【正文】 q2－ 3 q ＋ 1 ＝ 0 ， 解得 q ＝12或 q ＝ 1( 舍去 ) ， 所以 a n ＝ (12)n. ( 2 ) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1b1＝ 1 ， ∴ b1＝ 2 ； 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， a1b1＋ a2b2＋ ?? ＋ an － 1bn － 1＋ anbn＝ 2 n － 1 ， a1b2＋ a2b2＋ ? ＋ an － 1bn － 1＝ 2 n － 3 ， 兩式相減得 anbn＝ 2 ， ∴ bn＝ 2n ＋ 1. 因此 bn＝????? 2 ， n ＝ 1 ，2n ＋ 1， n ≥ 2. 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， Sn＝ S1＝ b1＝ 2 ； 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， Sn＝ b1＋ b2＋ ?? ＋ bn＝ 2 ＋8 ( 1 － 2n － 1)1 － 2 ＝ 2n ＋ 2－ 6. 綜上， Sn＝ 2n ＋ 2－ 6. 失分點(diǎn) 16 忽視對等比數(shù)列中公比的分類討論致誤 例 2 已知 四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為 1 ，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)之和為－32，求這四個(gè)數(shù)． 錯(cuò)解 設(shè)這 四個(gè)數(shù)為 aq－ aq－ aq 、 aq3，顯然 q2為公比． 由題意得????? a4＝ 1 ， ①a (1q＋ q ) ＝－32. ② 由 ① 得 a ＝ 177。1 ，代入 ② 得1q＋ q ＝ 177。32. ∵ |1q＋ q |≥ 2 ， ∴ 此題無解． 找準(zhǔn)失分點(diǎn) 這 四 個(gè)數(shù)的設(shè)法錯(cuò)誤． 失分原因與防范措施 因 為 本題的設(shè)法使數(shù)列公比為q2. 這就限制了公比只能大于 0 ，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤 . 在解決本類問題時(shí)，一定要考慮到公比為 1 和不為 1 的情況，公比為正和為負(fù)的情況，即根據(jù)題意，對公比進(jìn)行討論 . 正解 方法一 ( 1 ) 當(dāng)所求等比數(shù)列的各項(xiàng)同號時(shí)，由上述解法知，此時(shí)無解． ( 2 ) 當(dāng)所求等比數(shù)列的各項(xiàng)異號時(shí)，設(shè)這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)依次為 aq－ － aq－ aq 、－ aq3， 則有????? a4＝ 1 ， ①a ( q －1q) ＝－32， 得????? a ＝ 177。1 ， aq2＋32q － a ＝ 0 . 把 a ＝ 1 代入 ④ ，得 q2＋32q － 1 ＝ 0 ，解得 q ＝12或 q ＝－ 2 ； 把 a ＝－ 1 代入 ④ ，得 q2－32q － 1 ＝ 0 ，解得 q ＝－12或 q ＝ 2. 綜上，可求得四個(gè)數(shù)為： 8 、－ 2 、1－18或－11－ 2 、 8. ② ④ ③ 方法二 設(shè)這四個(gè)數(shù)為 a 、 aq 、 aq aq3，則由題意知： ????? a4q6＝ 1 ， ①aq ( 1 ＋ q ) ＝－32， 得????? a2q3＝ 177。1 ， a2q2( 1 ＋ q )2＝94. 把 a2q2＝1q代入 ④ ，得 q2－14q ＋ 1 ＝ 0 ，此方程無解； 把 a2q2＝－1q代入 ④ ，得 q2＋174q ＋ 1 ＝ 0 ， 解此方程得 q ＝－14或 q ＝－ 4. 當(dāng) q ＝－14時(shí)， a ＝ 8 ；當(dāng) q ＝－ 4 時(shí)， a ＝－18. 