第一章非線性振動(dòng)初步-文庫吧資料
2024-10-19 13:16本頁面
【正文】 ??0)()(22 ????? XBCADdtdXDAdt Xd 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)附近的軌線方程 YXdtdY DC ??方程 代入 特征方程 引入符號(hào) 特征方程解： 由特征方程得： 參數(shù) ?取值不同 ,給出不同類型平衡點(diǎn) . 特征方程解的簡化： 由于每個(gè)變量 X ,Y 中包含了兩個(gè)參數(shù) ? ，看不清平衡點(diǎn)的性質(zhì)，于是進(jìn)行坐標(biāo)變換： 在新坐標(biāo)中有： 其解分別只與一個(gè)參數(shù)有關(guān)： tJe ?? ?X0)()(2 ????? BCADDA ??DAp ??BCADq ??t4t3t2t12121eJeJeJeJ????????YX? ?qpp 421 22,1 ?????hg??h??????YXh?h???21??dtddtdt0 1e??? ?t0 2e?hh ?0)()(22 ????? XBCADdtdXDAdt Xdh? , ?YX 2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn)附近的軌線方程 平衡點(diǎn)類型 ? ⑴ 結(jié)點(diǎn) ? 特征根式 的根號(hào)中 ，則解 為兩個(gè)同號(hào)實(shí)根，其平衡點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn) 。 在相平面上是一條閉合軌線 ， 稱 為 極限環(huán) 。 因?yàn)椋? 就有： 就可將 范德玻耳方程化為 線性化方程： 其解為 dtdxAdtdxx ?????? ?? 1411)( 22 ee0)141( 20222 ???? xdtdxAdt xd ?eteAtx t ?g c o s)( ?????????? ??? 14121)( 2AA egg? ?2/1222202/1220 1414 ???????? ?????? ????? Ae?g??3 非線性阻尼振子 范德玻耳方程 t3s in41+ts in141c o s)(32220?e??e???AAAtA?????? ???dtdxxxdtxd )1( 22022 ???? e?ts in ??Adtdx ??方程解的討論 ? 線性化方程 范德玻耳方程解 其 衰減系數(shù) 與頻率 與振幅相關(guān) ，由此得： ， 系統(tǒng)作衰減振動(dòng)，振動(dòng)頻率 ； ， 系統(tǒng)作增幅振動(dòng)，振動(dòng)頻率 ； 時(shí)，系統(tǒng)作等幅振動(dòng)，振動(dòng)頻率 ； ，振動(dòng)總是趨向于穩(wěn)定幅值。一個(gè)可變非線性阻尼的微分方程： 阻尼項(xiàng)系數(shù)是 與 x2 有關(guān)， e? 為可以任意設(shè)定的小數(shù)。 整個(gè)相平面被分隔成兩個(gè)區(qū)域 ， 不同區(qū)的相點(diǎn)分別流向這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 。 2. ， 原點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn) ， 平面任一點(diǎn)都趨于原點(diǎn) ， 是整個(gè)相平面吸引子 。 其中 兩條軌線走向原點(diǎn) ， 另兩條離開原點(diǎn)；當(dāng)沿一條從原點(diǎn)出發(fā)繞了一圈后回到原點(diǎn) ， 這原點(diǎn)稱同宿點(diǎn) 。 因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線 ， 形成一對(duì)蛋形軌線 。 2. 對(duì)于 ,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn) ， 鄰近相軌線是雙曲線 。 例 ：弱非線性單擺屬 Duffing方程： 取： 得： ?0??0??tFxxdtdxdt xd ??????? c o s322 ??g3x6/s in 3xxx ??0)6/( 32022 ???? xxdtdxdt xd ?g0s in2022 ??? xdtdxdt xd ?g杜芬 方程 ? 研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程： （ ， ， ） 積分得： 由系統(tǒng)能量 得： 討論 ：由 知： 1. 當(dāng) 時(shí)有一個(gè)平衡點(diǎn)： 2. 當(dāng) 時(shí)有三個(gè)平衡點(diǎn)： 3. 平衡點(diǎn) 為兩個(gè)能量最小點(diǎn) 0322 ???? xxdt xd ?Exxdtdx ??????? ???????? 242212121 ?EVK ???????? ??? 242121 xxV ?0??0??0??0/ ?dxdV0??0?x???x0?x???x0?g0?F 1??
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