偏導數(shù)在幾何上的應用(參考版)
2025-05-17 14:48本頁面
【正文】 8),( 222 ???? zyxzyxF令 222),( zyxzyxG ???,2 xF x ? ,2 yF y ? 。1 小結 思考題 作業(yè) 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線 第九節(jié) 偏導數(shù)在幾何上的 應用 第八章 多元函數(shù)微分法及其應用 2 一、空間曲線的切線與法平面 1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程 設空間曲線的方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ,r r t t i t j t k t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?物理意義 : ()rt? 表示物體的即時速度 . 幾何意義 : ()rt? 表示曲線的切向量 . 偏導數(shù)在幾何上的應用 3 設空間曲線的方程 )1()()()(????????tzztyytxx(1)式中的三個函數(shù)均 可導 . M?.),(0000tttzzyyxxM??????????對應于。),( 0000 ttzyxM ?對應于設? M?Oxyz說明幾何意義 偏導數(shù)在幾何上的應用 4 考察割線趨近于極限位置 —— ???xxx 0t?t? t?上式分母同除以 ,t?M?? M?割線 的方程為 MM ?,000 z zzy yyx xx ???????????yyy 0 zzz?? 0切線的過程 Oxyz偏導數(shù)在幾何上的應用 5 ,0, 時即當 ???? tMM曲線在 M處的切線方程 )()()( 000000tzzztyyytxxx????????切向量 法平面 0))(())(())(( 000000 ????????? zztzyytyxxtx切線的方向向量稱為曲線的切向量 . 過 M點且與切線垂直的平面 . M?? M?Oxyz0 0 0{ ( ) , ( ) , ( ) }T x t y t z t? ? ??偏導數(shù)在幾何上的應用 6 設曲線直角坐標方程為 ,)()(100000xzzzxyyyxx???????.0))(())(()(1 00000 ????????? zzxzyyxyxx法平面方程為 2. 空間曲線的方程為 曲線的參數(shù)方程是 由前面得到的結果 , 在 M(x0, y0, z0)處 , 令 )(),( xzzxyy ??????????)()(xzzxyyxx切線方程為 x為參數(shù) , 兩個柱面 的交線 )()()( 000000tzzztyyytxxx????????偏導數(shù)在幾何上的應用 7 .0 處的切線與法平面方程在 ?t:?求曲線???????????? ?ttuezttyuuex301c o ss i n2dc o s解 2,1,0 ??? zyx,c o s tex t?? ,s i nc o s2 tty ??? tez 33??? ,1)0( ??x ,2)0( ??y 3)0( ??z切線方程 3 22 11 0 ????? zyx法平面方程 0)2(3)1(2 ????? zyx0832 ???? zyx)()()( 000000tzzztyyytxxx????????0))(())(())(( 000000 ????????? zztzyytyxxtx例 1 即 ,0時當 ?t偏導數(shù)在幾何上的應用 8 例 2 在拋物柱面 與 的交線上 , 求對應 的點處的 切向量 . x為參數(shù) , 于是 ,1??x ,12 xy ?? xz 24??212 xz ?26 xy ?21?x解 ????????22
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