【導(dǎo)讀】將總體分成幾層，當(dāng)總體很大或不便獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布，恰好就是該組的頻率，顯然所有矩形的面積之和為1.樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，方差：s2＝1n[2＋2＋?體數(shù)為N，則用這三種方法抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是nN.數(shù)除以樣本容量，各小組頻率的和等于1；，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的。30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，?解析將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,解析落在[6,10)內(nèi)的頻率為×4＝，故頻數(shù)為×150＝48.＋2]，其中x為x1，x2，?從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取80輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)合理選擇抽。第一步：先從802輛轎車中剔除2輛轎車；，800，并均勻分成80段，每段。含k＝80080＝10個(gè)個(gè)體；取一個(gè)編號(hào)(如5)作為起始編號(hào)；，795的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量。某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n

　　

【正文】 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表 P(K2≥ k0) k0 解析 只有 ② 錯(cuò)誤，應(yīng)該是 y 平均減少 5 個(gè)單位． 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的 關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(K2≥ )≈ ， P(K2≥ )≈ . 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 K2＝ 50 ?13 20－ 10 7?223 27 20 30 ≈ . 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為 ________． 解析 ∵ K2≈ ，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定 “ 是否選修文科與性別之間有關(guān)系 ” 成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為 5%. 答案 5% 4． (20xx廣東 )某數(shù)學(xué)老師身高 176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是 173 cm、170 cm和 182 ，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為 ________ cm. 解析 由題意父親身高 x cm與兒子身高 y cm對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： x 173 170 176 y 170 176 182 則 x ＝ 173＋ 170＋ 1763 ＝ 173， y ＝ 170＋ 176＋ 1823 ＝ 176， ?i＝ 13 (xi－ x )(yi－ y )＝ (173－ 173) (170－ 176)＋ (170－ 173) (176－ 176)＋(176－ 173)(182－ 176)＝ 18， ?i＝ 13 (xi－ x )2＝ (173－ 173)2＋ (170－ 173)2＋ (176－ 173)2＝ 18.∴ b^＝ 1818＝ 1.∴ a^＝y(tǒng) － b^ x ＝ 176－ 173＝ 3. ∴ 線性回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^＝ x＋ 3. ∴ 可估計(jì)孫子身高為 182＋ 3＝ 185(cm)． 答案 185 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )(20xx南通模擬 )某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4日 12 月 5日 溫差 x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y/顆 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． (1)求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^. 解 (1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件 A，因?yàn)閺?5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共有10 種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有 4種， 所以 P(A)＝ 1－ 410＝ 35. (2)由數(shù)據(jù)，求得 x ＝ 12， y ＝ 27. 11 25＋ 13 30＋ 12 26＝ 977,112＋ 132＋ 122＝ 434， 由公式，求得 b^＝ 52， a^＝ y － b^ x ＝－ 3. 所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y^＝ 52x－ 3. 6． (13 分 )有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于 85 分為優(yōu)秀， 85 分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表 . 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 105 已知從全部 105 人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 27. (1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠性要求，能否認(rèn)為 “ 成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ” ； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的 10 名學(xué)生從2 到 11 進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)．試求抽到 6 號(hào)或 10 號(hào)的概率． 附 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?， P(K2≥ k) k 解 (1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計(jì) 30 75 105 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 k＝ 105 ?10 30－ 20 45?255 50 30 75 ≈ ＞ ， 因此有 95%的把握認(rèn)為 “ 成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ” ． (3)設(shè) “ 抽到 6 號(hào)或 10 號(hào) ” 為事件 A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 (x， y)，則所有的基本事件有 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 ? 、 (6,6)，共 36 個(gè)． 事 件 A包含的基本事件有 (1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2)， (5,1)， (4,6)， (5,5)， (6,4)，共 8 個(gè)， ∴ P(A)＝ 836＝ 29. 第 3 講 隨機(jī)事件的概率 【 20xx 年高考會(huì)這樣考】 1．考查互斥事件、對(duì)立事件的概率求法． 2．考查條件概率的求法． 考點(diǎn)梳理 1． 頻率與概率 (1)在相同的條件 S 下重復(fù) n 次試驗(yàn)，觀察某一事件 A 是否出現(xiàn)，稱 n 次試驗(yàn)中事 件 A出現(xiàn)的次數(shù) nA為事件 A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A出現(xiàn)的比例 fn(A)＝ nAn為事件 A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的 頻率 fn(A)穩(wěn)定在某個(gè) 常數(shù) 上，把這個(gè) 常數(shù) 記作 P(A)，稱為事件 A 的概率，簡(jiǎn)稱為 A 的概率． 2． 