控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(2)(已修改)
2025-01-26 10:57 本頁面
【正文】 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 工 程 控 制 原 理 2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù) 主講：彭艷 辦 公 室： 機(jī)械樓 205室 電子郵件 ： 辦公電話： 56334137 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 經(jīng)典控制理論 采用的數(shù)學(xué)模型主要以 傳遞函數(shù) 為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論 采用的數(shù)學(xué)模型主要以 狀態(tài)空間方程 為基礎(chǔ)。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。 2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù) 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型 對于一個(gè)復(fù)雜的物理系統(tǒng) ， 為了對系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行分析和綜合 ， 必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述該系統(tǒng) ， 這個(gè)表達(dá)式稱為該系統(tǒng)的 “ 數(shù)學(xué)模型 ” 。 由于動態(tài)過程中有關(guān)物理量都是時(shí)間的函數(shù) ， 所以 ， 通常用 微分方程 來描述系統(tǒng) 。 2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù) 數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng)或元件的動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式 深入了解元件及系統(tǒng)的動態(tài)特性 ，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型 建 模 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律 、 特性和輸入輸出關(guān)系的一個(gè)或一組方程式 。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學(xué)模型 。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 ：反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn) （ 穩(wěn)態(tài) ） 時(shí) ， 系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型 。 即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系 ， 不管各變量隨時(shí)間的演化 ， 輸出信號與過去的工作狀態(tài) （ 歷史 ） 無關(guān) 。 因此 ， 靜態(tài)模型都是代數(shù)式 ， 數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量 。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 數(shù)學(xué)模型 動態(tài)數(shù)學(xué)模型 ：描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學(xué)模型。 對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。 工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價(jià)的。 針對具體問題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法 物理系統(tǒng)往往比較復(fù)雜，因而必須作一些理想化的假設(shè)，獲得簡化的數(shù)學(xué)模型。 理論分析法（解析法）： 對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，依據(jù)系統(tǒng)本身所遵循的有關(guān)定律列寫數(shù)學(xué)表達(dá)式，并在列寫過程中進(jìn)行必要的簡化。 實(shí)驗(yàn)研究法 根據(jù)系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應(yīng)或其它實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型。即人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)。 對于比較 復(fù)雜的系統(tǒng) ，需要通過理論分析與實(shí)驗(yàn)研究結(jié)合起來，才能獲得適用的數(shù)學(xué)模型。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) (1) 線性系統(tǒng) 若描述系統(tǒng)的微分方程是變量及其導(dǎo)數(shù)的一次有理整式 ，則此系統(tǒng)稱為 線性系統(tǒng) 。 線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述 。 如果方程的系數(shù)為常數(shù) ， 則為 線性定常系統(tǒng) ；如果方程的系數(shù)是時(shí)間 t 的函數(shù) ， 則為 線性時(shí)變系統(tǒng) 。 線性系統(tǒng)的 線性性質(zhì) 是指系統(tǒng)滿足 疊加性 和 齊次性 。 ?疊加性： 指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí) ， 總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和 。 ?齊次性： 指當(dāng)輸入信號乘以某常數(shù)時(shí) ， 響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù) 。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 (2) 非線性系統(tǒng) 不是線性系統(tǒng)的系統(tǒng)稱為 非線性系統(tǒng) 。 非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述 。 非線性系統(tǒng)不滿足 疊加性 和 齊次性 。 系統(tǒng)中只要含有一個(gè)非線性性質(zhì)的元件 ， 就成為一個(gè)非線性系統(tǒng) 。 許多機(jī)械系統(tǒng)各物理量之間的關(guān)系都是非線性的 ， 即使對所謂的線性系統(tǒng)來說 ， 也只是在一定的工作范圍內(nèi)保持線性關(guān)系 。 因此 ， 研究機(jī)械系統(tǒng)的某些動態(tài)特性時(shí) ， 必須考慮系統(tǒng)中的非線性特征 。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 例 其中： a， b， c， d 均為常數(shù) 線性定常系統(tǒng) 22d ( ) d ( )( ) ( )ddx t x ty t a b c x ttt? ? ?線性時(shí)變系統(tǒng) 22d ( ) d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )ddx t x ty t a t b t c t x ttt? ? ?非線性系統(tǒng) )()( 2 txty ? 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院 (2) 非線性系統(tǒng) 許多機(jī)械系統(tǒng) 、 電氣系統(tǒng) 、 液壓及氣動系統(tǒng)等 ， 其物理量之間都包含有非線
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