【正文】 學(xué)生，丙校有 1 800名學(xué)生．為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量為 90 的樣本，應(yīng)該在這三 校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是 ( )． A． 30,30,30 B． 30,45,15 C． 20,30,10 D． 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600＋ 5 400＋ 1 800＝ 1120，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為 3 600 1120＝ 30,5 400 1120＝ 45,1 800 1120＝ 15. 答案 B 3 ． 10 名 工 人 某 天 生 產(chǎn) 同 一 零 件 ， 生 產(chǎn) 的 件 數(shù) 分 別 是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天 10 名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是( )． A． 14 B． 16 C． 15 D． 17 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,15＋ 152 ＝ 15. 答案 C 4． (20xx 第十一篇 統(tǒng)計與概率 第 1 講 抽樣方法與總體分布的估計 【 20xx 年高考會這樣考】 1．考查三種抽樣方法及其應(yīng)用． 2．考查頻率分布直方圖中的相關(guān)計算 (求解頻率、頻數(shù)等 )． 3．考查用樣本估計總體中的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 (平均數(shù)、方差、標準差等 )． 對應(yīng)學(xué)生162 考點梳理 1． 三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽樣 各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (1)當總體很大或 不便獲得時，可以用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布，我們把反映樣本頻率分布的表格稱為頻率分布表．繪制頻率分布表的步驟為：① 求極差 ； ② 決定組距和組數(shù) ； ③ 將數(shù)據(jù)分組 ； ④ 列頻率分布表． (2)利用直方圖反映樣本的頻率分布，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖．畫頻率分布直方圖的一般步驟是： ① 繪制頻率分布表； ② 作直角坐標系，把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距； ③ 在上面標出的各點中，分別以相鄰兩點為端點的線段為底作矩形，它的高等于該組的 頻率組距 .此時，每個矩形的面積恰好就是該組的頻率，顯然所有矩 形的面積之和為 1. 3． 樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 x ＝ 1n(x1＋ x2＋ ? ＋ xn)． (4)方差與標準差 方差： s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]． 標準差： s＝ 1n[?x1－ x ?2＋ ?x2－ x ?2＋ ? ＋ ?xn－ x ?2] . 一條規(guī)律 三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．若樣本容量為 n，總體的個體數(shù)為 N，則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是 nN. 兩個特性 (1)在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量，各小組頻率的和等于 1； (2)在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率 /組距，每個小矩形的面積等于該組的頻率，所有小矩形的面積之和為 1. 考點自測 1． (20xx山東 )采用系統(tǒng)抽樣方法從 960 人中抽取 32 人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機編號為 1,2， ? ， 960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為 32 人中，編號落入?yún)^(qū)間 [1,450]的人做問卷 A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷 B，其余的人做問卷 ，做問卷 B 的人數(shù)為( )． A． 7 B． 9 C． 10 D． 15 解析 從 960 人中用系 統(tǒng)抽樣方法抽取 32 人，則每 30 人抽取一人，因為第一組抽到的號碼為 9，則第二組抽到的號碼為 39，第 n 組抽到的號碼為 an＝ 9＋30(n－ 1)＝ 30n－ 21，由 451≤ 30n－ 21≤ 750，得 23615 ≤ n≤ 25710 ，所以 n＝ 16,17， ? ，25，共有 25－ 16＋ 1＝ 10 人，選 C. 答案 C 2． (20xx西北工大附中測試 )如圖是容量為 150 的樣本的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落在 [6,10)內(nèi)的頻數(shù)為 ( )． A． 12 B． 48 C． 60 D． 80 解析 落在 [6,10)內(nèi)的頻率為 4＝ ，故頻數(shù)為 150＝ 48. 答案 B 5． (20xx天津 )某地區(qū)有小學(xué) 150 所，中學(xué) 75 所，大學(xué) 25 所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 30 所學(xué)校對學(xué)生進行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 ________所學(xué)校，中學(xué)中抽取 ________所學(xué)校． 解析 根據(jù)分層抽樣的特 點求解．從小學(xué)中抽取 30 150150＋ 75＋ 25＝ 18 所學(xué)校；從中學(xué)中抽取 30 75150＋ 75＋ 25＝ 9 所學(xué)校． 答案 18 9 考向二 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 【例 2】 ?某班同學(xué)利用國慶節(jié)進行社會實踐，對 [25,55]歲的人群隨機抽取 n人進行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為 “ 低碳族 ” ，否則稱為 “ 非低碳族 ” ，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 第四組 [40,45) a 第五組 [45,50) 30 第六組 [50,55] 15 續(xù)表 (1)補全頻率分布直方圖； (2)求 n， a， p 的值． [審題視點 ] (1)要補全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計算出第二組的頻率； (2)靈活運用關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率 ， 頻數(shù)樣本容量 ＝頻率求解． 