【正文】 由余弦定理得 MN2＋ NP2－ 2 MN NP c o s ∠ M N P ＝ MP2. 即 MN2＋ NP2＋ MN NP ＝ 2 5 . 故 ( MN ＋ NP )2－ 25 ＝ MN NP ≤????????MN ＋ NP22， 從而34( MN ＋ NP )2≤ 25 ，即 MN ＋ NP ≤10 33. 當(dāng)且僅當(dāng) MN ＝ NP 時(shí)等號成立． 即設(shè)計(jì)為 MN ＝ NP 時(shí)，折線段賽道 M N P 最長． 探究提高 應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題需要下列四步： ( 1 ) 分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等； ( 2 ) 根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出； ( 3 ) 將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識正確求解． ( 4 ) 檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案． 變式訓(xùn)練 3 在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45176。 方向，距離 A ( 3 － 1 ) n m i l e 的 B 處有一艘走私船，在 A 處北偏 西 7 5 176。 的方向，距離 A 2 n m i l e 的 C 處的緝私船奉命 以 10 3 n m i l e /h 的速度追截走私船．此時(shí)，走私 船正以 1 0 n m i l e / h 的速度從 B 處向北偏東 3 0 176。 方向逃 竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解 如圖所示，注意到最快追上走私 船且兩船所用時(shí)間相等，若在 D 處相 遇，則可先在 △ AB C 中求出 BC ，再在 △ BC D 中求 ∠ BC D . 設(shè)緝私船用 t h 在 D 處追上走私船， 則有 CD ＝ 10 3 t ， BD ＝ 10 t . 在 △ AB C 中， ∵ AB ＝ 3 － 1 ， AC ＝ 2 ， ∠ BAC ＝ 1 2 0 176。 ， ∴ 由余弦定理， 得 BC2＝ AB2＋ AC2－ 2 AB AC c o s ∠ BAC ＝ ( 3 － 1)2＋ 22－ 2 ( 3 － 1) 2 c o s 1 2 0 176。 ＝ 6 ， ∴ BC ＝ 6 ， ∵∠ C BD ＝ 9 0 176。 ＋ 3 0 176。 ＝ 1 2 0 176。 ， 在 △ B C D 中，由正弦定理，得 si n ∠ BC D ＝BD si n ∠ C BDCD＝10 t si n 1 2 0 176。10 3 t＝12， 又 ∵∠ B C D ∈ ( 0 176。 ， 6 0 176。 ) ， ∴∠ B C D ＝ 3 0 176。 . 即緝私船沿北偏東 60176。 方向能最快追上走私船． 規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 證明三角恒等式的常用方法 ( 1 ) 從一邊開始證它等于另一邊，一般由繁到簡． ( 2 ) 證明左右兩邊都等于同一個式子 ( 或值 ) ． ( 3 ) 運(yùn)用分析法，證明其等式成立． 2 ．三角恒等變形的基本思路 ( 1 ) “ 化異為同 ” ， “ 切化弦 ” ， “ 1 ” 的代換是三 角恒等變換的常用技巧． “ 化異為同 ” 是指 “ 化異名為同名 ” ， “ 化異次為 同次 ” ， “ 化異角為同角 ” ． ( 2 ) 角的變換是三角變換的核心，如 β ＝ ( α ＋ β ) － α ， 2 α ＝ ( α ＋ β ) ＋ ( α － β ) 等． 3 ．已知兩邊及其一邊的對角，判斷三角形解的情況 以已知 a ， b ， A 為例 ( 1 ) 當(dāng) A 為直角或鈍角時(shí)，若 a b ，則有一解；若 a ≤ b ， 則無解． ( 2 ) 當(dāng) A 為銳角時(shí)，如下表： a b si n A a ＝ b si n A b si n A a b a ≥ b 無解 一解 兩解 一解 4. 三角形中的常用結(jié)論 ( 1 ) 三角形內(nèi)角和定理： A ＋ B ＋ C ＝ π. ( 2 ) A B C ? a b c ? si n A si n B si n C . ( 3 ) a ＝ b c o s C ＋ c c o s B . 5 ． 在 △ AB C 中 ， 三邊分別為 a ， b ， c ( a b c ) ( 1 ) 若 a2＋ b2 c2，則 △ AB C 為銳角三角形． ( 2 ) 若 a2＋ b2＝ c2，則 △ AB C 為直角三角形． ( 3 ) 若 a2＋ b2 c2，則 △ AB C 為鈍角三角形 . 知能提升演練 一、選擇題 1 ．若 si n ( α － β ) si n β － c o s( α － β ) c o s β ＝45，且 α 是第二 象限角，則 t a n (π4＋ α ) 等于 ( ) A ． 7 B ．－ 7 C.17 D ．－17 解析 依題意得 co s α ＝－45，又 α 在第二象限， 所以 s i n α ＝35， t a n α ＝－34， t a n (π4＋ α ) ＝1 ＋ t a n α1 － t a n α＝17， 故選 C. C 2 ．若 f ( s i n x ) ＝ 3 － co s 2 x ，則 f ( co s x ) 等于 ( ) A ． 3 － co s 2 x B ． 3 － si n 2 x C ． 3 ＋ co s 2 x D ． 