【正文】 ???52， 0 . 證明：由 (2) 知 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， ∴ D (4 ， y1) ， E (4 ， y2) ． 當 m 變化時，首先證直線 AE 過定點 N??????52， 0 ， 第 16講 │ 要點熱點探究 方法 1 ： ∵ lAE∶ y － y2＝y(tǒng)2－ y14 － x1( x － 4) ，當 x ＝52時， y ＝ y2＋y2－ y14 － x1??????－32＝2 ? 4 － x1? y2－ 3 ? y2－ y1?2 ? 4 － x1? ＝2 ? 4 － my1－ 1 ? y2－ 3 ? y2－ y1?2 ? 4 － x1?＝3 ? y2＋ y1? － 2 my1y22 ? 4 － x1? ＝3 － 6 m3 m2＋ 4－ 2 m － 93 m2＋ 42 ? 4 － x1?＝ 0. ∴ 點 N??????52， 0 在直線 lAE上， 同理可證，點 N??????52， 0 也在直線 lBD上； ∴ 當 m 變化時， AE 與 BD 相交于定點??????52， 0 . 第 16講 │ 要點熱點探究 方法 2 ： ∵ kEN＝y(tǒng)24 －52＝2 y23， kAN＝y(tǒng)1x1－52＝y(tǒng)1my1＋ 1 －52＝2 y12 my1－ 3， kEN－ kAN＝2 y23－2 y12 my1－ 3＝2 y2? 2 my1－ 3 ? － 6 y13 ? 2 my1－ 3 ? ＝4 my1y2－ 6 ? y1＋ y2?3 ? 2 my1－ 3 ?＝4 m － 93 m2＋ 4－ 6 － 6 m3 m2＋ 43 ? 2 my1－ 3 ?＝ 0 ， ∴ kEN＝ kAN， ∴ A 、 N 、 E 三點共線． 同理可得 B 、 N 、 D 也三點共線， ∴ 當 m 變化時， AE 與 BD 相交于定點??????52， 0 . 第 16講 │ 要點熱點探究 過點 S 0 ，－13，且斜率為 k 的動直線 l 交橢圓x22＋ y2＝ 1 于 A 、 B 兩點，在 y 軸上是否存在定點 M ，使以 AB 為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出 M 的坐標和 △ MAB 面積的最大值；若不存在，說明理由． 第 16講 │ 要點熱點探究 【解答】 動直線的方程為 y ＝ kx －13， 由????? y ＝ kx －13，x22＋ y2＝ 1 ，得 ( 2 k2＋ 1 ) x2－43kx －169＝ 0. 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ． 則 x1＋ x2＝4 k3 ? 2 k2＋ 1 ?， x1x2＝－169 ? 2 k2＋ 1 ?. 假設(shè)在 y 上存在定點 M ( 0 ， m ) ， 滿足題設(shè) ， 則 MA→＝ ( x1， y1－ m ) ， MB→＝ ( x2， y2－ m ) ． 第 16講 │ 要點熱點探究 MA→ MB→＝ x1x2＋ ( y1－ m )( y2－ m ) ＝ x1x2＋ y1y2－ m ( y1＋ y2) ＋ m2 ＝ x1x2＋??????kx1－13 ??????kx2－13－ m??????kx1－13＋ kx2－13＋ m2 ＝ ( k2＋ 1) x1x2－ k??????13＋ m ( x1＋ x2) ＋ m2＋23m ＋19 ＝－16 ? k2＋ 1 ?9 ? 2 k2＋ 1 ?－ k??????13＋ m4 k3 ? 2 k2＋ 1 ?＋ m2＋23m ＋19 ＝18 ? m2－ 1 ? k2＋ ? 9 m2＋ 6 m － 15 ?9 ? 2 k2＋ 1 ?. 由假設(shè)得對于任意的 k ∈ R ， MA→ MB→＝ 0 恒成立， 第 16講 │ 要點熱點探究 即????? m2－ 1 ＝ 0 ，9 m2＋ 6 m － 15 ＝ 0 ，解得 m ＝ 1. 因此，在 y 軸上存在定點 M ，使得以 AB 為直徑的圓恒過這個點， 點 M 的坐標為 (0,1) ．這時，點 M 到 AB 的距離 d ＝43 k2＋ 1| AB | ＝ ? k2＋ 1 ?? x1－ x2?2. S△MAB＝12| AB | d ＝23? x1－ x2?2 ＝23? x1＋ x2?2－ 41x2 ＝2316 k2? 2 k2＋ 1 ?＋649 ? 2 k2＋ 1 ?2＝899 k2＋ 4? 2 k2＋ 1 ?2. 第 16講 │ 要點熱點探究 設(shè) 2 k2＋ 1 ＝ t ， 則 k2＝t － 12， 得 t ∈ [ 1 ，＋ ∞ ) ，1t∈ ( 0 , 1 ] ． 