【正文】 (2)第一組的人數為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來檢驗該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱坐標是頻率組距 ，而不是頻率． (2)由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌 握下列關系式： 頻率組距 組距＝頻率． 【訓練 2】 (20xx臨沂模擬 )甲校有 3 600 名學生，乙校有 5 400 名學生，丙校有 1 800名學生．為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為 90 的樣本，應該在這三 校分別抽取的學生人數是 ( )． A． 30,30,30 B． 30,45,15 C． 20,30,10 D． 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600＋ 5 400＋ 1 800＝ 1120，故三校分別抽取的學生人數為 3 600 1120＝ 30,5 400 1120＝ 45,1 800 1120＝ 15. 答案 B 3 ． 10 名 工 人 某 天 生 產 同 一 零 件 ， 生 產 的 件 數 分 別 是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天 10 名工人生產的零件的中位數是( )． A． 14 B． 16 C． 15 D． 17 解析 將這組數據從小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,15＋ 152 ＝ 15. 答案 C 4． (20xx西安質檢 )對某商店一個月內每天的顧客人數進行了統計， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數、眾數、極差分別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個，中位 數為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數據出現次數最多的為45，故眾數為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx哈爾濱模擬 )一個樣本容量為 10 的樣本數據，它們組成一個公差不為 0的等差數列 {an}，若 a3＝ 8，且 a1， a3， a7成等比數列，則此樣本的平均數和中位數分別是 ( )． A． 13,12 B． 13,13 C． 12,13 D． 13,14 解析 設等差數列 {an}的公差為 d(d≠ 0)， a3＝ 8， a1a7＝ (a3)2＝ 64， (8－ 2d)(8＋ 4d)＝ 64， (4－ d)(2＋ d)＝ 8,2d－ d2＝ 0，又 d≠ 0，故 d＝ 2，故樣本數據為4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，樣本的平均數為 ?4＋ 22? 510 ＝ 13，中位數為 12＋ 142 ＝13，故選 B. 答案 B 2． (20xx東北三校聯考 )某學生對其親屬 30 人的飲食習慣進行了一次調查，并用下圖所示的莖葉圖表示 30 人的飲食指數． (說明：圖中飲食指數低于 70 的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于 70 的人，飲食以肉類為主 ) (1)根據以上數據完成下列 2 2 列聯表： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 50 歲以上 合計 (2)能否有 99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關？并寫出簡要分析． 解 (1)2 2 列聯表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 4 8 12 50 歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為 K2＝ 30 ?8－ 128?212 18 20 10＝ 10， 所以有 99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關． 方法優(yōu)化 16——求回歸直線方程的方法與技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，獨立性檢驗和回歸分析的考查主要是這兩種知識的簡單應用，以計算和判斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等． 【真題探究】 ? (20xx福州模擬 )下列說法： ① 將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變； ② 設有一個回歸方程 y^＝ 3－ 5x，變量 x 增加一個單位時， y 平均增加 5 個單位； ③ 線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^必過 ( x ， y )； ④ 在一個 2 2 列聯表中，由計算得 K2的觀測值 k＝ ，則在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為這兩個變量間有關系． 其中錯誤的個數是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 本題可以參考獨立性檢驗臨界值表 P(K2≥ k0) k0 解析 只有 ② 錯誤，應該是 y 平均減少 5 個單位． 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的 關系，現隨機抽取 50 名學生，得到如下 2 2 列聯表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(K2≥ )≈ ， P(K2≥ )≈ . 根據表中數據，得到 K2＝ 50 ?13 20－ 10 7?223 27 20 30 ≈ . 則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為 ________． 解析 ∵ K2≈ ，這表明小概率事件發(fā)生．根據假設檢驗的基本原理，應該斷定 “ 是否選修文科與性別之間有關系 ” 成立，并且這種判斷出錯的可能性約為 5%. 答案 5% 4． (20xx遼寧 )從 1,2,3,4,5 中任取 2 個不同的數，事件 A＝ “ 取到的 2 個數之和為偶數 ” ，事件 B＝ “ 取到的 2 個數均為偶數 ” ，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 P(A)＝ C23＋ C22C25 ＝410＝25， P(A∩ B)＝C22C25＝110. 由條件概率計算公式，得 P(B|A)＝ P?A∩ B?P?A? ＝110410＝ 14. 答案 B 5． (20xx唐山統一考試 )考古學家通過始祖鳥化石標本發(fā)現：其股骨長度 x(cm)與肱骨長度 y(cm)的線性回歸方程為 y^＝ － ，由此估計，當股骨長度為 50 cm時，肱骨長度的估計值為 ________ cm. 解析 根據線性回歸方程 y^＝ － ，將 x＝ 50 代入得 y＝ ，則肱骨長度的估計值為 cm. 答案 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某班主任對全班 50 名學生進行了作業(yè)量多少的調查．數據如下表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關數據； (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率 不超過多少的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系？ 附： P(K2≥ k0) k0 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d? 解 (1) 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數據代入公式 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?得到 K2 的觀測值 k＝50 ?18 15－ 8 9?226 24 27 23 ≈ ， 查表知 P(K2≥ )＝ ，即說明在犯錯誤的概率不超過 的前提下認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關系． 8． (13 分 )下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量 x(噸 ) 與相應的生產能耗 y(噸標準煤 )的幾組對照數據 . x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請畫出上表數據的散點圖； (2)請根據上表提供的數據 ，用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^； (3)已知該廠技改前生產 100 噸甲產品的生產能耗為 90 噸標準煤．試根據 (2)求出的線性回歸方程，預測生產 100 噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？ (參考數值： 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ) 解 (1)由題設所給數據，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數據，計算得： ?i＝ 14x2i＝ 86， x ＝ 3＋ 4＋ 5＋ 64 ＝ (噸 )， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ (噸 )． 已知 ?i＝ 14xiyi＝ ， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為： b^＝?i＝ 14xiyi－ 4 x 福建 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據： 單價 x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從 (1)中的關系，且該產品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) [審題視點 ] (1)分別計算 x ， y ，利用線性回歸方程過點 ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關于單價 x 的二次函數，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當且僅當 x＝ 時， L 取得最大值． 故當單 價定為 元時，工廠可獲得最大利潤． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系； (2)計算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計算回歸系數 a^， b^； (4)寫出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓練 2】 (20xx揭陽調研 )某校高一某班的某次數學測試成 績 (滿分為 100 分 )的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據此解答下列問題： (1)求分數在 [50,60]的頻率及全班人數； (2)求分數在 [80,90]之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高． 解 (1)分數在 [50,60]的頻率為 10＝ . 由莖葉圖知，分數在 [50,60]之間的頻數為 2，所以全班人數為 ＝ 25. (2)分數在 [80,90]之間的頻數為 25－ 2－ 7－ 10－ 2＝ 4，頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高為 425247。江蘇 )某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為 3∶3∶ 4，現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為 50 的樣本，則應從高二年級抽取 ________名學生． [教你審題 ] 一審 等比例性質； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級學生人數占總數的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級抽?。?50 310＝ 15(名 )學生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時，分成的各層標準要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx 第十一篇 統計與概率 第 1 講 抽樣方法與總體分布的估計 【 20xx 年高考會這樣考】 1．考查三種抽樣方法及其應用． 2．考查頻率分布直方圖中的相關計算 (求解頻率、頻數等 )． 3．考查用樣本估計總體中的樣本數據的數字特征 (平均數、方差、標準差等 )． 對應學生162 考點梳理 1． 三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數較少 系統抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數較多 分層 抽樣 將總體