【正文】 上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)處理如下： 年份－ 20xx － 4 － 2 0 2 4 需求量－ 257 － 21 － 11 0 19 29 對處理的數(shù)據(jù)，容易算得 x ＝ 0， y ＝ ， b^＝ ?－ 4? ?－ 21?＋ ?－ 2? ?－ 11?＋ 2 19＋ 4 29－ 5 0 ?－ 4?2＋ ?－ 2?2＋ 22＋ 42－ 5 02 ＝ 26040 ＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ ，知所求回歸直線方程為 y^－ 257＝ (x－ 2 006)＋ . 即 y^＝ (x－ 2 006)＋ . (2)利用所求得的直線方程，可預(yù)測 20xx 年的糧食需求量為 (2 012－ 2 006)＋ ＝ 6＋ ＝ (萬噸 )． [反思 ] 求回歸直線方程時，重點考查的是計算能力．若本題用一般法去解，計算更繁瑣 (如年份、需求量不做如上處理 )，所以平時訓(xùn)練時遇到數(shù)據(jù)較大的要考慮有沒有更簡便的方法解決． 【試一試】 某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到如下圖所示的散點圖，其中 x 表示零件的個數(shù)， y 表示加工時間，則 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程是 ________． 解析 x ＝ 2＋ 3＋ 4＋ 54 ＝ ， y ＝ ＋ 3＋ 4＋ ＝ ， 所以 b^＝?i＝ 14xiyi－ 4 x y?i＝ 14x2i－ 4 x 2 ＝ 2 ＋ 3 3＋ 4 4＋ 5 － 4 222＋ 32＋ 42＋ 52－ 4 ＝ ＝ . a^＝ y － b^ x ＝ － ＝ ， 所以線性回歸方程為 y^＝ ＋ . 答案 y^＝ ＋ 對應(yīng)學(xué)生331 A 級 基礎(chǔ)演練 (時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小 題 5 分，共 20 分 ) 1． (20xx陜西 )甲乙兩人一起去游 “ 20xx 西安世園會 ” ，他們約定，各自獨立地從 1 到 6 號景點中任選 4 個進(jìn)行游覽，每個景點參觀 1 小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 ( )． A. 136 C. 536 解析 若用 {1,2,3,4,5,6}代表 6 處景點，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為 {1,1}、 {1,2}、{1,3}、 ? 、 {6,6}，共 36 種；其中滿足題意的 “ 同一景點相遇 ” 包括 {1,1}、 {2,2}、{3,3}、 ? 、 {6,6}，共 6 個基本事件，所以所求的概率值為 16. 答案 D 4． (20xx遼寧 )調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x(單位：萬元 )和年飲食支出 y(單位：萬元 )，調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性 相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y 對 x 的線性回歸方程： y^＝ ＋ ，家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加 ________萬元． 解析 由題意，知其回歸系數(shù)為 ，故家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加 萬元． 答案 考向一 線性相關(guān)關(guān)系的判斷 【例 1】 ?下表是某小賣部 6 天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比 表 . 氣溫 /℃ 26 18 13 10 4 － 1 杯數(shù) y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖； (2)你能依據(jù)散點圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？ (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系． [審題視點 ] (1)用 x 軸表示氣溫， y 軸表示杯數(shù)，逐一畫點； (2)根據(jù)散點圖分析兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 解 (1)畫出的散點圖如圖． (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān)，圖中的各點大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系． (3)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等．如圖． 利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法．在散點圖中如果所 有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系．即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 【訓(xùn)練 1】 5 個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 A B C D E 學(xué)科 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系． 解 把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點 (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， 5)，作出散點圖如圖． 從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績增大時，物理成績也在由小變大，即它們正相關(guān)．考向二 線性回歸方程及其應(yīng)用 【例 2】 ?(20xx陜西 )從甲乙兩個城市分別隨機(jī)抽取 16 臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 (如圖所示 )．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為 x甲 ， x 乙 ，中位數(shù)分別為 m 甲 ， m 乙 ，則 ( )． A. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 C. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 解析 x 甲 ＝ 116(41＋ 43＋ 30＋ 30＋ 38＋ 22＋ 25＋ 27＋ 10＋ 10＋ 14＋ 18＋ 18＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 34516 ， x 乙 ＝ 116(42＋ 43＋ 48＋ 31＋ 32＋ 34＋ 34＋ 38＋ 20＋ 22＋ 23＋ 23＋ 27＋ 10＋ 12＋ 18)＝ 45716 . ∴ x 甲 x 乙． 又 ∵ m 甲 ＝ 20， m 乙 ＝ 29， ∴ m 甲 m 乙． 