所以這四個(gè)數(shù)為： 8 、－ 2 、1－18或－11－ 2 、 8. ② ④ ③ 變式訓(xùn)練 2 已 知 f ( x ) ＝x3 x ＋ 1，數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝13， a n ＋ 1 ＝ f ( a n )( n ∈ N*) ． ( 1 ) 求證：數(shù)列 {1a n} 是等差數(shù)列； ( 2 ) 記 S n ( x ) ＝xa 1＋x2a 2＋ ? ＋xna n( x 0 ) ，求 S n ( x ) ． ( 1 ) 證明 由已知得 a n ＋ 1 ＝a n3 a n ＋ 1， ∴1a n ＋ 1＝3 a n ＋ 1a n＝ 3 ＋1a n， ∴1a n ＋ 1－1a n＝ 3. ∴ {1a n} 是首項(xiàng)為 3 ，公差為 3 的等差數(shù)列 ． ( 2 ) 解 由 ( 1 ) 得1an＝ 3 ＋ 3( n － 1) ＝ 3 n ， ∴ Sn( x ) ＝ 3 x ＋ 6 x2＋ 9 x3＋ ? ＋ 3 nxn. 當(dāng) x ＝ 1 時(shí)， Sn( 1 ) ＝ 3 ＋ 6 ＋ 9 ＋ ? ＋ 3 n ＝3 ( n ＋ 1 ) n2； 當(dāng) x ≠ 1 時(shí)， Sn( x ) ＝ 3 x ＋ 6 x2＋ 9 x3＋ ? ＋ 3 nxn， 故 xSn( x ) ＝ 3 x2＋ 6 x3＋ ? ＋ 3( n － 1) xn＋ 3 nxn ＋ 1， 則 (1 － x ) Sn( x ) ＝ 3 x ＋ 3 x2＋ ? ＋ 3 xn－ 3 nxn ＋ 1， 故 Sn( x ) ＝3 x － 3 ( n ＋ 1 ) xn ＋ 1＋ 3 nxn ＋ 2( 1 － x )2. 綜上所述，當(dāng) x ＝ 1 時(shí)， Sn( 1 ) ＝32n ( n ＋ 1 ) ( n ∈ N*) ； 當(dāng) x ≠ 1 時(shí)， Sn( x ) ＝3 x － 3 ( n ＋ 1 ) xn ＋ 1＋ 3 nxn ＋ 2( 1 － x )2( n ∈ N*) ． 失分點(diǎn) 17 忽視等比數(shù)列中的隱含條件致誤 例 3 各項(xiàng) 均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，若 S 10 ＝ 10 ， S 30 ＝ 70 ，則 S 40 等于 ( ) A ． 150 B ．－ 200 C ． 150 或－ 200 D ． 400 或－ 50 錯(cuò)解 C 找準(zhǔn)失分點(diǎn) 數(shù)列 S 10 ， S 20 － S 10 ， S 30 － S 20 ， S 40 － S 30 的公比 q 10 0 . 忽略了此隱含條件，就增加了增解－ 2 0 0 . 失分原因與防范措施 構(gòu)造的新數(shù)列 S 10 、 S 20 S 10 ， S 30 S 20 、 S 40 S 30 的公比 r = q10 0 . 由 S 10 + （ S 20 S 10 ） + （ S 30 S 20 ）= S 30 = 7 0 得 1 0 + 1 0 r +10 r2=70 ， 即 r2+ r 6 = 0 ，∴ r =2 或 r = 3. 由于 r = 3 沒有舍去，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤 . 在解決類似問題時(shí)，注意挖掘隱含條件，或先判斷數(shù)列的特征，可避免類似錯(cuò)誤 . 正解 記 b1＝ S10， b2＝ S20－ S10， b3＝ S30－ S20， b4＝ S30－ S40， b1， b2， b3， b4是以公比為 r ＝ q100 的等比數(shù)列． ∴ b1＋ b2＋ b3＝ 10 ＋ 10 r ＋ 10 r2＝ S30＝ 70 ， ∴ r2＋ r － 6 ＝ 0 ， ∴ r ＝ 2 ， r ＝－ 3( 舍去 ) ， ∴ S10＝ b1＋ b2＋ b3＋ b4＝10 ( 1 － 24)1 － 2＝ 1 5 0 . 故選 A . 變式訓(xùn)練 3 已知數(shù)列－ 1 ， a 1 ， a 2 ，－ 4 成等差數(shù)列， － 1 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ，－ 4 成等比數(shù)列．求a 2 － a 1b 2的值． 