控制系統(tǒng)的數(shù)學模型(2)(編輯修改稿)
2025-02-10 10:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 態(tài)的工作點 ， 因為不同工作點所得到線性化方程的系數(shù)不同 ， 即：非線性曲線上各點的斜率 （ 導數(shù) ） 是不同的； (2) 如果變量在較大范圍內(nèi)變化 ， 則用這種線性化方法建立的數(shù)學模型 ， 除工作點外的其他工況必定存在較大的誤差 。因此非線性系統(tǒng)線性化是有條件的：變量偏離預定工作點很小 。 (3) 對于某些典型的本質(zhì)非線性 ， 如果非線性函數(shù)是不連續(xù)的 ， 則在不連續(xù)點附近不能得到收斂的 Taylor級數(shù) ， 此時就不能線性化 。 (4) 線性化后的微分方程是以增量為基礎的增量方程。 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化 上海大學 機電工程與自動化學院 試把非線性方程 z＝ xy 在區(qū)域 5≤x≤ 10≤y≤12 上線性化。 求用線性化方程來計算當 x=5， y=10 時 z 值所產(chǎn)生的誤差 。 解 ：由于研究的區(qū)域為 5≤x≤ 10≤y≤12， 故選擇工作點 x0=6，y0=11。 于是 z0=x0y0=6 11=66。 求在點 x0=6， y0=11， z0=66 附近非線性方程的線性化表達式 。 將非線性方程在點 （ x0, y0, z0） 處展開成泰勒級數(shù) ， 并忽略其高階項 ， 則有 例 題 上海大學 機電工程與自動化學院 因此，線性化方程式為： 例 題 )()( 02022 yykxxkzz ?????110100??????? yxzkyyxx 60200??????? xyzkyyxx)11(6)6(1166 ??????? yxz66611 ??? yxz 當 x=5， y=10 時， z 的精確值為： z＝ xy =5 10=50 由線性化方程求得的 z值為 z=11x+6y66=55+6066=49 因此，誤差為 5049=1，表示成百分數(shù)為 %2501 ?上海大學 機電工程與自動化學院 系統(tǒng)微分方程的建立 建立微分方程的步驟 是： 1) 分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系 ， 確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量； 2) 從輸入端入手 （ 閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手 ） ， 依據(jù)各元件所遵循的物理 、 化學 、 生物等規(guī)律 ， 列寫各自方程式 ，但要注意負載效應 。 所謂負載效應 ， 就是考慮后一級對前一級的影響 。 3) 將所有方程聯(lián)解 ， 消去中間變量 ， 得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程 。 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 上海大學 機電工程與自動化學院 標準方程包含三方面的內(nèi)容 ： ① 將與輸入量有關的各項放在方程的右邊； ② 與輸出量有關的各項放在方程的左邊； ③ 各導數(shù)項按降冪排列 。 系統(tǒng)微分方程的建立 上海大學 機電工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： 機械系統(tǒng)中部件的運動有直線和轉(zhuǎn)動兩種 。 機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象 ， 都可簡化為質(zhì)量 、 彈簧和阻尼三個要素 。 列寫其微分方程通常用達朗貝爾原理 。 即：作用于每一個質(zhì)點上的合力 ， 同質(zhì)點慣性力形成平衡力系 。 ① 質(zhì)量： 系統(tǒng)微分方程的建立 m u(t) x(t) fm(t) 2m 2d ( ) d ( )()ddu t x tf t m mtt??上海大學 機電工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： ② 彈簧： 彈簧各點受力相同 ， 但各點的變形量不同 。 系統(tǒng)微分方程的建立 k u1(t) x1(t) fk(t) u2(t) x2(t) fk(t) ? ?k 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t k x t x t k x t? ? ?? ?12( ) ( ) dtk u t u t t?????? ??? t ttuk d)(上海大學 機電工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： ③ 阻尼： 系統(tǒng)微分方程的建立 ? ?D 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t D u t u t D u t? ? ??????? ??ttxttxDd)(dd)(d 21ttxDd)(d?D u1(t) x1(t) fD(t) u2(t) x2(t) fD(t) 上海大學 機電工程與自動化學院 (1) 機械系統(tǒng)微分方程的列寫 ： 系統(tǒng)微分方程的建立 例 1 直線運動（機械平移系統(tǒng)） m 0 xo(t) fi(t) k D m 0 xo(t) fi(t) fm(t) fk(t) fD(t) 機械平衡系統(tǒng)及其力學模型 靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響 2oi D k 2kooDd ( )( ) ( ) ( )d( ) ( )d ( )()dxtf t f t f t mtf t k x txtf t Dt?? ? ???????? ?
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