偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-05-13 14:48本頁(yè)面
【正文】 523 ??? zyx 0)( ???? zyx?故 所求切平面方程為 7,3 21 ?? ??523 ??? zyx 0)(3 ???? zyx或 523 ??? zyx 0)(7 ???? zyx即 526 ??? zyx 或 56510 ??? zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 31 ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????的全微分在點(diǎn)函數(shù) ),(),( 00 yxyxfz ?因?yàn)榍嬖?M處的切平面方程 : 全微分的幾何意義 ,),(),( 00 的全微分在點(diǎn) yxyxfz ? 表示 處的在點(diǎn)曲面 ),(),( 000 zyxyxfz ?切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 . 切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 32 ),( 00 yxff xx ?),( 00 yxff yy ?其中 ,1c o s 22yxxfff????? ,1c o s 22yxyfff?????.11c o s22yx ff ????或)1,( ?? yx ff法向量 ??? ,若 表示曲面的法向量的方向角 , 并假定 法向量的方向是向上 的 , 即使得它與 z 軸的正向所成的角 ? 是 銳角 , 則法向量的 方向余弦為 n n? )1,(yx ff ???偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 33 因?yàn)? (第三個(gè)分量為負(fù) ), 求旋轉(zhuǎn)拋物面 在任意點(diǎn)P(x, y, z)處 向上 的法向量 (即與 z軸夾角為銳角的法向量 ). 122 ??? yxz解 ,1),( 22 ??? yxyxf 而 Pyx ff )1,( ? )1,2,2( ?? yx).1,2,2( yx ??為 向下 的法向量 故 向上 的法向量應(yīng)為 : 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 34 軸旋轉(zhuǎn)一周繞由曲線 yzyx??????01223 22)2,3,0(解 12233 222 ??? yzx令 12323),( 222 ???? zyxzyxF)2,3,0(),( zyx FFF?)26,34,0(? )3,2,0(51?)2,3,0()6,4,6( zyx?)3,2,0(51n||0nnn ?得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn) 處的指向外側(cè)的 單位法向量為 ( ). 旋轉(zhuǎn)面方程為 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 35 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 三、小結(jié) (空間曲線三種不同形式方程的切線與法平面的求法 . 當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí) ,求切向量可采用 公式法、 推導(dǎo)法 或用 向量代數(shù)法 ) (注意 :空間曲面兩種不同形式方程以及求法向量的方向余弦時(shí)的 符號(hào) ) 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 36 思考題 且對(duì)任意),(),(),( NkzyxFttztytxFt k ??有實(shí)數(shù)上任一點(diǎn)的切平面相交試證曲面 0),( ?zyxF).0( 222 ??? zyx FFF設(shè)在任意點(diǎn)處于一定點(diǎn)思考題解答 證 ),(),( zyxFttztytxF k?將 兩邊對(duì) t求導(dǎo) , ),(1 zyxFktzFyFxF kwvu ????u v w,1?t令得 ),( zyxkFzFyFxF zyx ???( , , ) ,F x y z設(shè) 具 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 37 ),( 000 zyx設(shè) 是曲面上任一點(diǎn) , 則過(guò)這點(diǎn)的 切平面為 0))(,())(,())(,(000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxzyxzyx FzFyFxzFyFxF 000 ?????),( 000 zyxkF??0?這說(shuō)明曲面上任一點(diǎn)的切平面皆相交于原點(diǎn) . ),( zyxkFzFyFxF zyx ???偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 38 作業(yè) 習(xí)題 (106頁(yè) ) (A) 4. 6.(4) 8. (B) 3. 4. 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用
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