等差中項(xiàng)是52，一個(gè)等比中項(xiàng)是 6 ， 且 a b ，則雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的離心率 e 等于 ( ) A.33 B.152 C. 13 D.133 解析 由題意得： a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 6 ，又 a b ， 所以 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，即 c2＝ 13 ，故 e ＝ca＝133， 所以選 D. D 5. 設(shè) F 1 、 F 2 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn) P 在雙曲線上，且 則 等于 （ ） A. 10 B ． 2 10 C. 5 D ． 2 5 1922 ?? yx,021 ?? PFPF || 21 PFPF ?解析 如圖，由 可得 ， 又 由向量加法的平行四邊形法則可知 ? PF 1 QF 2 為 矩形，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，故有 ＝ 2 c ＝ 2 10 ， 所以選 B. ,021 ?? PFPF 21 PFPF ?|| 21 PFPF ?|| PQ?B 二、填空題 6 ．直線 y ＝ x － 3 與拋物線 y2＝ 4 x 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為 P 、 Q ， 則梯形 APQ B 的面積為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x ＝－ 1. 聯(lián)立????? y2＝ 4 x ，y ＝ x － 3 ， 解得 A (1 ，－ 2) ， B ( 9 , 6 ) ． 則 | AP |＝ 2 ， | BQ |＝ 10 ， | PQ |＝ 8 ， S 梯形 ＝( 2 ＋ 10 ) 82＝ 4 8 . 48 7 ． ( 2 0 1 0 北京 ) 已知雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 的離心率為 2 ，焦 點(diǎn)與橢圓x225＋y29＝ 1 的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn) 坐標(biāo)為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；漸近線方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 ∵ 雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同， ∴ c ＝ 4. ∵ e ＝ca＝ 2 ， ∴ a ＝ 2 ， ∴ b2＝ 12 ， ∴ b ＝ 2 3 . ∵ 焦點(diǎn)在 x 軸上， ∴ 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 177。 4 , 0 ) ， 漸近線方程為 y ＝ 177。bax ，即 y ＝ 177。 3 x ， 化為一般式為 3 x 177。 y ＝ 0. (177。4 ,0 ) 3 x 177。 y ＝ 0 8 ．已知 A ( －12， 0) ， B 是圓 F ： ( x －12)2＋ y2＝ 4( F 為圓 心 ) 上一動(dòng)點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線交 BF 于 P ， 則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 由題意 | PA |＝ | PB |，又 | PF |＋ | PB |＝ 2 ， ∴ | PA |＋ | PF |＝ 2 ，即 P 到兩定點(diǎn) A 、 F 距離之和為定值2 且大于兩定點(diǎn) A 、 F 之距離 1 ， 故其軌跡為橢圓，且 a ＝ 1 ， c ＝12， b2＝34， ∴ 方程為 x2＋43y2＝ 1. x 2 ＋ 43 y 2 ＝ 1 三、解答題 9 ．已知橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的離心率為12，且經(jīng) 過(guò)點(diǎn) P (1 ，32) ． ( 1 ) 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； ( 2 ) 設(shè) F 是橢圓 C 的左焦點(diǎn)，判斷以 PF 為直徑的圓 與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解 ( 1 ) ∵ 橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的離心率為12，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) P (1 ，32) ， ∴??????? a2－ b2a＝12，1a2 ＋94 b2 ＝ 1 ， 即????? 3 a2－ 4 b2＝ 0 ，1a2 ＋94 b2 ＝ 1.解得????? a2＝ 4 ，b2＝ 3. ∴ 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y23＝ 1. (2) ∵ a2＝ 4 ， b2＝ 3 ， ∴ c ＝ a2－ b2＝ 1. ∴ 橢圓 C 的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( － 1,0) ． 以橢圓 C 的長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為 x2＋ y2＝ 4 ， 圓心坐標(biāo)是 (0,0) ，半徑為 2. 以 PF 為直徑的圓的方程為 x2＋ ( y －34)2＝2516，圓心坐標(biāo)是 (0 ，34) ，半徑為54. ∵ 兩圓心之間的距離為 ( 0 － 0 )2＋ (34－ 0 )2＝34＝ 2 －54，故以 PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切． 10 ．已知拋物線 y2＝ 2 px ( p 0 ) 的焦點(diǎn)為 F ，直線 l 過(guò)點(diǎn) A ( 4 , 0 ) 且與拋物線交于 P 、 Q 兩點(diǎn)，并設(shè)以弦 PQ 為 直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)． ( 1 ) 求焦點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2 ）若 試求動(dòng)點(diǎn) R 的軌跡方程 . ,FRFQFP ??解 ( 1 ) 設(shè)直線的方程為 x ＝ ky ＋ 4 ，代入 y2＝ 2 px ， 得 y2－ 2 k p y － 8 p ＝ 0. 