【正文】 則樣本數(shù)據(jù)落在 [6,10)內(nèi)的頻數(shù)為 ( )． A． 12 B． 48 C． 60 D． 80 解析 落在 [6,10)內(nèi)的頻率為 4＝ ，故頻數(shù)為 150＝ 48. 答案 B 5． (20xx 第十一篇 統(tǒng)計與概率 第 1 講 抽樣方法與總體分布的估計 【 20xx 年高考會這樣考】 1．考查三種抽樣方法及其應(yīng)用． 2．考查頻率分布直方圖中的相關(guān)計算 (求解頻率、頻數(shù)等 )． 3．考查用樣本估計總體中的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 (平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等 )． 對應(yīng)學(xué)生162 考點梳理 1． 三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽樣 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (1)當(dāng)總體很大或 不便獲得時，可以用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布，我們把反映樣本頻率分布的表格稱為頻率分布表．繪制頻率分布表的步驟為：① 求極差 ； ② 決定組距和組數(shù) ； ③ 將數(shù)據(jù)分組 ； ④ 列頻率分布表． (2)利用直方圖反映樣本的頻率分布，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖．畫頻率分布直方圖的一般步驟是： ① 繪制頻率分布表； ② 作直角坐標(biāo)系，把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距； ③ 在上面標(biāo)出的各點中，分別以相鄰兩點為端點的線段為底作矩形，它的高等于該組的 頻率組距 .此時，每個矩形的面積恰好就是該組的頻率，顯然所有矩 形的面積之和為 1. 3． 樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 x ＝ 1n(x1＋ x2＋ ? ＋ xn)． (4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差： s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]． 標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ 1n[?x1－ x ?2＋ ?x2－ x ?2＋ ? ＋ ?xn－ x ?2] . 一條規(guī)律 三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．若樣本容量為 n，總體的個體數(shù)為 N，則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是 nN. 兩個特性 (1)在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量，各小組頻率的和等于 1； (2)在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率 /組距，每個小矩形的面積等于該組的頻率，所有小矩形的面積之和為 1. 考點自測 1． (20xx長沙模擬 ) 如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為 ________． (注：方差 s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]，其 中 x 為 x1， x2， ? ，xn 的平均數(shù) ) 解析 x ＝ 15(8＋ 9＋ 10＋ 13＋ 15)＝ 11， s2＝ 15 (9＋ 4＋ 1＋ 4＋ 16)＝ . 答案 考向一 抽樣方法 【例 1】 ?從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車中抽取 80 輛測試某項性能．請合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫出抽樣過程． [審題視點 ] 因為 802 不能整除 80，為了保證 “ 等距 ” 分段，應(yīng)先剔除 2 個個體． 解 由于總體及樣本中的個體數(shù)較多，且無明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方法，步驟如下： 第一步：先從 802 輛轎車中剔除 2 輛轎車 (剔除方法可用隨機數(shù)法 )； 第二步：將余下的 800 輛轎車編號為 1,2， ? ， 800，并均勻分成 80 段，每段含 k＝ 80080 ＝ 10 個個體； 第三步：從第 1 段即 1,2， ? ， 10 這 10 個編號中，用簡單隨機抽樣的方法抽取一個編號 (如 5)作為起始編號； 第四步：從 5 開始，再將編號為 15,25， ? ， 795 的個體抽出，得到一個容量為 80 的樣本． 解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個關(guān)鍵步驟為： (1)分段的方法應(yīng)依據(jù)抽取的樣本容量而定，即根據(jù)定義每段抽取一個樣本． (2)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了． 【訓(xùn)練 1】 (20xx江蘇 )某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 3∶3∶ 4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 ________名學(xué)生． [教你審題 ] 一審 等比例性質(zhì)； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級抽取： 50 310＝ 15(名 )學(xué)生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx成都模擬 )交通管理部門為了解機動車駕駛員 (簡稱駕駛員 )對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為 N，其中甲社區(qū)有駕駛員 96 人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取 駕駛員的人數(shù)分別為 12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù) N 為 ( )． A． 101 B． 808 C． 1 212 D． 2 012 解析 甲社區(qū)駕駛員的抽樣比例為 1296＝ 18，四個社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比例為 12＋ 21＋ 25＋ 43N ＝ 101N ，由 101N ＝ 18，得 N＝ 808. 答案 B 4． (20xx揭陽調(diào)研 )某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成 績 (滿分為 100 分 )的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題： (1)求分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率及全班人數(shù)； (2)求分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高． 解 (1)分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率為 10＝ . 由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在 [50,60]之間的頻數(shù)為 2，所以全班人數(shù)為 ＝ 25. (2)分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)為 25－ 2－ 7－ 10－ 2＝ 4，頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高為 425247。沈陽質(zhì)檢 )沈陽市某高中有高一學(xué)生 600 人，高二學(xué)生 500 人，高三學(xué)生550 人，現(xiàn)對學(xué)生關(guān)于消防安全知識了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個容量為 n 的樣本，其中高三學(xué)生有 11 人，則 n 的值等于 ________． 解析 由 n600＋ 500＋ 550＝ 11550，得 n＝ 33(人 )． 答案 33 4． (20xx福建 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價 x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) [審題視點 ] (1)分別計算 x ， y ，利用線性回歸方程過點 ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關(guān)于單價 x 的二次函數(shù)，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時， L 取得最大值． 故當(dāng)單 價定為 元時，工廠可獲得最大利潤． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)計算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計算回歸系數(shù) a^， b^； (4)寫出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓(xùn)練 2】 (20xx新課標(biāo)全國 )在一組樣本數(shù)據(jù) (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)(n≥ 2， x1，x2， ? ， xn 不全相等 )的散點圖中，若所有樣本點 (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)都在直線 y＝ 12x＋ 1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為 ( )． A．－ 1 B． 0 D． 1 解析 樣本點都在直線上時，其數(shù)據(jù)的估計值與真實值是相等的，即 yi＝ y^i，代入相關(guān)系數(shù)公式 r＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2＝ 1. 答案 D 2． (20xx唐山統(tǒng)一考試 )考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度 x(cm)與肱骨長度 y(cm)的線性回歸方程為 y^＝ － ，由此估計，當(dāng)股骨長度為 50 cm時，肱骨長度的估計值為 ________ cm. 解析 根據(jù)線性回歸方程 y^＝ － ，將 x＝ 50 代入得 y＝ ，則肱骨長度的估計值為 cm. 答案 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某班主任對全班 50 名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計 (1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)； (2)試通過計算說明在犯錯誤的概率 不超過多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？ 附： P(K2≥ k0) k0 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d? 解 (1) 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?得到 K2 的觀測值 k＝50 ?18 15－ 8 9?226 24 27 23 ≈ ， 查表知 P(K2≥ )＝ ，即說明在犯錯誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系． 8． (13 分 )下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量 x(噸 ) 與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤 )的幾組對照數(shù)據(jù) . x 3 4 5 6 y 3 4 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) ，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^； (3)已知該廠技改前生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù) (2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn) 100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值： 3 ＋ 4 3＋ 5 4＋ 6 ＝ ) 解 (1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示． (2)由對照數(shù)據(jù)，計算得： ?i＝ 14x2i＝ 86， x ＝ 3＋ 4＋ 5＋ 64 ＝ (噸 )， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ (噸 )． 已知 ?i＝ 14xiyi＝ ， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： b^＝?i＝ 14xiyi－ 4 x 南通模擬 )某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實驗室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4日 12 月 5日 溫差 x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y/顆 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗．