【正文】 (2)第一組的人數(shù)為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數(shù)為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數(shù)為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距 ，而不是頻率． (2)由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌 握下列關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率． 【訓(xùn)練 2】 (20xx臨沂模擬 )甲校有 3 600 名學(xué)生，乙校有 5 400 名學(xué)生，丙校有 1 800名學(xué)生．為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為 90 的樣本，應(yīng)該在這三 校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是 ( )． A． 30,30,30 B． 30,45,15 C． 20,30,10 D． 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600＋ 5 400＋ 1 800＝ 1120，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為 3 600 1120＝ 30,5 400 1120＝ 45,1 800 1120＝ 15. 答案 B 3 ． 10 名 工 人 某 天 生 產(chǎn) 同 一 零 件 ， 生 產(chǎn) 的 件 數(shù) 分 別 是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天 10 名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是( )． A． 14 B． 16 C． 15 D． 17 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,15＋ 152 ＝ 15. 答案 C 4． (20xx西安質(zhì)檢 )對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個(gè)，中位 數(shù)為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45，故眾數(shù)為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx哈爾濱模擬 )一個(gè)樣本容量為 10 的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為 0的等差數(shù)列 {an}，若 a3＝ 8，且 a1， a3， a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是 ( )． A． 13,12 B． 13,13 C． 12,13 D． 13,14 解析 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d(d≠ 0)， a3＝ 8， a1a7＝ (a3)2＝ 64， (8－ 2d)(8＋ 4d)＝ 64， (4－ d)(2＋ d)＝ 8,2d－ d2＝ 0，又 d≠ 0，故 d＝ 2，故樣本數(shù)據(jù)為4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，樣本的平均數(shù)為 ?4＋ 22? 510 ＝ 13，中位數(shù)為 12＋ 142 ＝13，故選 B. 答案 B 2． (20xx東北三校聯(lián)考 )某學(xué)生對(duì)其親屬 30 人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示 30 人的飲食指數(shù)． (說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于 70 的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于 70 的人，飲食以肉類為主 ) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列 2 2 列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 合計(jì) 50 歲以下 50 歲以上 合計(jì) (2)能否有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡(jiǎn)要分析． 解 (1)2 2 列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計(jì) 50 歲以下 4 8 12 50 歲以上 16 2 18 合計(jì) 20 10 30 (2)因?yàn)?K2＝ 30 ?8－ 128?212 18 20 10＝ 10， 所以有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． 方法優(yōu)化 16——求回歸直線方程的方法與技巧 【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析的考查主要是這兩種知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，以計(jì)算和判斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等． 【真題探究】 ? (20xx福州模擬 )下列說(shuō)法： ① 將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變； ② 設(shè)有一個(gè)回歸方程 y^＝ 3－ 5x，變量 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y 平均增加 5 個(gè)單位； ③ 線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^必過(guò) ( x ， y )； ④ 在一個(gè) 2 2 列聯(lián)表中，由計(jì)算得 K2的觀測(cè)值 k＝ ，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下認(rèn)為這兩個(gè)變量間有關(guān)系． 其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 本題可以參考獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表 P(K2≥ k0) k0 解析 只有 ② 錯(cuò)誤，應(yīng)該是 y 平均減少 5 個(gè)單位． 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的 關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取 50 名學(xué)生，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(K2≥ )≈ ， P(K2≥ )≈ . 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到 K2＝ 50 ?13 20－ 10 7?223 27 20 30 ≈ . 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為 ________． 解析 ∵ K2≈ ，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定 “ 是否選修文科與性別之間有關(guān)系 ” 成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為 5%. 答案 5% 4． (20xx遼寧 )從 1,2,3,4,5 中任取 2 個(gè)不同的數(shù)，事件 A＝ “ 取到的 2 個(gè)數(shù)之和為偶數(shù) ” ，事件 B＝ “ 取到的 2 個(gè)數(shù)均為偶數(shù) ” ，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 P(A)＝ C23＋ C22C25 ＝410＝25， P(A∩ B)＝C22C25＝110. 由條件概率計(jì)算公式，得 P(B|A)＝ P?A∩ B?P?A? ＝110410＝ 14. 答案 B 5． (20xx唐山統(tǒng)一考試 )考古學(xué)家通過(guò)始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長(zhǎng)度 x(cm)與肱骨長(zhǎng)度 y(cm)的線性回歸方程為 y^＝ － ，由此估計(jì)，當(dāng)股骨長(zhǎng)度為 50 cm時(shí)，肱骨長(zhǎng)度的估計(jì)值為 ________ cm. 解析 根據(jù)線性回歸方程 y^＝ － ，將 x＝ 50 代入得 y＝ ，則肱骨長(zhǎng)度的估計(jì)值為 cm. 答案 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某班主任對(duì)全班 50 名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計(jì) 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計(jì) (1)請(qǐng)完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)； (2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率 不超過(guò)多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？ 附： P(K2≥ k0) k0 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d? 解 (1) 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計(jì) 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計(jì) 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?得到 K2 的觀測(cè)值 k＝50 ?18 15－ 8 9?226 24 27 23 ≈ ， 查表知 P(K2≥ )＝ ，即說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系． 8． (13 分 )下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量 x(噸 ) 與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤 )的幾組對(duì)照數(shù)據(jù) . x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) ，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^； (3)已知該廠技改前生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù) (2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值： 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ) 解 (1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示． (2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得： ?i＝ 14x2i＝ 86， x ＝ 3＋ 4＋ 5＋ 64 ＝ (噸 )， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ (噸 )． 已知 ?i＝ 14xiyi＝ ， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： b^＝?i＝ 14xiyi－ 4 x 福建 )某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià) x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？ (利潤(rùn)＝銷售收入－成本 ) [審題視點(diǎn) ] (1)分別計(jì)算 x ， y ，利用線性回歸方程過(guò)點(diǎn) ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關(guān)于單價(jià) x 的二次函數(shù)，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時(shí)， L 取得最大值． 故當(dāng)單 價(jià)定為 元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)計(jì)算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計(jì)算回歸系數(shù) a^， b^； (4)寫出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓(xùn)練 2】 (20xx揭陽(yáng)調(diào)研 )某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成 績(jī) (滿分為 100 分 )的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問(wèn)題： (1)求分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率及全班人數(shù)； (2)求分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高． 解 (1)分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率為 10＝ . 由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在 [50,60]之間的頻數(shù)為 2，所以全班人數(shù)為 ＝ 25. (2)分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)為 25－ 2－ 7－ 10－ 2＝ 4，頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高為 425247。江蘇 )某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為 3∶3∶ 4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 ________名學(xué)生． [教你審題 ] 一審 等比例性質(zhì)； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級(jí)抽?。?50 310＝ 15(名 )學(xué)生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時(shí)，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx 第十一篇 統(tǒng)計(jì)與概率 第 1 講 抽樣方法與總體分布的估計(jì) 【 20xx 年高考會(huì)這樣考】 1．考查三種抽樣方法及其應(yīng)用． 2．考查頻率分布直方圖中的相關(guān)計(jì)算 (求解頻率、頻數(shù)等 )． 3．考查用樣本估計(jì)總體中的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 (平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等 )． 對(duì)應(yīng)學(xué)生162 考點(diǎn)梳理 1． 三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體