【正文】 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 ( ) ( )()( ) 1 ( ) ( )C j G jWjR j G j H j???? ? ??? ?閉環(huán)頻率特性可寫成 ( ) 1 ( ) ( )()( ) ( ) 1 ( ) ( )()1 ( ) 1 ( )KKC j G j H jWjR j H j G j H jGjH j G j? ? ??? ? ? ????? ? ?????在尼柯爾斯圖上畫出 特性曲線，并在不同頻率點(diǎn)處讀取和 θ值，可以求得 ()1 ( )KKGjGj???()KGj?的幅值和相角。 60 閉環(huán)頻域性能指標(biāo) 用閉環(huán)頻率特性來評價(jià)系統(tǒng)的性能，通常用以下指標(biāo)： （ 1）諧振峰值 Mr。諧振峰值是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值。 （ 2）諧振頻率。諧振頻率是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率。 （ 3）帶寬頻率。帶寬頻率是閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值由其初始值 M(0)減小到 M(0)時(shí)的頻率，也稱頻帶寬度。 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)示于下圖： ωM (ω )10 . 707ω r ωb Mr061 頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 我們知道，在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步考查其瞬態(tài)響應(yīng)性能。由于時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)最為直觀、最具有實(shí)際意義，因此，系統(tǒng)性能的優(yōu)劣最終是用時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)來衡量。所以研究頻率特性的性能指標(biāo)與瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系，對于用頻域法分析、設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)是非常重要的。 開環(huán)頻域指標(biāo)主要包括剪切頻率 wc、相角裕度 g 以及幅值裕度 Kg ；閉環(huán)頻域指標(biāo)主要包括諧振峰值 Mr，諧振頻率 wr以及帶寬頻率 wb；時(shí)域暫態(tài)指標(biāo)可以用相對超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間來描述。本節(jié)主要討論上述性能指標(biāo)之間的關(guān)系。 62 開環(huán)頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 1．相角裕度和相對超調(diào)量之間的關(guān)系 典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 )2()(2nnjjjG ????????其幅頻特性和相頻特性分別為 ? )222()2nnA ??? ? ? ???2( ) a r c tan a r c tan22 nn????? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?相位裕度 422( ) a r c ta n1 4 2c?? ? ? ???? ? ???63 相角裕度 隨 變化的曲線如圖所示。 可見，當(dāng) 0 ? ? 的范圍內(nèi)，它們的關(guān)系可以近似地表示為 = 上式表明，當(dāng)相角裕度 為 30 ?～ 60? 時(shí)， 對應(yīng)二階系統(tǒng)的阻尼比 為 ～ 。 ??? ???時(shí)域暫態(tài)指標(biāo)超調(diào)量與系統(tǒng)阻尼比 的關(guān)系為 21% e 1 0 0 %???????? 即相角裕度 和超調(diào)量均為系統(tǒng)阻尼比 的單值函數(shù)，于是可繪出二階系統(tǒng)的超調(diào)量與相角裕度 的關(guān)系曲線，如圖所示。 ????64 2．相角裕度 和調(diào)節(jié)時(shí)間之間的關(guān)系 這是二階系統(tǒng) sct?與 之間的關(guān)系，繪成曲線如圖所示。 1 0 00 2 04 0 6 0 8 0 2 00 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 γ ( 176。 )tsωcΔ = 5由二階系統(tǒng)看出，調(diào)節(jié)時(shí)間與相位裕度有關(guān)。如果兩個(gè)系統(tǒng)的相位裕度相同，那么它們的超調(diào)量大致相同，但它們的瞬態(tài)過程時(shí)間與剪切頻率成反比。剪切頻率越大的系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間越短。