【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 *22)()()()(上式可以等效為下列兩個(gè)方程 ? ? ? ? ?kpszs njimjj 2011??????? ??????,2,1,0 ???k111* ???????niimjjpszsK前者稱(chēng)為 0176。 根軌跡的相角條件，后者叫做 0176。 根軌跡的模值條件 。 與 180176。 根軌跡的幅值條件和相角條件相比較，兩者的幅值條件相同，而相角條件不同。因此， 180176。 常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，原 則上可以應(yīng)用于零度根軌跡的繪制，但在與相角條件相關(guān)的一些規(guī)則中，需作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。需要調(diào)整的根軌跡的規(guī)則如下： 規(guī)則 3中根軌跡在實(shí)軸上的分布應(yīng)改為：若實(shí)軸上某一線(xiàn)段右邊的所有開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則這一線(xiàn)段就是根軌跡 。 規(guī)則 4中漸近線(xiàn)的交角應(yīng)改為 mnka ???? 2 1,2,1,0 ??? mnk ? （ 429） 規(guī)則 7中根軌跡的出射角和入射角應(yīng)改為： ? ? ????????????? ?????nijjppmjpzp ijiji k112 ????? ? ????????????? ?????njzpmijjzzz ijiji k112 ?????,2,1,0 ???k?,2,1,0 ???k除上述三個(gè)規(guī)則外，其他規(guī)則不變。 （ 430） （ 431） 【 例 】 非最小相位系統(tǒng)如圖 ，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。 )1()21( ??ss sK)(sR )(sC??圖 例 47的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )1()()1()21()()( *??????sssKsssKsHsG其中： KK 2* ??根據(jù)零度根軌跡的繪制規(guī)則繪制根軌跡 規(guī)則 1 在圖 “ ”和“ O”分別標(biāo)識(shí)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。 ???? ? 10 0 . 5Im Re2 3 *11???Ks*22??Ks?? 1* ?K1* ?K ?圖 例 47系統(tǒng)的根軌跡圖 規(guī)則 2 根軌跡的分支數(shù)為 2；起始點(diǎn)為 p1=0，p2=1；終止點(diǎn)為 z1=。 規(guī)則 3 確定實(shí)軸上的根軌跡為 [1,0]和 (,+∞) 規(guī)則 4 根軌跡的漸近線(xiàn)為 nm=1條，其交角為 ????????????12002kmnkkmnka????說(shuō)明漸近線(xiàn)與實(shí)軸重合。 規(guī)則 5 為求根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)，令 A(s)=s， B(s)=s(s+1)，代入 A?(s)B(s)A(s)B?(s)=0中，整理后解出上式的根為 s1=,K1*= 為分離點(diǎn) 。s2=， K2*= 為匯合點(diǎn) 將 s=jω代入上式閉環(huán)特征方程并整理得 規(guī)則 6 確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為： )1( **2 ???? KsKs? ? *2* ???? KjK ??令實(shí)部，虛部分別為零，得： 01 ?? 0*1 ?K ,2 ??? 1* 3,2 ?K根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ?對(duì)應(yīng)的臨界根軌跡增益為 1* ?K 10 * ?? K ?? K系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍為 或 參量根軌跡 上面兩節(jié)介紹的根軌跡的基本繪制規(guī)則，是以根軌跡增益 K*作為參變量而得出的，這種在實(shí)際中最常見(jiàn)，但有時(shí)需要研究根軌跡增益 K*以外的其他參數(shù)，如開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)性能的影響。這種根軌跡稱(chēng)為參變量根軌跡，又稱(chēng)為廣義根軌跡。 如果選擇其他參數(shù)，如某一參數(shù) A為可變量時(shí)，用特征方程中不含 A的項(xiàng)除以特征方程得到如下形式 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ??????? niimjjpszsKsHsG11*)()()()(閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0)()(1)()(1)()(1)( *11* ?????????????sAsBKpszsKsHsGsD niimjj 等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中 A的位置與原開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中 K*的位置相當(dāng)，這樣就可按前述繪制以 K*為參變量的方法來(lái)繪制以 A為參變量的根軌跡。 0)( )(1 ?? sQ sPA則 )()(sQsPA 為等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，即 )()()()(11 sQsPAsHsG ?試?yán)L制 K=6， T從零到無(wú)窮大變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。 解 系統(tǒng)特征方程為 【 例 】 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) )2)(1()1()()(????sssTsKsHsG023 23 ?????? KK TssssKsss ??? 23 23 除以特征方程，得： 0231 23 ????? Ksss K T s其中， K’=6T,由于 K’所處的位置與 G(s)H(s)中 K*所處的位置相當(dāng)，可以按以 K*為參變量繪制根軌跡的方法來(lái)繪制以 K’=6T為參變量的根軌跡。 等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 KsssK T ssHsG???? 23)()( 2311當(dāng) K=6時(shí) KsssTssHsG???? 236)()(2311)2)(3( 2 ????ssK根據(jù)前面介紹的繪制規(guī)則可得系統(tǒng)的根軌跡如圖 。 j2j2?3????0ImRe?圖 例 系統(tǒng)的根軌跡 應(yīng)用根軌跡法，可以迅速確定系統(tǒng)在根軌跡增益或某一其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)極點(diǎn)的位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。