【文章內(nèi)容簡介】 無窮的一系列數(shù)值，分別求出 Im(G(jw))和 Re(G(jw))。以 Re(G(jw)) 為橫坐標， Im(G(jw)) 為縱坐標繪制成為極坐標頻率特性圖。在極坐標圖上能顯示出系統(tǒng)在整個頻率域的頻率響應特性。 ?應用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)來檢查線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可能有三種情況： 1）不包圍 1+j0點，如果在右半 s平面無極點，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定 2）反時針包圍 1+j0點，如果反時針包圍的次數(shù)等于在右半 s平面極點數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。 3）順時針包圍 1+j0點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2021/6/16 28 MATLAB中函數(shù) nyquist()來繪制系統(tǒng)的極坐標圖，用法如下： ?nyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組 Nyquist曲線，每條曲線相應于連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng) [a,b,c,d]的輸入 /輸出組合對。其中頻率范圍由函數(shù)自動選取，而且在響應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。 ?nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第 iu個輸入到所有輸出的極坐標圖。 2021/6/16 29 ?nyquist(num,den)：可繪制出以連續(xù)時間多項式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的極坐標圖。 ?nyquist(a,b,c,d,iu,w)或 nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統(tǒng)的極坐標圖。 ?當不帶返回參數(shù)時，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標圖（圖上用箭頭表示 w的變化方向，負無窮到正無窮） 。當帶輸出變量 [re,im,w]引用函數(shù)時，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實部 re和虛部 im及角頻率點 w矢量（為正的部分）。可以用 plot(re,im)繪制出對應 w從負無窮到零變化的部分。 2021/6/16 30 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s)=2500(2s+1)(+1)^2/s^2()()(+1) 求系統(tǒng)的極坐標頻率特性圖 (Nyquist曲線 ) 結(jié)果分析： 可以看出，系統(tǒng)在 s右半平面的極點數(shù)為 2（ s=10， s=5） 當 ω由 0→∞ 變化時，開環(huán)幅相特性曲線按逆時針包圍臨界點 (1,j0)的圈數(shù)為 2 ，等于開環(huán)傳遞函數(shù)位于 s右半平面的極點數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 2021/6/16 31 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： G(s)=K(+1)/s(s1)，求當 K分別取 1和 3時，系統(tǒng)的極坐標頻率特性圖 (Nyquist曲線 ) 結(jié)果分析： 可以看出，系統(tǒng)在 s右半平面的極點數(shù)為 1（ s=1） 當 ω由 0→∞ 變化時，開環(huán)幅相特性曲線按逆時針包圍臨界點 (1,j0)的圈數(shù)為1 ，等于開環(huán)傳遞函數(shù)位于 s右半平面的極點數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。 2021/6/16 32 穩(wěn)定裕度 穩(wěn)定裕度是一個閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標 。 常用的有相角穩(wěn)定裕度 gm和幅值穩(wěn)定裕度 pm。 幅值裕度 gm是在相角為 180度處使開環(huán)增益為 1的增益量，如在 180度相頻處的開環(huán)增益為 g，則幅值裕度 gm=1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則 gm=20*log10(g)。類似地，相角裕度 pm是當開環(huán)增益為 ，相應的相角與 180度角的和。 幅值裕度 gm只是表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標之一，它表示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)增大到原來的 gm倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。相角裕度 pm表示：如果系統(tǒng)對頻率信號的相角滯后再增大 pm度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。應用 gm、pm這兩個指標能較好地表征系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 二、常用頻域分析函數(shù) 2021/6/16 33 MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數(shù)外，還提供了大量在工程實際中廣泛應用的庫函數(shù)，由這些函數(shù)可以求得系統(tǒng)的各種頻率響應曲線和 特征值。如： margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的轉(zhuǎn)折頻率 freqs：模擬濾波器特性 nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應曲線（即對數(shù)幅相曲線） ngrid：尼科爾斯方格圖 2021/6/16 34 margin()函數(shù) ?margin函數(shù)可以從頻率響應數(shù)據(jù)中計算出幅值裕度、相角裕度以及對應的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對開環(huán) SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉環(huán)時的相對穩(wěn)定性。當不帶輸出變量引用時， margin可在當前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的 Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。 ?幅值裕度是在相角為 180度處使開環(huán)增益為 1的增益量，如在 180度相頻處的開環(huán)增益為 g，則幅值裕度為 1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于： 20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環(huán)增益為 ，相應的相角與 180度角的和。 2021/6/16 35 （ 1） margin(num,den) ：計算出連續(xù) (開環(huán) )系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)表示的幅值裕度 gm和相角裕度 pm并繪制相應波特圖。 （ 2） [gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den)：由幅值 mag（不是以 dB為單位） 、相角 phase及角頻率 w矢量計算出系統(tǒng)幅值裕度 gm和相角裕度 pm及相應的相角交界頻率 wcg、截止頻率 wcp，而不直接繪出 Bode圖曲線。 （ 3） [gm,pm,wcg,wcp] =margin(m,p,w)：給定頻率特性的參數(shù)向量、幅值 m（不是以 dB為單位） 、相角 p及角頻率 w，由插值法計算幅值裕度 gm和相角裕度 pm。 2021/6/16 36 （ 1）由幅值 、相角及角頻率 w矢量計算系統(tǒng)幅值裕度 gm和相角裕度 pm及相應的相角交界頻率 wcg、截止頻率 wcp （ 2）由幅值 m 、相角 p及角頻率 w由插值法計算幅值裕度 gm和相角裕度 pm [gm1,gm2。pm1,pm2。wcp1,wcp2。wcg1,wcg2] 比較計算結(jié)果 2021/6/16 37 freqs()函數(shù) ?用于計算由矢量 a和 b構(gòu)成的模擬濾波器 H(s)=B(s)/A(s)的復頻響應。 ?h=freqs(b,a,w)用于計算模擬濾波器的幅頻響應，其中實矢量w用于指定頻率值，返回值 h為一個復數(shù)行向量，要得到幅值必須對它取絕對值，即求模。 ?[h,w]=freqs(b,a)自動設定 200個頻率點來計算頻率響應，這200個頻率值記錄在 w中。 ?[h,w]=freqs(b,a,n)設定 n個頻率點計算頻率響應。 ?不帶輸出變量的 freqs函數(shù)，將在當前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，其中幅相曲線對縱坐標與橫坐標均為對數(shù)分度。 )1(...)2(1)1(...)2()1()()()(11?????????????nasasmbsbsbsAsBsHnnmm2021/6/16 38 ?[h,w]＝ frqz(b， a， n)可得到數(shù)字濾波器 n個點的復頻響應 ， 這 n個點均勻地分布在上半單位圓 (即 0～ π )， 并將這 n點頻率記錄在 w中 ， 相應的頻率響應記錄在 h中 。 n值的選擇沒有太多的限制 ， 只要 n＞ 0的整數(shù) ， 但最好能選取 2的冪次方 ， 這樣就可采用 FFT算法進行快速計算 。 如果缺省 ， 則 n＝ 512。 ?[h,f]＝ frqz(b,a,n,Fs)允許指定采樣終止頻率 Fs(以 Hz為單位 )， 也即在 0～ Fs／ 2頻率范圍內(nèi)選取 n個頻率點 (記錄在f中 )， 并計算相應的頻率響應 h。