事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號(hào)表示 包含關(guān)系 如果事件 A發(fā)生，則事件 B 一定發(fā)生，這時(shí)稱事件 B 包含 事件 A(或稱事件 A包含于事件 B) B? A(或 A? B) 相等關(guān)系 若 B? A且 A? B A＝ B 并事件 (和事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生或事件 B 發(fā)生，稱此事件為事件 A與事件 B 的 并事件 (或和事件 ) A∪ B(或 A＋ B) 交事件 (積事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) 事件 A發(fā)生 且 事件 B 發(fā)生 ，則稱此事件為事件 A與事件 B 的交事件 (或A∩ B(或 AB) 積事件 ) 互斥事件 若 A∩ B 為不可能事件，則稱事件 A與事件 B 互斥 A∩ B＝ ? 對(duì)立事件 若 A∩ B 為不可能事件， A∪ B 為必然事件，那么稱事件 A與事件 B 互為對(duì)立事件 A∩ B＝ ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1 對(duì)于任何兩個(gè)事件 A 和 B，在已知事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的概率叫 做 條件概率 ，用符號(hào) P(B|A)來(lái)表示，其公式為 P(B|A)＝ P?AB?P?A? . (1)在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A中基本事件的個(gè)數(shù)，則 P(B|A)＝ n?AB?n?A? . (2) 如果 B 和 C 是兩互斥事件，則 P(B∪ C|A)＝ P(B|A)＋ P(C|A)． 4． 概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍： 0≤ P(A)≤ 1. (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1. (3)不可能事件的概率 P(F)＝ 0. (4)互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A與事件 B 互斥 ， 則 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)． ② 若事件 B 與事件 A互為對(duì)立事件，則 P(A)＝ 1－ P(B)． 【助學(xué) 微博】 一個(gè)關(guān)系 兩個(gè)事件對(duì)立則一定互斥，兩個(gè)事件互斥未必對(duì)立．兩事件對(duì)立是這兩事件互斥的充分而不必要條件． 兩種方法 求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算； (2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式 P(A)＝ 1－ P( A )，即運(yùn)用逆向思維 (正難則反 )，特別是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型題目，用間接 法就顯得 比較簡(jiǎn)便． 考點(diǎn)自測(cè) 1． (人教 A 版習(xí)題改編 )從裝有 5 個(gè)紅球和 3 個(gè)白球的口袋內(nèi)任取 3 個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是 ( )． A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有一個(gè)紅球與都是白球 C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球 D．恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球 解析 對(duì)于 A 中的兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于 B 中兩個(gè)事件互斥且對(duì)立，對(duì)于 C中兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于 D 中的兩個(gè)互斥而不對(duì)立． 答案 D 2． (20xx廣州月考 )某射手在一次射擊中，射中 10 環(huán)， 9 環(huán)， 8 環(huán)的概率分別是 ， ,，則此射手在一次射 擊中不夠 8 環(huán)的概率為 ( )． A． B． C． D． 解析 一次射擊不夠 8 環(huán)的概率為： 1－ － － ＝ . 答案 A 3． (20xx陜西 )甲乙兩人一起去游 “ 20xx 西安世園會(huì) ” ，他們約定，各自獨(dú)立地從 1 到 6 號(hào)景點(diǎn)中任選 4 個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀 1 小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 ( )． A. 136 C. 536 解析 若用 {1,2,3,4,5,6}代表 6 處景點(diǎn)，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為 {1,1}、 {1,2}、{1,3}、 ? 、 {6,6}，共 36 種；其中滿足題意的 “ 同一景點(diǎn)相遇 ” 包括 {1,1}、 {2,2}、{3,3}、 ? 、 {6,6}，共 6 個(gè)基本事件，所以所求的概率值為 16. 答案 D 4． (20xx遼寧 )從 1,2,3,4,5 中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，事件 A＝ “ 取到的 2 個(gè)數(shù)之和為偶數(shù) ” ，事件 B＝ “ 取到的 2 個(gè)數(shù)均為偶數(shù) ” ，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 P(A)＝ C23＋ C22C25 ＝410＝25， P(A∩ B)＝C22C25＝110. 由條件概率計(jì)算公式，得 P(B|A)＝ P?A∩ B?P?A? ＝110410＝ 14. 答案 B 5． (20xx湖北 )在 30 瓶飲料中，有 3 瓶已過(guò)了保質(zhì)期．從這 30 瓶飲料中任取2 瓶，則至少取到 1 瓶已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率為 ________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示 )． 解析 所取的 2 瓶中都是不過(guò)期的飲料的概率為 P＝ C227C230＝117145，則至少有 1 瓶為已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率 P ＝ 1－ P＝ 28145. 答案 28145考向一 隨機(jī)事件的頻率與概率 【例 1】 ?某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于 102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方 (分別稱為 A配方和 B 配方 )做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了 100 件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計(jì)用 A配方， B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (2)已知用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn) y(單位：元 )與其質(zhì)量指標(biāo)值 t 的關(guān)系式為 y＝??? － 2， t94，2， 94≤ t102，4， t≥ 102，估計(jì)用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0 的概率，并求用 B 配方生產(chǎn)的上述 100 件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)． [審題視點(diǎn) ] 分別計(jì)算出相應(yīng)的頻率，由頻率可估計(jì)概率． 解 (1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用 A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 22＋ 8100 ＝ ，所以用 A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 . 由試驗(yàn)結(jié)果知，用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 32＋ 10100 ＝ ，所以用B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 . (2)由條件知，用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0，需其質(zhì)量指標(biāo)值 t≥ 94，由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值 t≥ 94 的頻率為 ，所以用 B 配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于 0 的概率估計(jì)值為 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均 一件的利潤(rùn)為1100 [4 (－ 2)＋ 54 2＋ 42 4]＝ (元 )． 概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映