【正文】 微博】 一個(gè)關(guān)系 兩個(gè)事件對(duì)立則一定互斥，兩個(gè)事件互斥未必對(duì)立．兩事件對(duì)立是這兩事件互斥的充分而不必要條件． 兩種方法 求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算； (2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式 P(A)＝ 1－ P( A )，即運(yùn)用逆向思維 (正難則反 )，特別是 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型題目，用間接 法就顯得 比較簡便． 考點(diǎn)自測 1． (人教 A 版習(xí)題改編 )從裝有 5 個(gè)紅球和 3 個(gè)白球的口袋內(nèi)任取 3 個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是 ( )． A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球 B．至少有一個(gè)紅球與都是白球 C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球 D．恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球 解析 對(duì)于 A 中的兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于 B 中兩個(gè)事件互斥且對(duì)立，對(duì)于 C中兩個(gè)事件不互斥，對(duì)于 D 中的兩個(gè)互斥而不對(duì)立． 答案 D 2． (20xx長春調(diào)研 )已知 x， y 取值如下表： x 0 1 4 5 6 8 y 從所得的散點(diǎn)圖分析可知： y 與 x 線性相關(guān)，且 y^＝ ＋ a，則 a＝ ( )． A． B． C． D． 解析 依題意得， x ＝ 16 (0＋ 1＋ 4＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 4， y ＝ 16 (＋ ＋ ＋＋ ＋ )＝ y^＝ ＋ a 必過樣本中心點(diǎn) ( x ， y )，即點(diǎn)(4,)，于是有 ＝ 4＋ a，由此解得 a＝ ，選 B. 答案 B 3.(20xx北京西城一模 )某年級(jí) 120 名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?13秒與 18 秒之間．將測試結(jié)果分成 5 組： [13,14)， [14,15)， [15,16)， [16,17)， [17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的 5 個(gè)小矩形的面積之比為1∶ 3∶ 7∶ 6∶ 3，那么成績?cè)?[16,18]的學(xué)生人數(shù)是 ____________． 解析 成績?cè)?[16,18]的學(xué)生的人數(shù)所占比例為 6＋ 31＋ 3＋ 7＋ 6＋ 3＝ 920，所以成績?cè)?[16,18]的學(xué)生人數(shù)為 120 920＝ 54. 答案 54 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從 20xx 年開始，對(duì) CO2排放量超過 130 g/km 的 MI 型新車進(jìn)行懲罰 (視為排放量超標(biāo) )，某檢測單位對(duì)甲、乙兩類 MI 型品牌的新車各抽取了 5 輛進(jìn)行 CO2排放量檢測，記錄如下 (單位： g/km)： 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x Y 160 經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品 牌車 CO2排放量的均值為 x 乙 ＝ 120 g/km. (1)求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差； (2)若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車 CO2的排放量穩(wěn)定性好，求 x 的取值范圍． 解 (1)甲類品牌汽車的 CO2排放量的平均值 x 甲 ＝ 80＋ 110＋ 120＋ 140＋ 1505 ＝120(g/km)， 甲類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2甲 ＝ ?80－ 120?2＋ ?110－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?140－ 120?2＋ ?150－ 120?25 ＝ 600. (2)由題意知乙類品牌汽車的 CO2 排放量的平均值 x 乙 ＝ 100＋ 120＋ x＋ y＋ 1605＝ 120(g/km)，得 x＋ y＝ 220，故 y＝ 220－ x，所以乙類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2乙 ＝ ?100－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?x－ 120?2＋ ?220－ x－ 120?2＋ ?160－ 120?25 ， 因?yàn)橐翌惼放破嚤燃最惼放破?CO2的排放量穩(wěn)定性好，所以 s2乙 s2甲 ，解得90x130. 6． (13 分 )已知某單位有 50 名職工，現(xiàn)要從中抽取 10 名 職工，將全體職工隨機(jī)按 1～ 50 編號(hào)，并按編號(hào)順序 平均分成 10 組，按各組內(nèi)抽取的編號(hào)依次增加 5 進(jìn)行 系統(tǒng)抽樣． (1) 若第 5 組抽出的號(hào)碼為 22，寫出所有被抽出職工 (2) 的號(hào)碼； (2)分別統(tǒng)計(jì)這 10 名職工的體重 (單位：公斤 )，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差； (3)在 (2)的條件下，從這 10 名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于 73 公斤 (≥ 73公斤 )的職工，求體 重為 76 公斤的職工被抽取到的概率． 解 (1)由題意，第 5 組抽出的號(hào)碼為 22. 因?yàn)?k＋ 5 (5－ 1)＝ 22，所以第 1 組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為 2，抽出的 10 名職工的號(hào)碼分別為 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因?yàn)?10 名職工的平均體重為 x ＝ 110(81＋ 70＋ 73＋ 76＋ 78＋ 79＋ 62＋ 65＋ 67＋ 59)＝ 71， 所以樣本方差為： s2＝ 110(102＋ 12＋ 22＋ 52＋ 72＋ 82＋ 92＋ 62＋ 42＋ 122)＝ 52. (3)從 10 名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于 73 公斤的職工，共有 10 種不同的取法： (73,76)， (73,78)， (73,79)， (73,81)， (76,78)， (76,79)， (76,81)， (78,79)，(78,81)， (79,81)． 記 “ 體重為 76 公斤的職工被抽取 ” 為事件 A，它包括的事件有 (73,76)，(76,78)， (76,79)， (76,81)共 4 個(gè)． 故所求概率為 P(A)＝ 410＝ 25. 第 2 講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 【 20xx 年高考會(huì)這 樣考】 1．考查利用散點(diǎn)圖判斷變量之間的關(guān)系． 2．考查線性回歸方程的計(jì)算或回歸分析的思想與方法的應(yīng)用問題． 3．考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用． 考點(diǎn)梳理 1． 相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)散點(diǎn)圖直觀反映了兩變量的成對(duì)觀測值之間存在的某種關(guān)系，利用散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān)．如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們說變量 x 和 y 具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)相關(guān)系數(shù) r＝?i＝ 1n ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 1n ?xi－ x ?2 ?i＝ 1n ?yi－ y ?2，當(dāng) r0 時(shí)，兩變量正相關(guān)，當(dāng)r0 時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，當(dāng) |r|≤ 1 且 |r|越接近于 1，相關(guān)程度 越高 ，當(dāng) |r|≤ 1 且 |r|越接近于 0，相關(guān)程度 越低． 