【正文】 331 A 級(jí) 基礎(chǔ)演練 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小 題 5 分，共 20 分 ) 1． (20xx江西 )樣本 (x1， x2， ? ， xn)的平均數(shù)為 x ，樣本 (y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù)為 y ( x ≠ y )．若樣本 (x1， x2， ? ， xn， y1， y2， ? ， ym)的平均數(shù) z ＝ α x ＋(1－ α) y ，其中 0α12，則 n， m 的大小關(guān)系為 ( )． A． nm B． nm C． n＝ m D．不能確定 解析 依題意得 x1＋ x2＋ ? ＋ xn＝ n x ， y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ m y ， x1＋ x2＋ ? ＋ xn＋ y1＋ y2＋ ? ＋ ym＝ (m＋ n) z ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ n x ＋ m y ＝ (m＋ n)α x ＋ (m＋ n)(1－ α) y ， ∴ ??? n＝ ?m＋ n?α，m＝ ?m＋ n??1－ α?， 于是有 n－ m＝ (m＋ n)[α－ (1－ α)]＝ (m＋ n)(2α－ 1)， ∵ 0α12， ∴ 2α－ 10， ∴ n－ m0，即 mn. 答案 A 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3． (20xx南昌模擬 )小波一星期的總開支分布如圖 (a)所示，一星期的食品開支如圖 (b)所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為 ( )． A． 30% B． 10% C． 3% D．不能確定 解析 由題圖 (b)可知小波一星期的食品開支共計(jì) 300 元，其中雞蛋開支 30元．又由題圖 (a)知，一周的食品開支占總開支的 30%，則可知一周總開支為 1 000 元，所以雞蛋開支占總開支的百分比為 301 000 100%＝ 3%. 答案 C 3． (20xx西北工大附中測(cè)試 )如圖是容量為 150 的樣本的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落在 [6,10)內(nèi)的頻數(shù)為 ( )． A． 12 B． 48 C． 60 D． 80 解析 落在 [6,10)內(nèi)的頻率為 4＝ ，故頻數(shù)為 150＝ 48. 答案 B 5． (20xx長(zhǎng)沙模擬 ) 如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為 ________． (注：方差 s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]，其 中 x 為 x1， x2， ? ，xn 的平均數(shù) ) 解析 x ＝ 15(8＋ 9＋ 10＋ 13＋ 15)＝ 11， s2＝ 15 (9＋ 4＋ 1＋ 4＋ 16)＝ . 答案 考向一 抽樣方法 【例 1】 ?從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車中抽取 80 輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫出抽樣過程． [審題視點(diǎn) ] 因?yàn)?802 不能整除 80，為了保證 “ 等距 ” 分段，應(yīng)先剔除 2 個(gè)個(gè)體． 解 由于總體及樣本中的個(gè)體數(shù)較多，且無明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方法，步驟如下： 第一步：先從 802 輛轎車中剔除 2 輛轎車 (剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法 )； 第二步：將余下的 800 輛轎車編號(hào)為 1,2， ? ， 800，并均勻分成 80 段，每段含 k＝ 80080 ＝ 10 個(gè)個(gè)體； 第三步：從第 1 段即 1,2， ? ， 10 這 10 個(gè)編號(hào)中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)編號(hào) (如 5)作為起始編號(hào)； 第四步：從 5 開始，再將編號(hào)為 15,25， ? ， 795 的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量為 80 的樣本． 解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟為： (1)分段的方法應(yīng)依據(jù)抽取的樣本容量而定，即根據(jù)定義每段抽取一個(gè)樣本． (2)起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了． 【訓(xùn)練 1】 (20xx成都模擬 )交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員 (簡(jiǎn)稱駕駛員 )對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為 N，其中甲社區(qū)有駕駛員 96 人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取 駕駛員的人數(shù)分別為 12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù) N 為 ( )． A． 101 B． 808 C． 1 212 D． 2 012 解析 甲社區(qū)駕駛員的抽樣比例為 1296＝ 18，四個(gè)社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比例為 12＋ 21＋ 25＋ 43N ＝ 101N ，由 101N ＝ 18，得 N＝ 808. 答案 B 4． (20xx沈陽(yáng)質(zhì)檢 )沈陽(yáng)市某高中有高一學(xué)生 600 人，高二學(xué)生 500 人，高三學(xué)生550 人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為 n 的樣本，其中高三學(xué)生有 11 人，則 n 的值等于 ________． 解析 由 n600＋ 500＋ 550＝ 11550，得 n＝ 33(人 )． 