所以，剪切頻率在對數(shù)頻率特性中是一個(gè)重要的參數(shù)，它不僅影響系統(tǒng)的相位裕度，也影響系統(tǒng)的瞬態(tài)過程時(shí)間。 ?65 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 1． 二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為 222()()( ) 2nnnCsWsR s s s?? ? ??? ??因此，二階系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為 22221()12nnM ??? ????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?10 2??? 時(shí)，令 0d )(d ???M ，可得 221 ??? ?? nr2121?? ??rM66 當(dāng) ? ，諧振頻率為虛數(shù)，即系統(tǒng)不產(chǎn)生諧振，此時(shí)，幅頻特性 M(ω)隨 ω的增加單調(diào)衰減；當(dāng) 0 1 / 2 ?? ? ?諧振峰值 Mr是阻尼比 ? 的單值函數(shù)，并隨 ? 的減小而不斷增大。 1 . 000 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0ω r ω nω d1 2 ζ21 ζ2ω r ω dω n==ω n ω n,ζ67 1 . 00 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 6 0 1 02 03 04 05 00 . 2 0 . 40 . 6 0 . 8 1 . 0 1 0 01 . 21 234 56 0 2 0 6 0 ζωb ωn ts Mrσ %/ωn ωn ts ωb /ωn Mrσ%閉環(huán)頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系 0 1 02 0 3 04 05 0 1Mrσ% 2 . 01 . 2 1 . 41 . 6 1 . 8二階系統(tǒng)的 與 rM%? 之間的關(guān)系曲線 （ 2）諧振峰值 Mr和調(diào)節(jié)時(shí)間之間的關(guān)系 將系統(tǒng)特征參量和瞬態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間的近似表達(dá)式 3snt ???繪于同一張圖中。 （ 1）諧振峰值 Mr和超調(diào)量 %? 之間的關(guān)系 68 （ 3）帶寬頻率 和阻尼比 之間的關(guān)系 21211)(2222?????????????????? ??mbnbbM??????解上式得 422 44221 ????? ????? nb 將 wb/wn與 z 的關(guān)系曲線也繪于圖 。分析可知， wb為 z 的減函數(shù)，即wb與阻尼比 z 成反比。所以系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)速度與帶寬成正比。 由于二階系統(tǒng)的頻率特性與瞬態(tài)響應(yīng)之間存在著確定的關(guān)系，因而可以根據(jù)計(jì)算得到的 (或測得的 )閉環(huán)頻率特性曲線分析它的瞬態(tài)響應(yīng)。 也就是說先由閉環(huán)頻率特性曲線測取諧振峰值 Mr ，諧振頻率 wr及帶寬頻率wb，再按照相應(yīng)的曲線找出阻尼比 z 、有阻尼振蕩頻率 wd和無阻尼振蕩頻率 wn，然后按照 z 值和 wn值，計(jì)算時(shí)域性能指標(biāo)來確定其瞬態(tài)響應(yīng)性能。 69 2．高階系統(tǒng)閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 （ 1）對于高階系統(tǒng)，頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間沒有嚴(yán)格的解析關(guān)系式，工程上常用如下近似公式： 諧振峰值 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間 1sinrM ??? )0 .1 6 0 .4 1 , 1 1 .8rrMM? ? ? ? ? ?0scKt ???其中 ? ) ? ) 20 2 1 .5 1 2 .5 1 , 1 1 .8r r rK M M M? ? ? ? ? ? ?上述經(jīng)驗(yàn)公式，一般偏于保守，實(shí)際性能要好于估算結(jié)果。 70 11r HM H ?? ? 或者 11rrMH M ?? ?21rc rMM?? ??31rc rMM?? ?? 0 176。 1 8 0 176。 9 0 176。ωωφ ( ω )L ( ω )γ ( ω m ) γω2ω3ωmωcωmωcH 2 0 d B / d e c 4 0 4 0 0 公式表明，中頻區(qū)寬度 H與諧振峰值一樣，同是描述系統(tǒng)阻尼程度的頻域指標(biāo)。 （ 2）開環(huán)幅頻特性 ? ) ? )20 l g G j H j??中頻區(qū)寬度與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系 對于圖 ，在 mc??? 情況下，轉(zhuǎn)角頻率 2? 、轉(zhuǎn)角頻率 3?、剪切頻率 以及中頻區(qū)寬度 H 有如下關(guān)系式成立：