2． 最小二乘法求回歸直線方程 (1)設(shè)線性回歸方程為 y^＝ b^x＋ a^，其中， b^是回歸方程的斜率， a^是截距． ????? b^＝ ?i＝ 1n ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 1n ?xi－ x ?2＝?i＝ 1nxiyi－ n x y?i＝ 1nx2i－ n x 2，a^＝ y － b^ x . (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn) ( x ， y )，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題． 3． 獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)概念 ① 分類變量 可用變量的不同 “ 值 ” 表示個(gè)體所屬的 不同類別 的變量稱為分類變量． ② 2 2 列聯(lián)表 假設(shè)有兩個(gè)分類變量 X 和 Y，它們的值域分別為 {x1， x2}和 {y1， y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表 (稱為 2 2 列聯(lián)表 )為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋ b x2 c d c＋ d 總計(jì) a＋ c b＋ d a＋ b＋ c＋ d (2)獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用隨機(jī)變量 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?(其中 n＝ a＋ b＋ c＋ d 為樣本容量 )來判斷 “ 兩個(gè)變量有關(guān)系 ” 的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 步驟如下： ① 計(jì)算隨機(jī)變量 K2的觀測值 k，查下表確定臨界值 k0： P(K2≥ k0) 0 0 5 5 k0 P(K2≥ k0) 5 25 10 05 1 k0 ② 如果 k≥ k0，就推斷 “ X 與 Y 有關(guān)系 ” ，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2≥ k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過 P(K2≥ k0)的前提下不能推斷“ X 與 Y有關(guān)系 ” ． 一個(gè)區(qū)別 函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系． 三個(gè)特征 (1)回歸方程 y^＝ b^x＋ a^中的 b^表示 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y^的變化量約為 b^. (2)R2 越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好； R2 越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差． (3)當(dāng) K2≥ 時(shí)，則有 95%的把握說事件 A與 B 有關(guān)； 當(dāng) K2≥ 時(shí)，則有 99%的把握說事件 A與 B 有關(guān)； 當(dāng) K2≤ 時(shí)，則認(rèn)為事件 A與 B 無關(guān)． 考點(diǎn)自測 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ( )． A．正方體的棱長與體積 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積與總產(chǎn)量 C．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 D．電壓一定時(shí)，電流與電阻 解析 A， B， D 中兩個(gè)變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系； C 中的兩個(gè)變量間是相關(guān)關(guān)系，對(duì)于日照時(shí)間一定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量，故選 C. 答案 C 2．對(duì)變量 x， y 有觀測數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， 10)，得散點(diǎn)圖 (1)；對(duì)變量 u，v 有觀測數(shù)據(jù) (ui， vi)(i＝ 1,2， ? ， 10)，得散點(diǎn)圖 (2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷( )． A．變量 x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) B．變量 x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān) C．變量 x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) D．變量 x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān) 解析 由圖 (1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢， x 與 y 負(fù)相關(guān)；由圖 (2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢， u 與 v 正相關(guān)． 答案 C 3． (20xx安徽 )甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5 次，兩人成績的條 形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則 ( )． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析 由題意可知，甲的成績?yōu)?4,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?5,5,5,6,、乙的成績的平均數(shù)均為 6， A 錯(cuò)；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為 6,5， B 錯(cuò)；甲、乙的成績的方差分別為 15 [(4－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (7－ 6)2＋ (8－ 6)2]＝ 2， 15 [(5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (9－ 6)2]＝ 125 ， C 對(duì)；甲、乙的成績的極差均為 4， D 錯(cuò)． 答案 C 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (20xx天津 )某地區(qū)有小學(xué) 150 所，中學(xué) 75 所，大學(xué) 25 所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 30 所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 ________所學(xué)校，中學(xué)中抽取 ________所學(xué)校． 解析 根據(jù)分層抽樣的特 點(diǎn)求解．從小學(xué)中抽取 30 150150＋ 75＋ 25＝ 18 所學(xué)校；從中學(xué)中抽取 30 75150＋ 75＋ 25＝ 9 所學(xué)校． 答案 18 9 考向二 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 【例 2】 ?某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) [25,55]歲的人群隨機(jī)抽取 n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為 “ 低碳族 ” ，否則稱為 “ 非低碳族 ” ，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 第四組 [40,45) a 第五組 [45,50) 30 第六組 [50,55] 15 續(xù)表 (1)補(bǔ)全頻率分布直方圖； (2)求 n， a， p 的值． [審題視點(diǎn) ] (1)要補(bǔ)全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計(jì)算出第二組的頻率； (2)靈活運(yùn)用關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率 ， 頻數(shù)樣本容量 ＝頻率求解． 解 (1)第二組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 5＝ ，所以小長方形的高為 ＝ ．