解 ∵ － 1 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ，－ 4 成等比數(shù)列， ∴ b22 ＝ ( － 1) ( － 4) ＝ 4. 又 b 2 與－ 1 ，－ 4 同號， ∴ b 2 ＝－ 2. 又－ 1 ， a 1 ， a 2 ，－ 4 成等差數(shù)列， ∴ 2 a 1 ＝ a 2 － 1 , 2 a 2 ＝ a 1 － 4 ， ∴ 2 a 2 － 2 a 1 ＝ a 1 － a 2 － 3 ， 即 3( a 2 － a 1 ) ＝－ 3 ， ∴ a 2 － a 1 ＝－ 1 ， ∴a 2 － a 1b 2＝12. 失分點(diǎn) 18 對數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)致誤 例 4 已知函數(shù) f ( x ) ＝2 xx ＋ 1，數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝23， a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) ， b n ＝a n1 － a n， n ∈ N*，求數(shù)列 { b n } 的通項(xiàng)公式． 錯(cuò)解 ∵ f ( x ) ＝2 xx ＋ 1， ∴ a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) ＝2 a na n ＋ 1， ∴ a n ＋ 1 a n ＋ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 0 ， a n ( a n ＋ 1 － 2) ＋ a n ＋ 1 ＝ 0. 找準(zhǔn)失分點(diǎn) 本解法不能進(jìn)行下去的關(guān)鍵是遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)，痛失此題 ． 失分原因與防范措施 本解法失分的關(guān)鍵是遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)，是由將分式化為整式的思維定勢造成的 . 解決遞推數(shù)列問題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化 . 掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化，可極大地提高解題效率 . ① a n +1 = qa n +10 形式可用待定系數(shù)法： a n +1 + λ = q ( a n + λ ) ； ② 形式可用取倒數(shù)法； ③觀察法，如 namaannn ???1.2)1( 1)11(2 2221 nanaana nnnn ??? ?????正解 ∵ f ( x ) ＝2 xx ＋ 1， ∴ an ＋ 1＝ f ( an) ＝2 anan＋ 1， ∴1an ＋ 1＝12＋12 an. ∴1an ＋ 1－ 1 ＝12(1an－ 1) ，又 bn＝an1 － an， ∴1bn＝1an－ 1 ， ∴1bn ＋ 1＝121bn， ∴ bn ＋ 1＝ 2 bn，又 b1＝a11 － a1＝ 2 ， ∴ { bn} 是以 2 為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列． ∴ bn＝ 2n. 變式訓(xùn)練 4 已知函數(shù) f ( x ) 滿足：對任意的 x ∈ R ， x ≠ 0 ， 恒有 f (1x) ＝ x 成立，數(shù)列 { a n } 、 { b n } 滿足 a 1 ＝ 1 ， b 1 ＝ 1 ，且對任意 n ∈ N*，均有 a n ＋ 1 ＝a n f ( a n )f ( a n ) ＋ 2， b n ＋ 1 － b n ＝1a n. ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； ( 2 ) 求數(shù)列 { a n } 、 { b n } 的通項(xiàng)公式． 解 ( 1 ) 令 t ＝1x，則 t ≠ 0 ， ∵ f (1x) ＝ x ， ∴ f ( t ) ＝1t( t ≠ 0) ，即 f ( x ) ＝1x