所以 S △MAB＝8992 ??????1t－12 ??????1t2 ＝8912 ????????814－??????1t－922≤169. 當且僅當1t＝ 1 時 ， 上式等號成立 ． 因此 ， △ M AB 面積的最大值是169. 要點熱點探究 第 16講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 參數(shù)的范圍問題 例 3 [ 2022 浙江卷 ] 已知 m ＞ 1 ， 直線 l ： x － my －m22＝ 0 ， 橢圓 C ：x2m2 ＋ y2＝ 1 ， F1， F2分別為橢圓 C 的左 、右焦點 ． ( 1 ) 當直線 l 過右焦點 F2時 ， 求直線 l 的方程 ； ( 2 ) 設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A ， B 兩點 ， △ AF1F2，△ BF1F2的重心分別為 G ， H . 若原點 O 在以線段 GH為直徑的圓內(nèi) ， 求實數(shù) m 的取值范圍 ． 第 16講 │ 要點熱點探究 【解答】 (1) 因為直線 l ： x － my －m22＝ 0 經(jīng)過F 2 ( m2－ 1 ， 0) ，所以 m2－ 1 ＝m22，得 m2＝ 2 ， 又因為 m 1 ，所以 m ＝ 2 ， 故直線 l 的方程為 x － 2 y － 1 ＝ 0. 第 16講 │ 要點熱點探究 (2) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ． 由????? x ＝ my ＋m22，x2m2 ＋ y2＝ 1 ，消去 x 得 2 y2＋ my ＋m24－ 1 ＝ 0. 則由 Δ ＝ m2－ 8??????m24－ 1 ＝－ m2＋ 80 ，知 m28 ， 且有 y1＋ y2＝－m2， y1 y2＝m28－12. 由于 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ，故 O 為 F1F2的中點， 由 AG→＝ 2 GO→， BH→＝ 2 HO→，可知 G??????x13，y13， H??????x23，y23， | GH |2＝? x1－ x2?29＋? y1－ y2?29， 第 16講 │ 要點熱點探究 設(shè) M 是 GH 的中點，則 M????????x1＋ x26，y1＋ y26， 由題意可知 2| MO | | GH | ， 即 4????????????????x1＋ x262＋????????y1＋ y262? x1－ x2?29＋? y1－ y2?29， 即 x1x2＋ y1y20 ， 而 x1x2＋ y1y2＝??????my1＋m22 ??????my2＋m22＋ y1y2 ＝ ( m2＋ 1)??????m28－12. 所以m28－120 ，即 m24. 又因為 m 1 ，且 Δ 0 ，所以 1 m 2. 所以 m 的取值范圍是 (1,2) ． 教師備用習題 第 16講 │ 教師備用習題 1 ． [ 2022 湖北卷 ] 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊，C 上每一點到點 F (1,0) 的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1. (1) 求曲線 C 的方程； (2) 是否存在正數(shù) m ，對于過點 M ( m, 0) 且與曲線 C 有兩個交點 A ， B 的任一直線，都有 FA→ FB→0 ？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由． 備選理由：第 1 題是求曲線方程與參數(shù)范圍問題綜合問題；第 2 題的 “ 定點問題 ” 是學生的難點，此題可作為強化訓練題． 第 16講 │ 教師備用習題 【解答】 (1) 設(shè) P ( x ， y ) 是曲線 C 上任意一點，那么點P ( x ， y ) 滿足： ? x － 1 ?2＋ y2－ x ＝ 1( x 0) ．化簡得 y2＝ 4 x ( x 0 ) ． (2) 設(shè)過點 M ( m, 0) ( m 0) 的直線 l 與曲線 C 的交點為A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ． 設(shè) l 的方程為 x ＝ ty ＋ m ，由????? x ＝ ty ＋ m ，y2＝ 4 x ， 得 y2－ 4 ty － 4 m ＝ 0 ， Δ ＝ 16( t2＋ m )0 ， 于是????? y1＋ y2＝ 4 t ，y1y2＝－ 4 m . ① 又 FA→＝ ( x1－ 1 ， y1) ， FB→＝ ( x2－ 1 ， y2) ． 第 16講 │ 教師備用習題 FA→ FB→0