【正文】 析，考查分層抽樣方法的題目較多，其次是系統(tǒng)抽樣．題型多為選擇題、填空題，有的與統(tǒng)計的其它知識或概率綜合考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較低． 【真題探究】 ? (20xx江蘇 )某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 3∶3∶ 4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 ________名學(xué)生． [教你審題 ] 一審 等比例性質(zhì)； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級抽?。?50 310＝ 15(名 )學(xué)生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx徐州模擬 )從某小學(xué)隨機(jī)抽取 100 名同學(xué)，這些同學(xué)身高都不低于 100 厘米，將他們的身高 (單位：厘米 )數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 (如圖 )．現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在 [120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué) 生中，選取 18 人參加一項活動，則從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________． 解析 由 (＋ ＋ ＋ ＋ a) 10＝ 1，得 a＝ ，因此[120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué)生人數(shù)分別為： 100＝ 30, 100 ＝ 20, 100＝ 10，所以，從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為1030＋ 20＋ 10 18＝ 3. 答案 3 A 級 基礎(chǔ)演練 (時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1.(20xx西安質(zhì)檢 )對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個，中位 數(shù)為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45，故眾數(shù)為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx南昌模擬 )小波一星期的總開支分布如圖 (a)所示，一星期的食品開支如圖 (b)所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 ( )． A． 30% B． 10% C． 3% D．不能確定 解析 由題圖 (b)可知小波一星期的食品開支共計 300 元，其中雞蛋開支 30元．又由題圖 (a)知，一周的食品開支占總開支的 30%，則可知一周總開支為 1 000 元，所以雞蛋開支占總開支的百分比為 301 000 100%＝ 3%. 答案 C 3． (20xx成都模擬 )交通管理部門為了解機(jī)動車駕駛員 (簡稱駕駛員 )對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為 N，其中甲社區(qū)有駕駛員 96 人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取 駕駛員的人數(shù)分別為 12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù) N 為 ( )． A． 101 B． 808 C． 1 212 D． 2 012 解析 甲社區(qū)駕駛員的抽樣比例為 1296＝ 18，四個社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比例為 12＋ 21＋ 25＋ 43N ＝ 101N ，由 101N ＝ 18，得 N＝ 808. 答案 B 4． (20xx安徽 )甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5 次，兩人成績的條 形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ( )． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析 由題意可知，甲的成績?yōu)?4,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?5,5,5,6,、乙的成績的平均數(shù)均為 6， A 錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為 6,5， B 錯；甲、乙的成績的方差分別為 15 [(4－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (7－ 6)2＋ (8－ 6)2]＝ 2， 15 [(5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (9－ 6)2]＝ 125 ， C 對；甲、乙的成績的極差均為 4， D 錯． 答案 C 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (20xx武夷模擬 )用系統(tǒng)抽樣法要從 160 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本，將 160名學(xué)生隨機(jī)地從 1～ 160編號，按編號順序平均分成 20組 (1～ 8號， 9～ 16號， ? ，153～ 160 號 )，若第 16 組抽出的號碼為 126，則第 1 組中用抽簽的方法確定的號碼是 ________． 解析 設(shè)第 1 組抽取的號碼為 b，則第 n 組抽取的號碼為 8(n－ 1)＋ b， ∴ 8 (16－ 1)＋ b＝ 126， ∴ b＝ 6，故第 1 組抽取的號碼為 6. 答案 6 6． (20xx蘇州一中月考 )某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在 1 000 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 200 名，并統(tǒng)計這 200 名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖 (如圖 )．根據(jù)頻率分布直方圖可估計這 1 000 名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)是 ________． 解析 低于 60 分學(xué)生所占頻率為 (＋ ＋ ) 10＝ ，故低于 60分的學(xué)生人數(shù)為 1 000 ＝ 200，所以不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)為 1 000－ 200 ＝ 800. 答案 800 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某政府機(jī)關(guān)有在編人員 100 人，其中副處級以上干部 10 人，一般干部70 人，工人 20 人．上級機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容量為 20 的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽?。? 解 用分層抽樣方法抽?。? 具體實施抽取如下： (1)∵ 20∶ 100＝ 1∶ 5， ∴ 105 ＝ 2， 705 ＝ 14， 205 ＝ 4， ∴ 從副處級以上干部中抽取 2 人，從一般干部中抽取 14 人，從工人中抽取 4人． (2)因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按 1～ 10 編號與 1～ 20編號，然后采用抽簽法分別抽取 2 人和 4 人；對一般干部 70 人采用 00,01,02， ? ，69 編號，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取 14 人． (3)將 2 人， 4 人， 14 人的編號匯合在一起就取得了容量為 20 的樣本． 