第一章非線性振動(dòng)初步-資料下載頁(yè)
2024-10-11 13:16本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】由于描述單擺振動(dòng)的應(yīng)為實(shí)函數(shù)，所以常數(shù)必。該式是振幅為P，角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)波形為正弦曲線。率只與擺線l得長(zhǎng)度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無(wú)關(guān)，稱為固有角頻率。式中E為積分常數(shù)，由初始條件決定。把看作為兩個(gè)變量，則方。相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法。運(yùn)動(dòng)軌跡稱為軌線。右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動(dòng)能K，第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢(shì)能V，E是系統(tǒng)的總能量。程中K和V兩者都隨時(shí)間變化，而系統(tǒng)總能量E保持不變。當(dāng)K=V=0時(shí)，E=0，有，這時(shí)擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。量E相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個(gè)平面的同心圓[或橢圓]。同一圓周[或橢圓]上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量E=0. 在倒立附近，取對(duì)鉛垂的偏角f?這是在[]處的雙曲線的漸近線，這點(diǎn)稱為雙曲奇點(diǎn)，也稱鞍點(diǎn)。相圖上這點(diǎn)為的[]點(diǎn)。[]附近相軌線為近似橢圓形的閉合軌道；所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱。是柱面上的相軌線的展開圖。為待定常數(shù)，特征方程解：
【正文】 DCBA00 y,xA xP???00 y,xB yP???00 y,xC xQ???00 y,xD yQ???YXdtdYYXdtdXDCBA???? 研究 平衡點(diǎn)的鄰域 線性方程組 微分 代入 得二階線性方程： 通過求解這方程得各種 平衡點(diǎn)類型 YXdtdX BA ??dtdYdtdXdtXd BA22 ??YXdtdXdt Xd BDBCA22 ???XdtdXY AB ??0)()(22 ????? XBCADdtdXDAdt Xd 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)附近的軌線方程 YXdtdY DC ??方程 代入 特征方程 引入符號(hào) 特征方程解： 由特征方程得： 參數(shù) ?取值不同 ,給出不同類型平衡點(diǎn) . 特征方程解的簡(jiǎn)化： 由于每個(gè)變量 X ,Y 中包含了兩個(gè)參數(shù) ? ，看不清平衡點(diǎn)的性質(zhì)，于是進(jìn)行坐標(biāo)變換： 在新坐標(biāo)中有： 其解分別只與一個(gè)參數(shù)有關(guān)： tJe ?? ?X0)()(2 ????? BCADDA ??DAp ??BCADq ??t4t3t2t12121eJeJeJeJ????????YX? ?qpp 421 22,1 ?????hg??h??????YXh?h???21??dtddtdt0 1e??? ?t0 2e?hh ?0)()(22 ????? XBCADdtdXDAdt Xdh? , ?YX 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)附近的軌線方程 平衡點(diǎn)類型 ? ⑴ 結(jié)點(diǎn) ? 特征根式 的根號(hào)中 ，則解 為兩個(gè)同號(hào)實(shí)根，其平衡點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn) 。 結(jié)點(diǎn)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分 如果 ，結(jié)點(diǎn)為穩(wěn)定的。 如果 ，結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定。 21,??qp 42 ?21 ?? ?0, 21 ???0, 21 ???t0 1e??? ?t0 2e?hh ?? ??????? ???? qpp 421 22,1 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 0, 21 ???0, 21 ??? ⑵ 鞍點(diǎn) 特征根式 根號(hào)中 ， 解 為異號(hào)實(shí)根 。 相軌線為雙曲線 ， 奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn) 。 有四條流線通過鞍點(diǎn) ， 其兩條流向鞍點(diǎn)是穩(wěn)定的 ， 另外流離鞍點(diǎn)的兩條是不穩(wěn)定的 。 “ 鞍點(diǎn) ” 源于對(duì)該點(diǎn)特性形象描述 ， 指馬鞍中心點(diǎn) ， 是沿馬脊梁的最低點(diǎn) 。 流向鞍點(diǎn)是兩條穩(wěn)定流線 ， 但任何微小偏離將使其沿馬背的左或右邊滑走 。 qp 42 ? 21,??21 0 ?? ??12 0 ?? ??? ??????? ???? qpp 421 22,1 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 ⑶ 焦點(diǎn) 特征根式 根號(hào)中 ， 解 為兩個(gè)虛根 。 如阻尼單擺那樣 ， 相軌線是對(duì)數(shù)螺旋線 ， 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為焦點(diǎn) 。 ? 當(dāng)實(shí)部為負(fù)值時(shí)，與阻尼單擺相同，平衡點(diǎn)是螺旋線簇的漸近點(diǎn)。 ? 當(dāng)實(shí)部為正值時(shí)，相軌線從平衡點(diǎn)發(fā)散開來(lái)，焦點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 21,??? ??????? ???? qpp 421 22,1 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 qp 42 ???? i??2,1 2/p?? 2/42 qpi ???0??0?? 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 ⑷ 中心點(diǎn) 如果 ， 且 兩個(gè)虛根的實(shí)部 等于零 。 螺旋線矢徑不隨時(shí)間變化 ， 圍繞平衡點(diǎn)是封閉曲線族 。 平衡點(diǎn)是軌線族的中心 ， 稱為 “ 中心點(diǎn) ” 。 ? 封閉橢圓曲線代表作周期運(yùn)動(dòng) 。 根據(jù)虛部的正負(fù)不同 ， 相軌線上的相點(diǎn)可以是順時(shí)或逆時(shí)方向轉(zhuǎn)動(dòng) 。 ? 根據(jù)穩(wěn)定性定義，周期運(yùn)動(dòng)滿足穩(wěn)定性條件，中心點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。 qp 42 ? 0????? i??2,1p,q 平面上奇點(diǎn)分布 p,q 平面 在 平面下半部分 ， ,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn) 平面上半部 ， 由拋物線 分為四個(gè)區(qū) . 0?qqp 42 ? 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 第一象限由拋物線劃分成不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn) (p24q) 與不穩(wěn)定的焦點(diǎn) (p24q) 兩 個(gè)區(qū) ； 第二象限由拋物線劃分成穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn) (p24q) 與穩(wěn)定的焦點(diǎn)(p24q) 兩 個(gè)區(qū)； 在正 q 軸上 , p = 0, ?是純虛數(shù) ,平 衡點(diǎn)是中心點(diǎn) ,附近是橢圓軌線 。
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