【正文】 S平面上分布的位置有關 。 根軌跡法是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點分布的基礎上 ， 研究某一參數(shù)變化時對系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點分布的影響 。 ?所謂根軌跡是指 ， 當開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在 s平面上跟隨變化的軌跡 。 一般來說 ， 這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益 K， 而在無零極點對消時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 。 ?繪制根軌跡實質(zhì)上是尋求閉環(huán)特征方程的根 。 一、根軌跡分析方法的概念 2021/6/16 52 繪制根軌跡的基本法則 根軌跡的分支數(shù)： 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階 數(shù) n（ 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點的數(shù)目 ） 。 根軌跡的連續(xù)性與對稱性： 根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 。 根軌跡的起點與終點： 根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點 ， 終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點 。 如果開環(huán)零點數(shù)目 m小于開環(huán)極點數(shù)目 n， 則有 nm條根軌跡終止于無窮遠處 。 實軸上的根軌跡： 實軸上的根軌跡區(qū)段的右側(cè) ， 開環(huán)零 、 極點數(shù)目之和應為奇數(shù) 。 根軌跡分析方法是分析和設計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方 法 ， 使用十分簡便 。 利用它可以對系統(tǒng)進行各種性能分析 。 例 2021/6/16 53 （ 1）穩(wěn)定性 當開環(huán)增益 K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半 s平面，因此這個系統(tǒng)對所有的 K值都是穩(wěn)定的。如果根軌跡越過虛軸進入右半 s平面，則其交點的 K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。 （ 2）穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的 K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡確定閉環(huán)極點容許的范圍。 2021/6/16 54 （ 3）動態(tài)性能 當 0K，所有閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程；當 K=，閉環(huán)兩個極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應仍為非周期過程，但速度更快；當 K，閉環(huán)極點為復數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量與 K成正比。 2021/6/16 55 二、根軌跡分析函數(shù) 通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進行繪制的概略根軌跡。在 MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數(shù)。 pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點圖 rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。 rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。 sgrid：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。 2021/6/16 56 零極點圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點圖： ?[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。 ?[p,z]=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。 ?pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項，則直接在 s復平面上繪制出系統(tǒng)對應的零極點位置，極點用 表示，零點用 o表示。 ?pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點列向量或行向量直接在 s復平面上繪制出對應的零極點位置，極點用 表示，零點用 o表示。 2021/6/16 57 根軌跡圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖： ?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根據(jù) SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。 ?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 ?若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項 num為負，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)） 2021/6/16 58 rlocfind()函數(shù) MATLAB提供了函數(shù) rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點）對應的根軌跡增益。其用法如下： ?[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者 [k,p]=rlocfind(num,den) 它要求在屏幕上先已經(jīng)繪制好有關的根軌跡圖。然后，此命令將產(chǎn)生一個光標以用來選擇希望的閉環(huán)極點。命令執(zhí)行結(jié)果： k為對應選擇點處根軌跡開環(huán)增益； p為此點處的系統(tǒng)閉環(huán)特征根。 ?不帶輸出參數(shù)項 [k,p]時，同樣可以執(zhí)行，只是此時只將 k的值返回到缺省變量 ans中。 2021/6/16 59 ?sgrid：在現(xiàn)存的屏幕根軌跡或零極點圖上繪制出自然振蕩頻率 wn、阻尼比矢量 z對應的格線。 ?sgrid(‘new’)：是先清屏，再畫格線。 ?sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量 z、自然振蕩頻率 wn的格線。 sgrid()函數(shù) 2021/6/16 60 三、根軌跡分析應用實例 例 例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型 要求繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并確定交點處的增益 K。 )3)(2()5()(????ssssksH已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型 要求繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，分析穩(wěn)定性，并繪制當K=54和 K=56時的系統(tǒng)閉環(huán)脈沖響應。 22 )34()2()(????sssksH利用函數(shù) [k,p]=rlocfind(num,den)。找出根軌跡與虛軸的交點處的增益，即系統(tǒng)臨界穩(wěn)定增益 K0，當 KK0時，系統(tǒng)穩(wěn)定，當 KK0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2021/6/16 61 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=k/s(s+1)(s+2) 試尋找一個合適的 k值使得閉環(huán)系統(tǒng)具有較理想的階躍響應。 通過 sgrid指令可以繪出指定阻尼比 z（射線）和自然振蕩頻率 wn（圓）的柵格線。 通過 rlocfind，配合前面所畫的 z及 wn柵格線，可以找出能產(chǎn)生主導極點阻尼比 z= 2021/6/16 62 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s) 畫出系統(tǒng)的根軌跡，并試尋找出臨界點（即根在虛軸上）的增益 k值。 轉(zhuǎn)成系統(tǒng)的離散模型 sd。 先建立系統(tǒng)的連續(xù)模型 s， 然后用 rlocus(s)函數(shù)畫它的根軌跡，鍵入 rlocfind(s)函數(shù)，用鼠標選擇根軌跡與虛軸的交點，即臨界點。然后轉(zhuǎn)成系統(tǒng)的離散模型 sd， 用鼠標求臨界點及 k值 。 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)根平面之間的映射關系。 s平面的左半平面映射為 z平面圓的內(nèi)部。 s平面上的虛軸映射為 z平面單位圓邊界， s平面上的原點映射為 z平面上的點 (1， 0)，而 s平面上的無窮遠點映射為 z平面上的點 (1， 0)。 2021/6/16 63 ? 控制系統(tǒng)的分析是進行控制系統(tǒng)設計的基礎，同時也是工程實際當中解決問題的主要方法，因而對控制系統(tǒng)的分析在控制系統(tǒng)仿真中具有舉足輕重的作用。 ? 通過求取系統(tǒng)的零極點增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點，從而可以直接對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。 ? 控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法（時域、頻域分析）是目前控制系統(tǒng)界進行科學研究的主要方法，是進行控制系統(tǒng)設計的基礎，要求掌握單位階躍響應、波特圖等常用命令的使用。 ? 根軌跡分析是求解閉環(huán)特征方程根的簡單的圖解方法，要求掌握根軌跡的繪制。 本章小結(jié)