偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-06-18 14:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 C)()()( 222 tztytx ?? 在法平面上 , 任取曲線上一點(diǎn) 0))(())(())(( 000000 ????????? zztzyytyxxtx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 16 二、曲面的切平面與法線 回憶二元函數(shù)的局部線性化 : 設(shè)函數(shù) 00( , ) ( , ) ,f x y x y在 點(diǎn) 可 微? ? ? ?0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , )xyf x y f x y f x y x x f x y y y? ? ? ? ?則表示一個(gè)平面 進(jìn)一步考察曲面 ( , )z f x y?與平面 ? ? ? ?0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )xyz f x y f x y x x f x y y y? ? ? ? ?的關(guān)系 . 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 17 介紹用距離來定義曲線的切線的概念 . 從而引出用距離來定義的切平面的概念 . 自己看書 . 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 18 yxzO?0),( ?zyxF 今在曲面 Σ上任取一條 1. 設(shè)曲面 Σ的方程為 0),( ?zyxF 的情形 隱式方程 ),( 000 zyxM ?,),( 000 ??zyxM 函數(shù) ),( zyxF的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同 時(shí)為零 . ?,0tt ? )(),(),( 000 tztytx ???且點(diǎn) M 對應(yīng)于參數(shù) 不全為零 . 過點(diǎn) M 的 曲線 Γ, 設(shè)其參數(shù) 方程為 ),(),(),( tzztyytxx ???偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 19 0 0 0{ ( ) , ( ) , ( ) },T x t y t z t? ? ??yxzO?0),( ?zyxF),( 000 zyxM ?T?? 由于曲線 Γ在曲面 Σ上 , 所以 ,0)](),(),([ ?tztytxF 在恒等式兩端對 t 求全導(dǎo)數(shù) , 并令 ,0tt ? 則得 ?? )(),( 0000 txzyxF x 若記向量 0 0 0 0 0 0 0 0 0{ ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) } ,x y zn F x y z F x y z F x y z? 曲線 Γ在點(diǎn) M處切線的方向向量記為 則 ※ 式可改寫成 ,0??Tn ?? 即向量 Tn ??與 垂直 . .0)(),()(),( 00000000 ????? tzzyxFtyzyxF zy ※ n?偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 20 因?yàn)榍€ Γ是曲面 Σ上過點(diǎn) M的 任意 一條曲線 , 所有這些曲線在點(diǎn) M的切線都與同一向量 垂直 , 因此這些切線必共面 , 稱為曲面 Σ在點(diǎn) M的 n?yxzO?0),( ?zyxF),( 000 zyxM ?n?過點(diǎn) M且垂直于切 法線 , 又是法線的方向向量 . 向量 n? 稱為曲 法向量 . 切平面 , 由切線形成的這一 平面 , 平面的直線稱為曲面 Σ在 點(diǎn) M的 面 Σ在點(diǎn) M的 n?偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0{ ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) }x y zn F x y z F x y z F x y z?曲面在 M(x0, y0 , z0)處的法向量 : 切平面方程為 0))(,())(,())(,(000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為 ),(),(),( 000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx?????所以曲面 Σ上在點(diǎn) M的 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 22 例 4. 證明曲面 ( , ) 0f x az y bz? ? ?上任意一點(diǎn)處的切平面都與直線 xy zab??平行 ,其中 f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且 ,ab 為常數(shù) . 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 23 2. 曲面方程形為 的情形 ),
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