第一章非線性振動初步(已改無錯(cuò)字)
2022-11-23 13:16:32 本頁面
【正文】 法 ? 諧波線性化方法 （ 續(xù) ） 忽略方程 中的三次諧波項(xiàng) 。 因?yàn)椋? 就有： 就可將 范德玻耳方程化為 線性化方程： 其解為 dtdxAdtdxx ?????? ?? 1411)( 22 ee0)141( 20222 ???? xdtdxAdt xd ?eteAtx t ?g c o s)( ?????????? ??? 14121)( 2AA egg? ?2/1222202/1220 1414 ???????? ?????? ????? Ae?g??3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 t3s in41+ts in141c o s)(32220?e??e???AAAtA?????? ???dtdxxxdtxd )1( 22022 ???? e?ts in ??Adtdx ??方程解的討論 ? 線性化方程 范德玻耳方程解 其 衰減系數(shù) 與頻率 與振幅相關(guān) ，由此得： ， 系統(tǒng)作衰減振動，振動頻率 ； ， 系統(tǒng)作增幅振動，振動頻率 ； 時(shí)，系統(tǒng)作等幅振動，振動頻率 ； ，振動總是趨向于穩(wěn)定幅值。 teAtx t ?g c o s)( ?????????? ??? 14121)( 2AA eggcAA? 0)( ?Ag 0???cAA 0)( ?Ag 0???2= c ?AA 0???3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 ? ? 2/1222202/1220 14141 ???????? ?????? ????? Ae?g?? 當(dāng) 時(shí) ， 系統(tǒng)作增幅振動 ， 初 始相點(diǎn)從內(nèi)向外趨近于極限環(huán)； 當(dāng) 時(shí) ， 系統(tǒng)作減幅振動 ， 初 始相點(diǎn)從外向內(nèi)逼近于極限環(huán)； 范德玻耳方程相圖 ?ecAAcAA? 方程解 的結(jié)論是振動趨于一個(gè)定常振幅的周期振蕩 。 在相平面上是一條閉合軌線 ， 稱 為 極限環(huán) 。 極限環(huán)是另一類吸引子 ， 它將環(huán)內(nèi)與環(huán)外的相點(diǎn)吸引到環(huán)上 。 3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 時(shí)的相軌線 teAtx t ?g c o s)( ????1. 相軌線 第三節(jié) 相圖方法 由單擺 基本方程 引進(jìn)變數(shù) y：一個(gè)二階方程改用兩個(gè)一階微分方程來描寫： 利用第二式可得單擺 相軌線方程 積分得單擺的橢圓軌線方程： 02022 ?? xdt xd ?0, 20 ??? xdtdydtdxy ?020 ?? yxdxdy ?Exy ?? 2202 2121 ?單擺 1 相圖方法 一個(gè) 非線性微分方程 ： 引進(jìn)變數(shù) y 后有 或更一般的形式 得相軌線方程： ),(22 dtdxxfdt xd ??????????),( yxfdtdyydtdx???????),(Q),(Pyxdtdyyxdtdx),P(),Q(yxyxdxdy ?一般情況 1 相圖方法 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)從下面推出： 一般的形式平衡點(diǎn)坐標(biāo)： ?????????0),(0),(yxQdtdyyxPdtdx???????c o n s t)(c o n s t)(00yyxx系統(tǒng)的平衡點(diǎn) 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 對平衡點(diǎn)的鄰域進(jìn)行泰勒展開 引進(jìn)新變數(shù)： 高階項(xiàng)高階項(xiàng)????????????)()(),(),()()(),(),(0y,x0y,x000y,x0y,x0000000000yyyQxxxQyxQyxQyyyPxxxPyxPyxP????????平衡點(diǎn)附近的軌線方程 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 得新方程： 式中 研究 平衡點(diǎn)的鄰域 的相軌線 ， 可以忽略高階項(xiàng) ， 得線性方程組 0yyY ??0xxX ??高階項(xiàng)高階項(xiàng)??????YXdtdYYXdtdX
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