【正文】 為________．解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，兩式左右兩邊分別相減得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由題意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)．答案　an＝8．(2013貴陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝(　　)．A．－10 B．6 C．10 D．14解析　a3＝S3－S2＝232－1－(222－1)＝10.答案　C4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是(　　)．A．2n－1 －1C．n2 D．n解析　法一　(構(gòu)造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列．且＝＝1，∴an＝n.法二　(累乘法)：n≥2時，＝，＝.…＝，＝，兩邊分別相乘得＝n，又因為a1＝1，∴an＝n.答案　D5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝(　　)．A．2n－1 －1 －1 D.解析　∵Sn＝2an＋1，∴當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an，∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即＝(n≥2)，又a2＝，∴an＝n－2(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a1＝1≠－1＝，∴an＝∴Sn＝2an＋1＝2n－1＝n－1.答案　B二、填空題6．(2013[na1＋d]＝.令f(x)＝，x＞0，則f′(x)＝x(3x－20)，由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x＝時取得最小值，檢驗n＝6時，6S6＝－48，而n＝7時，7S7＝－49，故nSn的最小值為－49.答案?。?9[反思感悟] (1)本題求出的nSn的表達(dá)式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的三次函數(shù)，因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解．(2)易錯分析：由于n為正整數(shù)，因而不能將代入求最值，這是考生容易忽略而產(chǎn)生錯誤的地方．【自主體驗】1．設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是(　　)．A. B. C．4 D．0解析　∵an＝－32＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時，an最大，最大為0.答案　D2．已知{an}是遞增數(shù)列，且對于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是________．解析　設(shè)f(n)＝an＝n2＋λn，其圖象的對稱軸為直線n＝－，要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足－＜，即λ＞－3.答案　(－3，＋∞)對應(yīng)學(xué)生用書P285基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2014＝…，∴an＝.答案　 　1．求數(shù)列通項或指定項，通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法．2．由Sn求an時，an＝注意驗證a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要單獨列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式．3．已知遞推關(guān)系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握．一般有三種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求數(shù)列的通項公式．　　　　　　　　　　　　　　　　　 思想方法4——用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題【典例】 (2013an＝0(n＝1,2,3，…)，則它的通項公式an＝________.解析　∵(n＋1)a＋an＋1.(2)將數(shù)列統(tǒng)一為，…，對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項公式為＝n2＋1，因此可得數(shù)列的一個通項公式為an＝.考點二　由an與Sn的關(guān)系求通項an【例2】 (20133n－1.()[感悟第五篇　數(shù)　列A第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法[最新考綱]1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).知 識 梳 理1．?dāng)?shù)列的概念(1)數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，通常也叫做首項．(2)數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．(3)數(shù)列的前n項和在數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項和．2．?dāng)?shù)列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表達(dá)n與f(n)的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(n，f(n))畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用通項公式表達(dá)的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表達(dá)數(shù)列的方法(2)數(shù)列的函數(shù)特征：上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示方法，數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函數(shù)an＝f(n))當(dāng)自變量由小到大依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．*3．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限單調(diào)性遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期性?n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，an＋k＝an若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝辨 析 感 悟1．對數(shù)列概念的認(rèn)識(1)數(shù)列1,2,3,4,5,6與數(shù)列6,5,4,3,2,1表示同一數(shù)列．()(2)1,1,1,1，…不能構(gòu)成一個數(shù)列．()2．對數(shù)列的性質(zhì)及表示法的理解(3)(教材練習(xí)改編)數(shù)列1,0,1,0,1,0，…的通項公式，只能是an＝.()(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．()(5)(2013開封模擬改編)已知Sn＝3n＋1，則an＝2提升]1．一個區(qū)別　“數(shù)列”與“數(shù)集”數(shù)列與數(shù)集都是具有某種屬性的數(shù)的全體，數(shù)列中的數(shù)是有序的，而數(shù)集中的元素是無序的，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，而數(shù)集中的元素是互異的，如(1)、(2)．2．三個防范　一是注意數(shù)列不僅有遞增、遞減數(shù)列，還有常數(shù)列、擺動數(shù)列，如(4)．二是數(shù)列的通項公式不唯一，如(3)中還可以表示為an＝三是已知Sn求an時，一定要驗證n＝1的特殊情形，如(5).學(xué)生用書第79頁考點一　由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項【例1】 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，…；(3)，2，8，…；(4)5,55,555,5 555，….解　(1)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負(fù)，故通項公式必含有因式(－1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n(6n－5)．(2)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，…，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積．知所求數(shù)列的一個通項公式為an＝.(3)數(shù)列的各項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，…，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an＝.(4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項為10n－1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)．規(guī)律方法 根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項的變化特征；拆項后的各部分特征；符號特征．應(yīng)多進(jìn)行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想．【訓(xùn)練1】 根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)，－，－，…；(2)，1，….解　(1)各項的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,－，原數(shù)列可化為－，－，…，因此可得數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n廣東卷節(jié)選)設(shè)數(shù)列{an}＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解　(1)依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)由題意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，所以當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，故數(shù)列是首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝1＋(n－1)1＝n，所以an＝n2.規(guī)律方法 給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.【訓(xùn)練2】 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解　(1)令n＝1時，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2時，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因為當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1也滿足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，兩式相減得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因為a1＋2＝3≠0，所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列．所以an＋2＝32n－1，∴an＝32n－1－2，當(dāng)n＝1時也成立，所以an＝32n－1－2.學(xué)生用書第80頁考點三　由遞推公式求數(shù)列的通項公式【例3】 在數(shù)列{an}中，(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________；(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，則通項an＝________.審題路線　(1)變形為an＋1－an＝n＋1?用累加法，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)?得出an.(2)變形為an＋1＋1＝3(an＋1)?再變形為＝?用累乘法或迭代法可求an.解析　(1)由題意得，當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1.(2)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，法一?。?，＝3，＝3，…，＝＝3n.因為a1＝1，所以＝3n，即an＋1＝23n－1(n≥1)，所以an＝23n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故an＝23n－1－1.法二　由＝3，即an＋1＋1＝3(an＋1)，當(dāng)n≥2時，an＋1＝3(an－1＋1)，∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝3n－1(a1＋1)＝23n－1，∴an＝23n－1－1；當(dāng)n＝1時，a1＝1＝231－1－1也滿足．∴an＝23n－1－1.答案　(1)＋1　(2)23n－1－1規(guī)律方法 數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項．【訓(xùn)練3】 設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋an＋1an－na＝0，∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝，∴…新課標(biāo)全國Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．解析　由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)，知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.兩式相減，得a15－a10＝＝5d，所以d＝，a1＝－3.所以nSn＝n深圳中學(xué)模擬)數(shù)列0，…的一個通項公式為(　　)．A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N*)解析　將0寫成，觀察數(shù)列中每一項的分子、分母可知，分子為偶數(shù)列，可表示為2(n－1)，n∈N*；分母為奇數(shù)列，可表示為2n－1，n∈N*，故選C.答案　C2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則＝(　　)．A. B. C. D．30解析　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5(5＋1)＝30.答案　D3．(2014蚌埠模擬)數(shù)列{an}的通項公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前____