【正文】 第四章 復域分析法－根軌跡法 常規(guī)根軌跡： 1**1()()1 ( ) ( ) 1 1 0()()mjjniiszNsG s H s K KDssp???? ? ? ? ? ????特征方程 參數(shù)根軌跡：從系統(tǒng)的特征方程出發(fā) ， 引入等效傳遞函數(shù)的概念 ， 構造一個新系統(tǒng) ， 使新系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母 (特征式 )與原系統(tǒng)一樣 ， 而新系統(tǒng)的開環(huán)增益恰為原系統(tǒng)的參數(shù) (即以可變參數(shù)代替原來的 K*)， 得到 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 ()10()PsQs???( ) ( )單 參 數(shù) 根 軌 跡參 數(shù) 根 軌 跡雙 參 數(shù) 多 參 數(shù) 根 軌 跡 族???自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 根軌跡的繪制規(guī)則： (1) 根軌跡的分支數(shù)： (2) 根軌的對稱性： (3) 根軌的起點、終點： (4) 根軌在實軸上的分布： (5) 根軌跡的漸近線： (6) 根軌跡的分離點坐標： 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (7) 實軸上的分離角 (與會合角 )： (8) 根軌跡的起始角和終止角： (9) 根軌跡與虛軸交點及臨界根軌跡增益： (10) 閉環(huán)極點 (根 )的和與積： 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 例 已知系統(tǒng) 試作 ?從 0 ? ? 變化的閉環(huán) 根軌跡。 ()()sss5151? ??R ( s ) C ( s )解： 特征方程 2( ) ( 5 1 ) 5 ( 1 ) 5 5 5 0D s s s s s s s??? ? ? ? ? ? ? ? ?構造新系統(tǒng) sss2555???R ( s ) C ( s )自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 開環(huán)傳遞函數(shù) 22*5()5 5 0 .2 1( 0 .1 j 0 .9 9 5 ) ( 0 .1 j 0 .9 9 5 )ssGss s s ssss??? ? ? ??? ? ? ????根據(jù) ?* ： 0 ? ?，作出根軌跡圖 新系統(tǒng)的開環(huán)零、極點： pz1 , 210 . 1 j 0 . 9 9 50? ? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1 1 1 j 0 z1 = 0 不是原系統(tǒng)的閉環(huán)零點 ， 因此 “ 等效” 的含義僅在閉環(huán)極點相同這一點上成立， 而閉環(huán)零點一般是不同的 。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 二、雙參數(shù)根軌跡 假設特征方程 式中 ?、 ? 為可變參數(shù)， Q(s), W1(s), W2(s) 為 s 的多項式。 12( ) ( ) ( ) 0 ( *)Q s W s W s??? ? ?(1)第一步：先設一個可變參數(shù)等于零。若設 ? = 0，于是上式變?yōu)? 1( ) ( ) 0Q s W s???自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 等效變換，用 Q(s)除方程的兩邊，得 111()1 0 1 ( ) ( ) 0()Ws G s H sQs?? ? ? ?根據(jù) 的零、極點分布繪制根軌跡。 111()( ) ( )()WsG s H sQs??? 從 0 ? ?變化的根軌跡。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (2) 第二步：還原 ? 的值， ? ? 0，用 Q(s) + ? W1(s) 除方程的兩邊，得 2221()1 + 0 1 ( ) ( ) 0( ) ( )Ws G s H sQ s W s??? ? ??根據(jù) 的零、極點分布繪制 (*)的廣義根軌跡。 2221()( ) ( )( ) ( )WsG s H sQ s W s??? ?? 從 0 ? ?變化的根軌跡。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 G2(s)H2(s)的開環(huán)極點與 1+G1(s)H1(s)的根是一致的 。 這樣 ， 原方程的廣義根軌 跡 的 全 部 起 點 (? = 0) 都 落 在1+G1(s)H1(s)=0的根軌跡上 。 這樣就把廣義根軌跡的問題看成是嵌套在另一種根軌跡的問題中 。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試作 K, ? 變化的 根軌跡族。 ( 1 )( ) ( )( 1 ) ( 2 )KsG s H ss s s? ????解： 特征方程 (1) 當 ? = 0 時： 構造一個新系統(tǒng)： 繪制 K： 0 ? ? 變化時的根軌跡 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 0D s s s s K? ? ? ? ?11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s? ??自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 ⑤ 分離點 sd： 解得 ① 開環(huán)零、極點： p1= 0， p2= 1， p3= 2 ② 三條，都趨于無窮遠 ③ 實軸上 (1, 0), (?, 2) ④ 漸近線： aa( 1 ) ( 2 )6 0 , 1 8 0 , 6 0 13??? ? ?? ? ? ? ?ddd1 1 1 011sss? ? ???d 1 d 23, 77(ss? ? ? ? 舍 去 )自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 ⑥ 與虛軸交點： *2 , 0 6K? ? ? ?112341212j 0 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 (2) 再作 ? ? 0 時的根軌跡： 構造一個以參數(shù) ? 為開環(huán)增益的系統(tǒng) 其起點都在 ? = 0 時， K 變化的根軌跡上。 22( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KsG s H ss s s K??? ? ?① 取 K = 20，此時的開環(huán)傳遞函數(shù)為 *22( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) 2 0sG s H ss s s??? ? ?開環(huán)零、極點： z1 = 0 。 p1= ， p2,3= 177。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 廣義根軌跡漸近線與實軸的交點： aa 31π 2??? ? ?? ? ????② 取 K = 3， 6， 9等值： 開環(huán)零、極點： z1 = 0 。 p1= ， p2,3= 177。 開環(huán)零、極點： z1 = 0 。 p1= 3， p2,3= 177。 開環(huán)零、極點： z1 = 0 。 p1= ， p2,3= 177。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 開環(huán)極點： 閉環(huán)極點： 漸近線與實軸交點坐標： 323 2 0sss? ? ?323 2 0s s s K? ? ? ?a11132nmijijnpznmanm????????? ?? ? ??????開 環(huán) 極 點 值 － 開 環(huán) 零 點 值極 點 數(shù) － 零 點 數(shù)自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 起始角的計算： 11( 2 1 ) π ( ) ( )kmnp k j k ijikk p z p p????? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ?232 1 2 1 2 320 :18 0 ( ) ( ) ( ) 44 3 44 318 0 ar c t an ( ar c t an 90 ) 18 6 37 1 18 618 0 79 .43 27 .81 9014 214 2ppKp z p p p p???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ????自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 2323233 : 16 1. 25 16 1. 256 : 15 4. 76 15 4. 769 : 14 9. 55 14 9. 55ppppppKKK??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?⑥ 與虛軸交點： (根據(jù)公式求出根軌跡與虛軸交點的坐標，具體求解過程省略 ) 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 K=20的根軌跡圖 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 K=3 的根軌跡圖 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 K=6 的根軌跡圖 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 K=9 的根軌跡圖 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 1123412341234j 0 K, ? 變化的根軌跡族 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 本章 小結 1． 根軌跡是通過系統(tǒng)的開環(huán)某一 (或某些 )參數(shù)變化求出系統(tǒng)閉環(huán)特征根的變化軌跡 ，從而對系統(tǒng)進行性能分析 。 2. 正確理解根軌跡的基本概念，掌握給制根軌跡的基本法則，根據(jù)根軌跡圖和主導極點、偶極子的概念對系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能進行分析。反之，知道根軌跡圖上的特征根 的值，利用摸值方程反求出其對應的 K值。 自動控制原理 第四章 復域分析法－根軌跡法 3． 要清楚廣義根軌跡的繪制方法 ， 以及根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的廣義根軌跡參數(shù)的變化分析系統(tǒng)的動態(tài)性能 。