3 ＋ s i n 2 x 解析 f ( si n x ) ＝ 3 － co s 2 x ＝ 3 － (1 － 2 s i n2x ) ＝ 2 ＋2 si n2x ， ∴ f ( x ) ＝ 2 ＋ 2 x2， ∴ f ( co s x ) ＝ 2 ＋ 2 co s2x ＝ 3 ＋ co s 2 x ， 故選 C. C 3 ．在 △ AB C 中， A ＝ 6 0 176。 ， b ＝ 1 ，其面積為 3 ，則 a ＋ b ＋ csi n A ＋ s i n B ＋ s i n C等于 ( ) A ． 3 3 B.2 393 C.26 33 D.292 解析 S ＝12bc s i n A ＝12 1 c s i n 6 0 176。 ＝ 3 ， ∴ c ＝ 4. ∴ a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c o s A ＝ 1 ＋ 16 － 2 1 4 12＝ 13 ， 即 a ＝ 13 ， asi n A＝bsi n B＝csi n C＝a ＋ b ＋ csi n A ＋ s i n B ＋ s i n C＝1332＝2 3 93， 故選 B. B 4 ． 在 △ AB C 中 ， 已知 s i n C ＝ 2 s i n A c o s B ， 那么 △ ABC 一定是 ( ) A ． 等腰直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 直角三角形 D ． 等邊三角形 解析 ∵ s i n C ＝ si n ( A ＋ B ) ＝ si n A c o s B ＋ c o s A s i n B ＝2 si n A c o s B ， ∴ si n A c o s B － c o s A s i n B ＝ 0 ， 即 si n ( A － B ) ＝ 0 ， 又 ∵ 0 A π ， 0 B π ， ∴ A ＝ B ，故選 B. B 5 ．已知實(shí)數(shù) a ， b 均不為零，a si n 2 ＋ b co s 2a co s 2 － b si n 2＝ t an β ， 且 β － 2 ＝π6，則ba等于 ( ) A. 3 B.33 C ．－ 3 D ．－33 解析 t a n β ＝ t a n ( 2 ＋π6) ＝t a n 2 ＋331 －33t a n 2 ＝a si n 2 ＋ b c o s 2a c o s 2 － b si n 2＝a t a n 2 ＋ ba － b t a n 2， ∴ ( t a n22 ＋ 1 ) ( b －33a ) ＝ 0 ， ∴ b ＝33a ， 故ba＝33， 故選 B. B 二、填空題 6 ． 函數(shù) y ＝ si n4x ＋ co s4x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 y ＝ s i n4x ＋ co s4x ＝ ( si n2x ＋ co s2x )2－ 2 si n2x co s2x ＝1 －12si n22 x ＝ 1 －121 － co s 4 x2＝34＋14co s 4 x . 令－ π ＋ 2 k π ≤ 4 x ≤ 2 k π ， k ∈ Z . 解得－π4＋k π2≤ x ≤k π2， k ∈ Z . [ k π2 － π4 ， k π2 ]( k ∈ Z ) 7 ．在銳角三角形 AB C 中，角 A 、 B 、 C 的對邊分別為 a 、 b 、 c ，且 a ＝ 4 b si n A ，則 co s B ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 ∵ a ＝ 4 b si n A 且 △ AB C 為銳角三角形， ∴ si n A ＝ 4 si n B si n A . ∴ si n B ＝14， ∴ c o s B ＝154. 154 8 ． ( 2 0 1 0 廣東 ) 已知 a ， b ， c 分別是 △ AB C 的三個內(nèi)角 A ， B ， C 所對的邊．若 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， A ＋ C ＝ 2 B ， 則 si n C ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 在 △ AB C 中， A ＋ B ＋ C ＝ π ，又 A ＋ C ＝ 2 B ，故B ＝π3. 由正弦定理知 s i n A ＝a si n Bb＝12. 又 a b ，因此 A ＝π6. 從而可知 C ＝π2，即 si n C ＝ 1. 1 三、解答題 9 ．已知函數(shù) f ( x ) ＝ a ( 2 co s2x2＋ si n x ) ＋ b . ( 1 ) 當(dāng) a ＝－ 1 時(shí)，求 f ( x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間； ( 2 ) 當(dāng) a 0 ， x ∈ [0 ， π] 時(shí)， f ( x ) 的值域是 [ 5 , 8 ] ，求 a ， b 的值． 解 ( 1 ) ∵ a ＝－ 1 ， ∴ f ( x ) ＝－ ( 2 co s2x2＋ s i n x ) ＋ b ＝－ ( si n x ＋ co s x ＋ 1) ＋ b ＝－ 2 si n ( x ＋π4) － 1 ＋ b . ∵ y ＝ s i n x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 [2 k π －π2， 2 k π ＋π2] ， k ∈ Z ， ∴ 當(dāng) 2 k π －π2≤ x ＋π4≤ 2 k π ＋π2， 即 2 k π －3π4≤ x ≤ 2 k π ＋π4， k ∈ Z 時(shí) f ( x ) 是減函數(shù)， ∴ f ( x ) 單調(diào)遞減區(qū)間是 [2 k π －3π4， 2 k π ＋π4] ， k ∈ Z . ( 2) 由 ( 1) 得 f ( x ) ＝ 2 a si n( x ＋π4) ＋ a ＋ b . ∵ x ∈ [0 ， π] ， ∴π4≤ x ＋π4≤5π4， ∴ －22≤ si n( x ＋π4) ≤ 1