答案 B 方法優(yōu)化 15——快速掌握抽樣方法的 技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，考查分層抽樣方法的題目較多，其次是系統(tǒng)抽樣．題型多為選擇題、填空題，有的與統(tǒng)計的其它知識或概率綜合考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較低． 【真題探究】 ? (20xx江蘇 )某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 3∶3∶ 4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取 ________名學(xué)生． [教你審題 ] 一審 等比例性質(zhì)； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級抽?。?50 310＝ 15(名 )學(xué)生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx福建 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價 x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) [審題視點 ] (1)分別計算 x ， y ，利用線性回歸方程過點 ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關(guān)于單價 x 的二次函數(shù)，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時， L 取得最大值． 故當(dāng)單 價定為 元時，工廠可獲得最大利潤． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)計算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計算回歸系數(shù) a^， b^； (4)寫出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓(xùn)練 2】 (20xx遼寧 )從 1,2,3,4,5 中任取 2 個不同的數(shù)，事件 A＝ “ 取到的 2 個數(shù)之和為偶數(shù) ” ，事件 B＝ “ 取到的 2 個數(shù)均為偶數(shù) ” ，則 P(B|A)等于 ( )． 解析 P(A)＝ C23＋ C22C25 ＝410＝25， P(A∩ B)＝C22C25＝110. 由條件概率計算公式，得 P(B|A)＝ P?A∩ B?P?A? ＝110410＝ 14. 答案 B 5． (20xx東北三校聯(lián)考 )某學(xué)生對其親屬 30 人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用下圖所示的莖葉圖表示 30 人的飲食指數(shù)． (說明：圖中飲食指數(shù)低于 70 的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于 70 的人，飲食以肉類為主 ) (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列 2 2 列聯(lián)表： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 50 歲以上 合計 (2)能否有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析． 解 (1)2 2 列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計 50 歲以下 4 8 12 50 歲以上 16 2 18 合計 20 10 30 (2)因為 K2＝ 30 ?8－ 128?212 18 20 10＝ 10， 所以有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． 方法優(yōu)化 16——求回歸直線方程的方法與技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，獨立性檢驗和回歸分析的考查主要是這兩種知識的簡單應(yīng)用，以計算和判斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等． 【真題探究】 ? (20xx西安質(zhì)檢 )對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個，中位 數(shù)為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45，故眾數(shù)為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx天津 )某地區(qū)有小學(xué) 150 所，中學(xué) 75 所，大學(xué) 25 所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 30 所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 ________所學(xué)校，中學(xué)中抽取 ________所學(xué)校． 解析 根據(jù)分層抽樣的特 點求解．從小學(xué)中抽取 30 150150＋ 75＋ 25＝ 18 所學(xué)校；從中學(xué)中抽取 30 75150＋ 75＋ 25＝ 9 所學(xué)校． 答案 18 9 考向二 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 【例 2】 ?某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐，對 [25,55]歲的人群隨機(jī)抽取 n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為 “ 低碳族 ” ，否則稱為 “ 非低碳族 ” ，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 第四組 [40,45) a 第五組 [45,50) 30 第六組 [50,55] 15 續(xù)表 (1)補(bǔ)全頻率分布直方圖； (2)求 n， a， p 的值． [審題視點 ] (1)要補(bǔ)全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計算出第二組的頻率； (2)靈活運用關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率 ， 頻數(shù)樣本容量 ＝頻率求解． 解 (1)第二組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 5＝ ，所以小長方形的高為 ＝ ． (2)第一組的人數(shù)為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數(shù)為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數(shù)為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來檢驗該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