解 (1)第二組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 5＝ ，所以小長方形的高為 ＝ ． (2)第一組的人數(shù)為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數(shù)為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數(shù)為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來檢驗該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱坐標是頻率組距 ，而不是頻率． (2)由頻率分布直方圖進行相關(guān)計算時，需掌 握下列關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率． 【訓(xùn)練 2】 (20xx陜西 )從甲乙兩個城市分別隨機抽取 16 臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 (如圖所示 )．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為 x甲 ， x 乙 ，中位數(shù)分別為 m 甲 ， m 乙 ，則 ( )． A. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 C. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 解析 x 甲 ＝ 116(41＋ 43＋ 30＋ 30＋ 38＋ 22＋ 25＋ 27＋ 10＋ 10＋ 14＋ 18＋ 18＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 34516 ， x 乙 ＝ 116(42＋ 43＋ 48＋ 31＋ 32＋ 34＋ 34＋ 38＋ 20＋ 22＋ 23＋ 23＋ 27＋ 10＋ 12＋ 18)＝ 45716 . ∴ x 甲 x 乙． 又 ∵ m 甲 ＝ 20， m 乙 ＝ 29， ∴ m 甲 m 乙． 答案 B 方法優(yōu)化 15——快速掌握抽樣方法的 技巧 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，考查分層抽樣方法的題目較多，其次是系統(tǒng)抽樣．題型多為選擇題、填空題，有的與統(tǒng)計的其它知識或概率綜合考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較低． 【真題探究】 ? (20xx徐州模擬 )從某小學(xué)隨機抽取 100 名同學(xué)，這些同學(xué)身高都不低于 100 厘米，將他們的身高 (單位：厘米 )數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖 (如圖 )．現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在 [120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué) 生中，選取 18 人參加一項活動，則從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________． 解析 由 (＋ ＋ ＋ ＋ a) 10＝ 1，得 a＝ ，因此[120,130)， [130,140)， [140,150]三組學(xué)生人數(shù)分別為： 100＝ 30, 100 ＝ 20, 100＝ 10，所以，從身高在 [140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為1030＋ 20＋ 10 18＝ 3. 答案 3 A 級 基礎(chǔ)演練 (時間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1.(20xx南昌模擬 )小波一星期的總開支分布如圖 (a)所示，一星期的食品開支如圖 (b)所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 ( )． A． 30% B． 10% C． 3% D．不能確定 解析 由題圖 (b)可知小波一星期的食品開支共計 300 元，其中雞蛋開支 30元．又由題圖 (a)知，一周的食品開支占總開支的 30%，則可知一周總開支為 1 000 元，所以雞蛋開支占總開支的百分比為 301 000 100%＝ 3%. 答案 C 3． (20xx安徽 )甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 5 次，兩人成績的條 形統(tǒng)計圖如圖所示，則 ( )． A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù) B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù) C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差 D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差 解析 由題意可知，甲的成績?yōu)?4,5,6,7,8，乙的成績?yōu)?5,5,5,6,、乙的成績的平均數(shù)均為 6， A 錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為 6,5， B 錯；甲、乙的成績的方差分別為 15 [(4－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (7－ 6)2＋ (8－ 6)2]＝ 2， 15 [(5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (5－ 6)2＋ (6－ 6)2＋ (9－ 6)2]＝ 125 ， C 對；甲、乙的成績的極差均為 4， D 錯． 答案 C 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (20xx蘇州一中月考 )某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在 1 000 名學(xué)生中隨機抽取 200 名，并統(tǒng)計這 200 名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖 (如圖 )．根據(jù)頻率分布直方圖可估計這 1 000 名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)是 ________． 解析 低于 60 分學(xué)生所占頻率為 (＋ ＋ ) 10＝ ，故低于 60分的學(xué)生人數(shù)為 1 000 ＝ 200，所以不低于 60 分的學(xué)生人數(shù)為 1 000－ 200 ＝ 800. 答案 800 三、解答題 (共 25 分 ) 7． (12 分 )某政府機關(guān)有在編人員 100 人，其中副處級以上干部 10 人，一般干部70 人，工人 20 人．上級機關(guān)為了了解政府機構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容量為 20 的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽?。? 解 用分層抽樣方法抽取． 具體實施抽取如下： (1)∵ 20∶ 100＝ 1∶ 5， ∴ 105 ＝ 2， 705 ＝ 14， 205 ＝ 4， ∴ 從副處級以上干部中抽取 2 人，從一般干部中抽取 14 人，從工人中抽取 4人． (2)因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按 1～ 10 編號與 1～ 20編號，然后采用抽簽法分別抽取 2 人和 4 人；對一般干部 70 人采用 00,01,02， ? ，69 編號，然后用隨機數(shù)表法抽取 14 人． (3)將 2 人， 4 人， 14 人的編號匯合在一起就取得了容量為 20 的樣本． 8． (13 分 )(20xx10＝ . B 級 能力突破 (時間： 30 分鐘 滿分： 45 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 1． (20xx江西 )樣