【正文】 陜西 )甲乙兩人一起去游 “ 20xx 西安世園會(huì) ” ，他們約定，各自獨(dú)立地從 1 到 6 號(hào)景點(diǎn)中任選 4 個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀 1 小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是 ( )． A. 136 C. 536 解析 若用 {1,2,3,4,5,6}代表 6 處景點(diǎn)，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為 {1,1}、 {1,2}、{1,3}、 ? 、 {6,6}，共 36 種；其中滿足題意的 “ 同一景點(diǎn)相遇 ” 包括 {1,1}、 {2,2}、{3,3}、 ? 、 {6,6}，共 6 個(gè)基本事件，所以所求的概率值為 16. 答案 D 4． (20xx廣東 )某數(shù)學(xué)老師身高 176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是 173 cm、170 cm和 182 ，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為 ________ cm. 解析 由題意父親身高 x cm與兒子身高 y cm對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表： x 173 170 176 y 170 176 182 則 x ＝ 173＋ 170＋ 1763 ＝ 173， y ＝ 170＋ 176＋ 1823 ＝ 176， ?i＝ 13 (xi－ x )(yi－ y )＝ (173－ 173) (170－ 176)＋ (170－ 173) (176－ 176)＋(176－ 173)(182－ 176)＝ 18， ?i＝ 13 (xi－ x )2＝ (173－ 173)2＋ (170－ 173)2＋ (176－ 173)2＝ 18.∴ b^＝ 1818＝ 1.∴ a^＝y(tǒng) － b^ x ＝ 176－ 173＝ 3. ∴ 線性回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^＝ x＋ 3. ∴ 可估計(jì)孫子身高為 182＋ 3＝ 185(cm)． 答案 185 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )(20xx山東 )某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用 x(萬元 ) 4 2 3 5 銷售額 y(萬元 ) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程 y^＝ b^x＋ a^中的 b^為 ，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為 6 萬元 時(shí)銷售額為 ( )． A． 萬元 B． 萬元 C． 萬元 D． 萬元 解析 x ＝ 4＋ 2＋ 3＋ 54 ＝ (萬元 )， y ＝ 49＋ 26＋ 39＋ 544 ＝ 42(萬元 )， ∴ a^＝ y － b^ x ＝ 42－ ＝ ， ∴ 回歸方程為 y^＝ ＋ ， ∴ 當(dāng) x＝ 6(萬元 )時(shí)， y^＝ 6＋ ＝ (萬元 )． 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5．已知施化肥量 x 與水稻產(chǎn)量 y 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，則變量 x 與變量 y 是 ________相關(guān) (填 “ 正 ” 或 “ 負(fù) ” ). 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 y 330 345 365 405 445 450 455 解析 因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖能直觀地反映兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點(diǎn)圖如圖所示： 通過觀察圖象可知變量 x 與變量 y 是正相關(guān)． 答案 正 6． (20xx安徽 )某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 20xx 20xx 20xx 20xx 20xx 需求量 /萬噸 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^； (2)利用 (1)中所求出的直線方程預(yù)測該地 20xx 年的糧食需求量． [教你審題 ] 分別計(jì)算 x ， y ， b^， a^，把 2 012 代入所求回歸直線方 程中． [優(yōu)美解法 ] (1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)處理如下： 年份－ 20xx － 4 － 2 0 2 4 需求量－ 257 － 21 － 11 0 19 29 對(duì)處理的數(shù)據(jù)，容易算得 x ＝ 0， y ＝ ， b^＝ ?－ 4? ?－ 21?＋ ?－ 2? ?－ 11?＋ 2 19＋ 4 29－ 5 0 ?－ 4?2＋ ?－ 2?2＋ 22＋ 42－ 5 02 ＝ 26040 ＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ ，知所求回歸直線方程為 y^－ 257＝ (x－ 2 006)＋ . 即 y^＝ (x－ 2 006)＋ . (2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測 20xx 年的糧食需求量為 (2 012－ 2 006)＋ ＝ 6＋ ＝ (萬噸 )． [反思 ] 求回歸直線方程時(shí)，重點(diǎn)考查的是計(jì)算能力．若本題用一般法去解，計(jì)算更繁瑣 (如年份、需求量不做如上處理 )，所以平時(shí)訓(xùn)練時(shí)遇到數(shù)據(jù)較大的要考慮有沒有更簡便的方法解決． 【試一試】 某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此做了四次試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如下圖所示的散點(diǎn)圖，其中 x 表示零件的個(gè)數(shù)， y 表示加工時(shí)間，則 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程是 ________． 解析 x ＝ 2＋ 3＋ 4＋ 54 ＝ ， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ ， 所以 b^＝?i＝ 14xiyi－ 4 x y?i＝ 14x2i－ 4 x 2 ＝ 2 ＋ 3 3＋ 4 4＋ 5 － 4 222＋ 32＋ 42＋ 52－ 4 ＝ ＝ . a^＝ y － b^ x ＝ － ＝ ， 所以線性回歸方程為 y^＝ ＋ . 答案 y^＝ ＋ 對(duì)應(yīng)學(xué)生331 A 級(jí) 基礎(chǔ)演練 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小 題 5 分，共 20 分 ) 1． (20xx遼寧 )調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x(單位：萬元 )和年飲食支出 y(單位：萬元 )，調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性 相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y 對(duì) x 的線性回歸方程： y^＝ ＋ ，家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加 ________萬元． 解析 由題意，知其回歸系數(shù)為 ，故家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加 萬元． 答案 考向一 線性相關(guān)關(guān)系的判斷 【例 1】 ?下表是某小賣部 6 天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比 表 . 氣溫 /℃ 26 18 13 10 4 － 1 杯數(shù) y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖； (2)你能依據(jù)散點(diǎn)圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？ (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系． [審題視點(diǎn) ] (1)用 x 軸表示氣溫， y 軸表示杯數(shù)，逐一畫點(diǎn)； (2)根據(jù)散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 解 (1)畫出的散點(diǎn)圖如圖． (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān)，圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系． (3)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等．如圖． 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法．在散點(diǎn)圖中如果所 有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系．即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 【訓(xùn)練 1】 5 個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 A B C D E 學(xué)科 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系． 解 把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， 5)，作出散點(diǎn)圖如圖． 從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績增大時(shí)，物理成績也在由小變大，即它們正相關(guān)．考向二 線性回歸方程及其應(yīng)用 【例 2】 ?(20xx江西 )樣本 (x1， x2， ? ， xn)的平均數(shù)為 x ，樣本 (y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù)為 y ( x ≠ y )．若樣本 (x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù) z ＝ α x ＋(1－ α) y ，其中 0α12，則 n， m 的大小關(guān)系為 ( )． A． nm B． nm C． n＝ m D．不能確定 解析 依題意得 x1＋ x2＋ ? ＋ xn＝ n x ， y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ m y ， x1＋ x2＋ ? ＋ xn＋ y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ (m＋ n) z ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ n x ＋ m y ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ ??? n＝ ?m＋ n?α，m＝ ?m＋ n??1－ α?， 于是有 n－ m＝ (m＋ n)[α－ (1－ α)]＝ (m＋ n)(2α－ 1)， ∵ 0α12， ∴ 2α－ 10， ∴ n－ m0，即 mn. 答案 A 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3． (20xx蘇州一中月考 )某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在 1 000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 200 名，并統(tǒng)計(jì)這 200 名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖 (如圖 )．根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)這 1 000 名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)是 ________． 解析 低于 60 分學(xué)生所占頻率為 (＋ ＋ ) 10＝ ，故低于 60分的學(xué)生人數(shù)為 1 000 ＝ 200，所以不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)為 1 000－ 200 ＝ 800. 答案 800 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某政府機(jī)關(guān)有在編人員 100 人，其中副處級(jí)以上干部 10 人，一般干部70 人，工人 20 人．上級(jí)機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見，要從中抽取一個(gè)容量為 20 的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實(shí)施抽取． 解 用分層抽樣方法抽?。? 具體實(shí)施抽取如下： (1)∵ 20∶ 100＝ 1∶ 5， ∴ 105 ＝ 2， 705 ＝ 14， 205 ＝ 4， ∴ 從副處級(jí)以上干部中抽取 2 人，從一般干部中抽取 14 人，從工人中抽取 4人． (2)因副處級(jí)以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按 1～ 10 編號(hào)與 1～ 20編號(hào)，然后采用抽簽法分別抽取 2 人和 4 人；對(duì)一般干部 70 人采用 00,01,02， ? ，69 編號(hào)，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取 14 人． (3)將 2 人， 4 人， 14 人的編號(hào)匯合在一起就取得了容量為 20 的樣本． 8． (13 分 )(20xx南昌模擬 )小波一星期的總開支分布如圖 (a)所示，一星期的食品開支如圖 (b)所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 ( )． A． 30% B． 10% C． 3% D．不能確定 解析 由題圖 (b)可知小波一星期的食品開支共計(jì) 300 元，其中雞蛋開支 30元．又由題圖 (a)知，一周的食品開支占總開支的 30%，則可知一周總開支為 1 000 元，所以雞蛋開支占總開支的百分比為 301 000 100%＝ 3%. 答案 C 3． (20xx陜西 )從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取 16 臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 (如圖所示 )．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為 x甲 ， x 乙 ，中位數(shù)分別為 m 甲 ， m 乙 ，則 ( )． A. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 C. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 解析 x 甲 ＝ 116(41＋ 43＋ 30＋ 30＋ 38＋ 22＋ 25＋ 27＋ 10＋ 10＋ 14＋ 18＋ 18＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 34516 ， x 乙 ＝ 116(42＋ 43＋ 48＋ 31＋ 32＋ 34＋ 34＋ 38＋ 20＋ 22＋ 23＋ 23＋ 27＋ 10＋ 12＋ 18)＝ 45716 . ∴ x 甲 x 乙． 又 ∵ m 甲 ＝ 20， m 乙 ＝ 29， ∴ m 甲 m 乙． 答案 B 方法優(yōu)化 15——快速掌握抽樣方法的 技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，考查分層抽樣方法的題目較多，其次是系統(tǒng)抽樣．題型多為選擇題、填空題，有的與統(tǒng)計(jì)的其它知識(shí)或概率綜合考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較低． 【真題探究】 ? (20xx西北工大附中測試 )如圖是容量為 150 的樣本的頻率分布直方圖，