偏導數(shù)與高階導數(shù)ppt課件(參考版)
2025-01-17 07:37本頁面
【正文】 182 3 xyx ??33xz?? ,62y?xyz???2.196 22 ??? yyxyxz???2,196 22 ??? yyx二、高階偏導數(shù) 原函數(shù)圖形 偏導函數(shù)圖形 偏導函數(shù)圖形 二階混合偏導函數(shù)圖形 觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導函數(shù)圖象間的關系： 二、高階偏導數(shù) 解 例 3 求 的二階混合偏導數(shù) . xxy yeez ??xz??yz??yxz???2xyz???2 此例中兩個二階混合偏導數(shù)相等 . 如果函數(shù) z =f (x, y)在開區(qū)域 D上二階混合偏導數(shù)連續(xù) , .22xyzyxz???????,xxy yeye ?? ,xxy exe ??,xxyxy ex y ee ??? .xxyxy ex y ee ???在什么條件下 兩個混合偏導數(shù)相等？ 兩個混合偏導數(shù)也未必一定相等 , 數(shù)運算的次序不同， 但是由于求偏導 定理 則在該區(qū)域上任一點處必有 即：二階混合偏導數(shù)在 連續(xù) 的條件下與求導的 次序 無關 , 這給混合偏導數(shù)的計算帶來了方便 . 二、高階偏導數(shù) 問題： 混合偏導數(shù)都相等嗎？ 解 322 ( , ) ( 0, 0 )( , )0 ( , ) ( 0, 0 )xyxyf x y xyxy???? ??? ??例 4 求 xx ?? ??0lim0.0?)0,0(xfxfxfx ??????)0,0()0,(lim0).0,0(),0,0( yxxy ff時，當 )0,0(),( ?yx),( yxf x2223222)(2)(3yxxyxyxyx?????222324)(3yxyxyx???),( yxf y2223223)(2)(yxyyxyxx?????222235)( yxyxx???yy ?? ??0li m0.0?)0,0(yfyfyfy ??????)0,0(),0(lim0問題： 混合偏導數(shù)都相等嗎？ .1?)0,0(xyfyfyf xxy ??????)0,0(),0(lim0).0,0()0,0( yxxy ff ?顯然 ).0,0(),0,0( yxxy ff),0( yf x ,0? )0,( xf y ,x?yy ?? ??0li m0.0?)0,0(yxf x fxf yyx ??????)0,0()0,(lim0xxx ????? 0lim????????0,)(3),( 222324yxyxyxyxf x),0,0(),( ?yx),0,0(),( ?yx????????0,)(),( 222235yxyxxyxf y),0,0(),( ?yx),0,0(),( ?yx.),3s i n (),( x x y zfyzxzyxf 求??Solution. ?xf )3c o s (3 yzx ??xxf )3s in (9 yzx ???xxyf )3c o s (9 yzxz ???xxyzf )3s i n (9)3c o s (9 yzxyzyzx ????例 5 二、高階偏導數(shù) .),l n ()s i n (),( z y xx y z ffxyzyzxzyxf ??? 求證設Proof. xyyzyzf x ?? )s i n ( xzyz ?? )s i n()c os ( yzzf xy ?)s i n()c o s ( yzyzyzf x yz ??)l n ()c os ( xyyzxyf z ??yyzx y zyzxf zy1)s i n ()c o s ( ???)s i n()c o s ( yzyzyzf z yx ??.z y xxyz ff ??例 6 二、高階偏導數(shù) 例 7 驗證函數(shù) 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu證明 ),l n(21ln 2222 yxyx ????,22 yx xxu ????? ,22 yx yyu ????,)()( 2)( 222222222222yxxyyxxxyxxu???????????.)()( 2)( 222222222222yxyxyxyyyxyu??????????22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu???????????? .0?例 7 驗證函數(shù) 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu 這是因為連續(xù)只保證當點 (x, y)以任意方式趨于點 (x0, y0) 時 , 二元函數(shù)連續(xù)與偏導數(shù)之間關系： 連續(xù)
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