設(shè) P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，則有 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 kp ， y 1 y 2 ＝－ 8 p . 而 故 0 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ ( ky 1 ＋ 4 ) ( ky 2 ＋ 4) － 8 p ＝ k2y 1 y 2 ＋ 4 k ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 16 － 8 p ， 即 0 ＝－ 8 k2p ＋ 8 k2p ＋ 16 － 8 p ， 得 p ＝ 2 ，所以焦點(diǎn) F ( 1 , 0 ) ． ,0??OQOP（ 2 ）設(shè) R （ x , y ） , 由 得 ( x1－ 1 ， y1) ＋ ( x2－ 1 ，y2) ＝ ( x － 1 ， y ) ， 所以 x1＋ x2＝ x ＋ 1 ， y1＋ y2＝ y . 而 y21＝ 4 x1， y22＝ 4 x2， 可得 y ( y1－ y2) ＝ ( y1＋ y2)( y1－ y2) ＝ 4( x1－ x2) ． 又 FR 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 M (x ＋ 12，y2) ， 當(dāng) x1≠ x2時(shí)，由 kPQ＝ kMA得4y＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝y(tǒng)2x ＋ 12－ 4， 整理得 y2＝ 4 x － 2 8 . 當(dāng) x1＝ x2時(shí)， R 的坐標(biāo)為 ( 7 , 0 ) ，也滿足 y2＝ 4 x － 2 8 . 所以 y2＝ 4 x － 28 即為動(dòng)點(diǎn) R 的軌跡方程． FRFQFP ?? 返回 第 3 講 直線與圓錐曲線 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 浙江 ) 已知 m 1 ，直線 l ： x － my －m22＝ 0 ，橢圓 C ：x2m2 ＋ y2＝ 1 ， F F2分別為橢圓 C 的左、右 焦點(diǎn)． ( 1 ) 當(dāng)直線 l 過(guò)右焦點(diǎn) F2時(shí)，求直線 l 的方程； ( 2 ) 設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點(diǎn)， △ AF1F2， △ BF1F2的重心分別為 G ， H . 若原點(diǎn) O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 解 ( 1 ) ∵ 直線 l ： x － my －m22＝ 0 經(jīng)過(guò) F2( m2－ 1 ， 0) ， ∴ m2－ 1 ＝m22，得 m2＝ 2. 又 ∵ m 1 ， ∴ m ＝ 2 . 故直線 l 的方程為 x － 2 y － 1 ＝ 0. ( 2 ) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 由????? x ＝ my ＋m22，x2m2 ＋ y2＝ 1 ，消去 x 得 2 y2＋ my ＋m24－ 1 ＝ 0 ， 則由 Δ ＝ m2－ 8(m24－ 1) ＝－ m2＋ 8 0 ， 知 m28 ，且有 y1＋ y2＝－m2， y1y2＝m28－12. 由于 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ，故 O 為 F1F2的中點(diǎn)． 由 G 、 H 分別為 △ AF1F △ BF1F2的重心， 可知 G (x13，y13) ， H (x23，y23) ， | GH |2＝( x1－ x2)29＋( y1－ y2)29. 設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn)，則 M (x1＋ x26，y1＋ y26) ， 由題意可知， 2| MO | | GH |， 即 4 [ (x1＋ x26)2＋ (y1＋ y26)2]( x1－ x2)29＋( y1－ y2)29， 即 x1x2＋ y1y2 0 . 而 x1x2＋ y1y2＝ ( my1＋m22)( my2＋m22) ＋ y1y2 ＝ ( m2＋ 1 ) (m28－12) ， ∴m28－120 ，即 m24 . 又 ∵ m 1 且 Δ 0 ， ∴ 1 m 2 . ∴ m 的取值范圍是 ( 1 , 2 ) ． 考題分析 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．體現(xiàn)了待定系數(shù)法和運(yùn)用解方程組研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題的思想方法，即方程的思想方法． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 利用待定系數(shù)法求方程時(shí)，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤． ( 2 ) 直線 l 與橢圓 C 相交，在聯(lián)立方程解方程組時(shí)，考生易忽略判別式大于 0. ( 3 ) 無(wú)法實(shí)現(xiàn)將 “ O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi) ” 轉(zhuǎn)化為代數(shù)式．缺乏轉(zhuǎn)化的方向感． 主干知識(shí)梳理 1 ．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ( 1 ) 直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程．若 Δ 0 ，則直線與橢圓相交；若 Δ ＝ 0 ，則直線與橢圓相切；若 Δ 0 ，則直線與橢圓相離． ( 2 ) 直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法： 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去 y ( 或 x ) ，得到一個(gè)一元方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0( 或 ay2＋ by ＋ c ＝ 0) ． ① 若 a ≠ 0 ，當(dāng) Δ 0 時(shí)，直線與雙曲線相交；當(dāng) Δ ＝ 0時(shí)，直線與雙曲線相切；當(dāng) Δ 0 時(shí)，直線與雙曲線相離． ② 若 a ＝ 0 時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個(gè) 點(diǎn)． ( 3 ) 直線與拋物線