第一章非線性振動(dòng)初步(參考版)
2024-10-15 13:16本頁(yè)面
【正文】 qp 42 ? 0????? i??2,1p,q 平面上奇點(diǎn)分布 p,q 平面 在 平面下半部分 ， ,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn) 平面上半部 ， 由拋物線 分為四個(gè)區(qū) . 0?qqp 42 ? 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 第一象限由拋物線劃分成不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn) (p24q) 與不穩(wěn)定的焦點(diǎn) (p24q) 兩 個(gè)區(qū) ； 第二象限由拋物線劃分成穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn) (p24q) 與穩(wěn)定的焦點(diǎn)(p24q) 兩 個(gè)區(qū)； 在正 q 軸上 , p = 0, ?是純虛數(shù) ,平 衡點(diǎn)是中心點(diǎn) ,附近是橢圓軌線 。 根據(jù)虛部的正負(fù)不同 ， 相軌線上的相點(diǎn)可以是順時(shí)或逆時(shí)方向轉(zhuǎn)動(dòng) 。 平衡點(diǎn)是軌線族的中心 ， 稱為 “ 中心點(diǎn) ” 。 21,??? ??????? ???? qpp 421 22,1 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 qp 42 ???? i??2,1 2/p?? 2/42 qpi ???0??0?? 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 ⑷ 中心點(diǎn) 如果 ， 且 兩個(gè)虛根的實(shí)部 等于零 。 ? 當(dāng)實(shí)部為負(fù)值時(shí)，與阻尼單擺相同，平衡點(diǎn)是螺旋線簇的漸近點(diǎn)。 qp 42 ? 21,??21 0 ?? ??12 0 ?? ??? ??????? ???? qpp 421 22,1 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)類型 ⑶ 焦點(diǎn) 特征根式 根號(hào)中 ， 解 為兩個(gè)虛根 。 “ 鞍點(diǎn) ” 源于對(duì)該點(diǎn)特性形象描述 ， 指馬鞍中心點(diǎn) ， 是沿馬脊梁的最低點(diǎn) 。 相軌線為雙曲線 ， 奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn) 。 如果 ，結(jié)點(diǎn)為不穩(wěn)定。 3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 時(shí)的相軌線 teAtx t ?g c o s)( ????1. 相軌線 第三節(jié) 相圖方法 由單擺 基本方程 引進(jìn)變數(shù) y：一個(gè)二階方程改用兩個(gè)一階微分方程來(lái)描寫(xiě)： 利用第二式可得單擺 相軌線方程 積分得單擺的橢圓軌線方程： 02022 ?? xdt xd ?0, 20 ??? xdtdydtdxy ?020 ?? yxdxdy ?Exy ?? 2202 2121 ?單擺 1 相圖方法 一個(gè) 非線性微分方程 ： 引進(jìn)變數(shù) y 后有 或更一般的形式 得相軌線方程： ),(22 dtdxxfdt xd ??????????),( yxfdtdyydtdx???????),(Q),(Pyxdtdyyxdtdx),P(),Q(yxyxdxdy ?一般情況 1 相圖方法 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從下面推出： 一般的形式平衡點(diǎn)坐標(biāo)： ?????????0),(0),(yxQdtdyyxPdtdx???????c o n s t)(c o n s t)(00yyxx系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 對(duì)平衡點(diǎn)的鄰域進(jìn)行泰勒展開(kāi) 引進(jìn)新變數(shù)： 高階項(xiàng)高階項(xiàng)????????????)()(),(),()()(),(),(0y,x0y,x000y,x0y,x0000000000yyyQxxxQyxQyxQyyyPxxxPyxPyxP????????平衡點(diǎn)附近的軌線方程 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 得新方程： 式中 研究 平衡點(diǎn)的鄰域 的相軌線 ， 可以忽略高階項(xiàng) ， 得線性方程組 0yyY ??0xxX ??高階項(xiàng)高階項(xiàng)??????YXdtdYYXdtdXDCBA00 y,xA xP???00 y,xB yP???00 y,xC xQ???00 y,xD yQ???YXdtdYYXdtdXDCBA???? 研究 平衡點(diǎn)的鄰域 線性方程組 微分 代入 得二階線性方程： 通過(guò)求解這方程得各種 平衡點(diǎn)類型 YXdtdX BA ??dtdYdtdXdtXd BA22 ??YXdtdXdt Xd BDBCA22 ???XdtdXY AB
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1