8． (13 分 )(20xx揭陽調(diào)研 )某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成 績 (滿分為 100 分 )的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題： (1)求分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率及全班人數(shù)； (2)求分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高． 解 (1)分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率為 10＝ . 由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在 [50,60]之間的頻數(shù)為 2，所以全班人數(shù)為 ＝ 25. (2)分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)為 25－ 2－ 7－ 10－ 2＝ 4，頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高為 425247。10＝ . B 級 能力突破 (時間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (20xx哈爾濱模擬 )一個樣本容量為 10 的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為 0的等差數(shù)列 {an}，若 a3＝ 8，且 a1， a3， a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是 ( )． A． 13,12 B． 13,13 C． 12,13 D． 13,14 解析 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d(d≠ 0)， a3＝ 8， a1a7＝ (a3)2＝ 64， (8－ 2d)(8＋ 4d)＝ 64， (4－ d)(2＋ d)＝ 8,2d－ d2＝ 0，又 d≠ 0，故 d＝ 2，故樣本數(shù)據(jù)為4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，樣本的平均數(shù)為 ?4＋ 22? 510 ＝ 13，中位數(shù)為 12＋ 142 ＝13，故選 B. 答案 B 2． (20xx江西 )樣本 (x1， x2， ? ， xn)的平均數(shù)為 x ，樣本 (y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù)為 y ( x ≠ y )．若樣本 (x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù) z ＝ α x ＋(1－ α) y ，其中 0α12，則 n， m 的大小關(guān)系為 ( )． A． nm B． nm C． n＝ m D．不能確定 解析 依題意得 x1＋ x2＋ ? ＋ xn＝ n x ， y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ m y ， x1＋ x2＋ ? ＋ xn＋ y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ (m＋ n) z ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ n x ＋ m y ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ ??? n＝ ?m＋ n?α，m＝ ?m＋ n??1－ α?， 于是有 n－ m＝ (m＋ n)[α－ (1－ α)]＝ (m＋ n)(2α－ 1)， ∵ 0α12， ∴ 2α－ 10， ∴ n－ m0，即 mn. 答案 A 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3． (20xx沈陽質(zhì)檢 )沈陽市某高中有高一學(xué)生 600 人，高二學(xué)生 500 人，高三學(xué)生550 人，現(xiàn)對學(xué)生關(guān)于消防安全知識了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個容量為 n 的樣本，其中高三學(xué)生有 11 人，則 n 的值等于 ________． 解析 由 n600＋ 500＋ 550＝ 11550，得 n＝ 33(人 )． 答案 33 4． (20xx北京西城一模 )某年級 120 名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?13秒與 18 秒之間．將測試結(jié)果分成 5 組： [13,14)， [14,15)， [15,16)， [16,17)， [17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．如果從左到右的 5 個小矩形的面積之比為1∶ 3∶ 7∶ 6∶ 3，那么成績在 [16,18]的學(xué)生人數(shù)是 ____________． 解析 成績在 [16,18]的學(xué)生的人數(shù)所占比例為 6＋ 31＋ 3＋ 7＋ 6＋ 3＝ 920，所以成績在 [16,18]的學(xué)生人數(shù)為 120 920＝ 54. 答案 54 三、解答題 (共 25 分 ) 5． (12 分 )汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從 20xx 年開始，對 CO2排放量超過 130 g/km 的 MI 型新車進(jìn)行懲罰 (視為排放量超標(biāo) )，某檢測單位對甲、乙兩類 MI 型品牌的新車各抽取了 5 輛進(jìn)行 CO2排放量檢測，記錄如下 (單位： g/km)： 甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x Y 160 經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品 牌車 CO2排放量的均值為 x 乙 ＝ 120 g/km. (1)求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差； (2)若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車 CO2的排放量穩(wěn)定性好，求 x 的取值范圍． 解 (1)甲類品牌汽車的 CO2排放量的平均值 x 甲 ＝ 80＋ 110＋ 120＋ 140＋ 1505 ＝120(g/km)， 甲類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2甲 ＝ ?80－ 120?2＋ ?110－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?140－ 120?2＋ ?150－ 120?25 ＝ 600. (2)由題意知乙類品牌汽車的 CO2 排放量的平均值 x 乙 ＝ 100＋ 120＋ x＋ y＋ 1605＝ 120(g/km)，得 x＋ y＝ 220，故 y＝ 220－ x，所以乙類品牌汽車的 CO2排放量的方差 s2乙 ＝ ?100－ 120?2＋ ?120－ 120?2＋ ?x－ 120?2＋ ?220－ x－ 120?2＋ ?160－ 120?25 ， 因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車 CO2的排放量穩(wěn)定性好，所以 s2乙 s2甲 ，解得90x130. 6． (13 分 )已知某單位有 50 名職工，現(xiàn)要從中抽取 10 名 職工，將全體職工隨機(jī)按 1～ 50 編號，并按編號順序 平均分成 10 組，按各組內(nèi)抽取的編號依次增加 5 進(jìn)行 系統(tǒng)抽樣． (1) 若第 5 組抽出的號碼為 22，寫出所有被抽出職工 (2) 的號碼； (2)分別統(tǒng)計這 10 名職工的體重 (單位：公斤 )，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方差； (3)在 (2)的條件下，從這 10 名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于 73 公斤 (≥ 73公斤 )的職工，求體 重為 76 公斤的職工被抽取到的概率． 解