【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 形式為 35 復(fù)變函數(shù) F(s)的幅角可表示為 ???????????njjmii pszssF11)()()( 假定在 s平面上的封閉曲線 Γs包圍了 F(s)的一個(gè)零點(diǎn) (z1)，而其它零、極點(diǎn)都位于封閉曲線之外，則當(dāng)變點(diǎn) s沿著 s平面上的封閉曲線 Γs順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，向量 (s+z1)的幅角的增量 Δ∠ (s+z1)= 2p 弧度，而其它各向量的幅角增量為零。這時(shí)，函數(shù) F(s)幅角的增量為 如果在 s平面畫一條封閉曲線，并使其不通過 F(s)的任一奇點(diǎn)，則在 F(s)平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線。 ?2)()()(11???????????? ????njjmii pszssF36 這意味著在 F(s)平面上的映射曲線 ΓF沿順時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化一周，即 F(s)的幅角變化了 2p 弧度，如圖所示。 同理，若 s平面上的封閉曲線 Γs包圍 F(s)的 Z 個(gè)零點(diǎn)，則在 F(s)平面上的映射曲線ΓF將按順時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化 Z周。 用類似分析方法可以推論，若 s平面上的封閉曲線 Γs包圍 F(s)的 P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng) s沿著 s平面上的封閉曲線 Γs順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在 F(s)平面上的映射曲線 ΓF將按逆時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化 P周。 綜上所述，可歸納如下： 如果 s平面上的封閉曲線以順時(shí)針方向包圍函數(shù) F(s)的 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，則F(s)平面上的映射曲線 ΓF相應(yīng)地包圍坐標(biāo)原點(diǎn) N次，且 Ｎ = Z P 若 Ｚ P， N為正值，包圍方向?yàn)轫槙r(shí)針；若 Ｚ P， N為負(fù)值，包圍方向?yàn)槟鏁r(shí)針。 37 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的特征根都具有負(fù)實(shí)部，或均不在右半 s平面。奈魁斯特通過映射定理把 s平面上的這一穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)換到頻率特性平面，從而形成了在頻率域內(nèi)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則。 1．復(fù)變函數(shù) F(s)的選擇 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖。開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)一般為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，為 )()()()(sNsMsHsG ?閉環(huán)傳遞函數(shù) )()(1)()()()(sHsGsGsRsCsW???則閉環(huán)特征式 )( )()()()(1)( sN sMsNsHsGsF ????38 考慮到開環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪 m均小于分母的最高次冪 n，故復(fù)變函數(shù) F(s)的分子和分母兩個(gè)多項(xiàng)式的階次是相同的。因此， F(s)可改寫為 )()()(11???????niiniipszssF 特征函數(shù) F(s)具有如下特點(diǎn)：① F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)；② F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；③ F(s)和 G(s) H(s)只差常數(shù) 1。 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為使特征函數(shù) F(s)的零點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，或者說 F(s)的所有零點(diǎn)都不在 s平面的右半平面內(nèi)即可。 39 Γs的選擇及奈氏判據(jù) 為了將幅角定理應(yīng)用于頻率域判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，選取 s平面上的封閉曲線 Γs使之包圍整個(gè) s右半平面。該封閉曲線由整個(gè)虛軸（從 s= j∞到s= +j∞）和右半平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構(gòu)成，這一封閉曲線通常稱作奈魁斯特軌跡，其方向?yàn)轫槙r(shí)針，如圖所示。 因此，在右半 s平面內(nèi)是否包圍 F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的問題，也就歸結(jié)為在奈魁斯特軌跡內(nèi)是否包圍 F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的問題。 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線 G(jw)H(jw)不通過 (1， j0)點(diǎn)，且逆時(shí)針包圍（ 1， j0）點(diǎn)的周數(shù) N等于開環(huán)傳遞函數(shù)正實(shí)部根的個(gè)數(shù) P，即 N = P。 40 關(guān)于奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)有如下說明： ①對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)（即 P=０， G(s)H(s)在右半 s平面無極點(diǎn)），當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線 G(jw)H(jw)不通過也不包圍 (1， j0)點(diǎn)，即 N = 0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； ②對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)（即 P≠0， G(s)H(s)在右半 s平面含有 P個(gè)極點(diǎn)），當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線 G(jw)H(jw)逆時(shí)針包圍 (1， j0)點(diǎn) P周，即 N = P時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； ③如果 N≠P，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)為 Z=N+P ④ 當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線 G(jw)H(jw)通過 (1， j0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 41 例 58 某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的正頻段如圖中的實(shí)線所示，并已知其開環(huán)極點(diǎn)均在 s平面的左半部。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，所以 P=0； 補(bǔ)畫頻率特性的負(fù)頻段，如圖中的虛線所示。 從圖中看到，當(dāng) w從 ∞向 +∞變化時(shí)， G(jw)H(jw)曲線不包圍 (1， j0)點(diǎn)，即 N = 0； 因此 Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 42 （ 2） F(s)在虛軸上有極點(diǎn) 如果在開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)，則映射定理便不能直接應(yīng)用。一種改進(jìn)的辦法是對(duì)奈魁斯特軌跡進(jìn)行修正，使其繞過虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)，并將這些極點(diǎn)排除在奈魁斯特軌跡所包圍的區(qū)域之外，但仍包圍 F(s)在右半 s平面內(nèi)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。 以在原點(diǎn)處有極點(diǎn)為例，修正的奈魁斯特軌跡由以下幾部分組成：變點(diǎn) s從 j∞沿負(fù)虛軸運(yùn)動(dòng)到j(luò)0 后，從 j0 到 j0+，變點(diǎn) s沿半徑為 e (e → ０ )的無限小的半圓運(yùn)動(dòng)，然后再?gòu)?j0+沿正虛軸運(yùn)動(dòng)到 j∞，從 j∞開始的軌跡仍是半徑為無窮大的半圓，變點(diǎn)再沿此軌跡返回到原起始點(diǎn)。 43 例 510 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) )1()()( 2 ?? Tss KsHsG試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 開環(huán)頻率特性函數(shù) )a rc t a n180(1)()()( 22 TTKjHjG ????? ????? ? 畫出 G(jw)H(jw)曲線。 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的沒有極點(diǎn)，故 P=0； 從圖中可以看到奈魁斯特曲線順時(shí)針包圍 (1， j0)點(diǎn) 2周， N=2。 因此 Z=N+P=2，有 2個(gè)特征根在右半 s平面，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 44 例 511 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1()()( 21 ??? sTsTsKsHsG試分析不同 K值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 )1)(1()()( 21 ??? TjTjj KjHjG ?????解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 畫出 G(jw)H(jw)曲線，如圖。 2121TT??2121|)()(| TT TKTjHjG ????G(j?)H(j?)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率 代入幅值表達(dá)式中，得 當(dāng) K = (T1+T2)/ T1T2時(shí)， G(jw)H(jw)曲線正好通過 (1, j0)點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng) K (T1+T2)/ T1T2時(shí)， G(jw)H(jw)曲線不包圍 (1, j0)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng) K (T1+T2)/ T1T2時(shí)， G(jw)H(jw)曲線包圍 (1, j0)點(diǎn) 2周，系統(tǒng)有 2個(gè)不穩(wěn)定特征根，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 45 3. 奈魁斯特判據(jù)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用 應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要畫出全頻段的 G(jw)H(jw)曲線，以便得到封閉的圍線。因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)頻率特性在 w= ∞→0 與 w=0→+∞ 段的曲線是鏡像對(duì)稱的，所以只需畫出 w=0→+∞ 變化時(shí)的 G(jw)H(jw)曲線即可。為了說明這種方法的應(yīng)用，首先介紹極坐標(biāo)圖上頻率特性曲線穿越的概念。 隨著 w增加，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿過 (1, j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，稱為一次正穿，記為 N+=1；隨著 w增加，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針穿過 (1, j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，稱為一次負(fù)穿，記為 N=1，如圖所示； 如果開環(huán)頻率特性曲線起始或終止于 (1, j0)點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸，稱為半次穿越，記為 N+=1/2或 N=1/2。 46 將極坐標(biāo)圖上的穿越點(diǎn)轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上： 極坐標(biāo)圖中 |G(jw)H(jw)|=1的幅值與對(duì)數(shù)幅頻特性圖中的 0dB線相對(duì)應(yīng)； 極坐標(biāo)圖中的負(fù)實(shí)軸與對(duì)數(shù)相頻特性圖中的 φ=177。 (2k+1)π線相對(duì)應(yīng)。 沿頻率 w增加方向，相頻特性曲線自下而上穿過 177。 (2k+1)π線稱為正穿越，反之稱為負(fù)穿越，如圖所示。 0)(2 ???? ?? PNNZ式中 P為開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)， Z為閉環(huán)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)。 綜上，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在對(duì)數(shù)幅頻特性 L(w)0dB的頻段內(nèi)，相頻特性曲線對(duì) 177。 (2k+1)π線的負(fù)穿越與正穿越次數(shù)之差滿足 47 例 512 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()()( 2 ?? ssKsHsG當(dāng) K=10時(shí)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 畫出開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性及其補(bǔ)作的虛直線。