同時(shí)可以較為簡(jiǎn)便地計(jì)算（或估算）出系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)，包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能即穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)的型別和開(kāi)環(huán)增益有關(guān)，它們均可從根軌跡中得到。從而求出系統(tǒng)對(duì)給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。 關(guān)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，通過(guò)下面幾小節(jié)討論。 增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 由于根軌跡是由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)確定的，因此在系統(tǒng)中增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)或改變開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)在平面上的位置，都可以改變根軌跡的形狀，從而校正系統(tǒng)性能。 實(shí)際上，增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)就是在系統(tǒng)中加入超前環(huán)節(jié)，產(chǎn)生微分作用，改變開(kāi)環(huán)零點(diǎn)在平面上的位置就是改變微分強(qiáng)度。同理，增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)就是在系統(tǒng)中加入滯后環(huán)節(jié)，它產(chǎn)生積分作用，改變開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在平面上的位置，就可以改變積分強(qiáng)弱。 如果在系統(tǒng)中分別加入一對(duì)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 2177。 4j或一個(gè)實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 4，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別成為 設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(*?? ssKsHsG其根軌跡如圖 （ a）所示 )()42)(42()()( *??????ssjsjsKsHsG)()4()()( *???sssKsHsG和 對(duì)應(yīng)的根軌跡分別如圖 （ b）和圖 （ c）所示的根軌跡，可以看出。加入開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后可以減少漸近線(xiàn)的條數(shù)，改變漸近線(xiàn)的傾角；隨著 K*的增加，根軌跡的兩個(gè)分支向 s左半平面彎曲或移動(dòng)，這相當(dāng)于增大了系統(tǒng)阻尼，使系統(tǒng)的瞬態(tài)過(guò)程時(shí)間減小，提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。另外，加入的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，系統(tǒng)的性能越好。上述結(jié)論可以從這三個(gè)系統(tǒng)的單位階躍相應(yīng)曲線(xiàn)上得到印證，如圖（ d）所示。圖中繪出了當(dāng) K*=4時(shí)三個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，曲線(xiàn) 2和 3分別為原系統(tǒng)，加入開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 2177。 4j和4以后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)?？梢?jiàn)增加合適的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，可以改善系統(tǒng)的性能。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為 **2*2*20)()1()204(KsKsKssK??????**2*4)()4(KsKssK????和 ImRe 0 . 8? 0 . 4?012 1 2ImRe 0 . 8?012 1 234 3 4 2 3 ?? ImRe 0 . 8?012 1 234 3 4 2 3 4 5 6 7 ty0 2 4 6 8 1000 . 511 . 52123（ a）原系統(tǒng)的根軌跡圖 （ b）加開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 2177。 4j后 系 統(tǒng) 的根 軌跡圖 （ c）加開(kāi)環(huán)零點(diǎn) 4后系統(tǒng)的根軌跡圖 （ d）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 圖 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后系統(tǒng)的根軌跡及其響應(yīng)曲線(xiàn) 同樣利用上例進(jìn)行討論。在原系統(tǒng)上分別增加一對(duì)復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 2177。 4j和一個(gè)實(shí)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 4，則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為 )42)(42)(()()(*jsjsssKsHsG??????)4)(()()(*??? sssKsHsG和 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為 *234* KssssK???? 和 *23* KsssK???對(duì)應(yīng)的根軌跡分別如圖 （ a）所示。 24 2 4 2 424ImRe???2 2 4 2 424??ImRety0 5 10 15 2000 . 511 . 52132（ a）增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 2+4j后的根軌跡 （ b）增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 4后系統(tǒng)的根軌跡 （ c）系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn) 圖 增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后的系統(tǒng)的根軌跡及其響應(yīng)曲線(xiàn) 將圖 （ a）和（ b）與原始系統(tǒng)根軌跡圖 （ a）相比較，可以看出，加入開(kāi)環(huán)極點(diǎn)后增加了系統(tǒng)的階數(shù)，改變了漸近線(xiàn)的傾角，增加了漸近線(xiàn)的條數(shù)。隨著 K*的增加，根軌跡的兩個(gè)