答案 33 4． (20xx新課標(biāo)全國(guó) )在一組樣本數(shù)據(jù) (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)(n≥ 2， x1，x2， ? ， xn 不全相等 )的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)都在直線 y＝ 12x＋ 1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為 ( )． A．－ 1 B． 0 D． 1 解析 樣本點(diǎn)都在直線上時(shí)，其數(shù)據(jù)的估計(jì)值與真實(shí)值是相等的，即 yi＝ y^i，代入相關(guān)系數(shù)公式 r＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2＝ 1. 答案 D 2． (20xx南通模擬 )某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12 月 1 日 12 月 2日 12 月 3日 12 月 4日 12 月 5日 溫差 x/℃ 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y/顆 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． (1)求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^. 解 (1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件 A，因?yàn)閺?5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共有10 種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有 4種， 所以 P(A)＝ 1－ 410＝ 35. (2)由數(shù)據(jù)，求得 x ＝ 12， y ＝ 27. 11 25＋ 13 30＋ 12 26＝ 977,112＋ 132＋ 122＝ 434， 由公式，求得 b^＝ 52， a^＝ y － b^ x ＝－ 3. 所以 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 y^＝ 52x－ 3. 6． (13 分 )有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于 85 分為優(yōu)秀， 85 分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表 . 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 105 已知從全部 105 人中隨機(jī)抽取 1 人為優(yōu)秀的概率為 27. (1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按 95%的可靠性要求，能否認(rèn)為 “ 成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ” ； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的 10 名學(xué)生從2 到 11 進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)．試求抽到 6 號(hào)或 10 號(hào)的概率． 附 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?， P(K2≥ k) k 解 (1) 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合計(jì) 30 75 105 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到 k＝ 105 ?10 30－ 20 45?255 50 30 75 ≈ ＞ ， 因此有 95%的把握認(rèn)為 “ 成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系 ” ． (3)設(shè) “ 抽到 6 號(hào)或 10 號(hào) ” 為事件 A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 (x， y)，則所有的基本事件有 (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 ? 、 (6,6)，共 36 個(gè)． 事 件 A包含的基本事件有 (1,5)， (2,4)， (3,3)， (4,2)， (5,1)， (4,6)， (5,5)， (6,4)，共 8 個(gè)， ∴ P(A)＝ 836＝ 29. 第 3 講 隨機(jī)事件的概率 【 20xx 年高考會(huì)這樣考】 1．考查互斥事件、對(duì)立事件的概率求法． 2．考查條件概率的求法． 考點(diǎn)梳理 1． 頻率與概率 (1)在相同的條件 S 下重復(fù) n 次試驗(yàn)，觀察某一事件 A 是否出現(xiàn)，稱 n 次試驗(yàn)中事 件 A出現(xiàn)的次數(shù) nA為事件 A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A出現(xiàn)的比例 fn(A)＝ nAn為事件 A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的 頻率 fn(A)穩(wěn)定在某個(gè) 常數(shù) 上，把這個(gè) 常數(shù) 記作 P(A)，稱為事件 A 的概率，簡(jiǎn)稱為 A 的概率． 2． 事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義 符號(hào)表示 包含關(guān)系 如果事件 A發(fā)生，則事件 B 一定發(fā)生，這時(shí)稱事件 B 包含 事件 A(或稱事件 A包含于事件 B) B? A(或 A? B) 相等關(guān)系 若 B? A且 A? B A＝ B 并事件 (和事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生或事件 B 發(fā)生，稱此事件為事件 A與事件 B 的 并事件 (或和事件 ) A∪ B(或 A＋ B) 交事件 (積事件 ) 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng) 事件 A發(fā)生 且 事件 B 發(fā)生 ，則稱此事件為事件 A與事件 B 的交事件 (或A∩ B(或 AB) 積事件 ) 互斥事件 若 A∩ B 為不可能事件，則稱事件 A與事件 B 互斥 A∩ B＝ ? 對(duì)立事件 若 A∩ B 為不可能事件， A∪ B 為必然事件，那么稱事件 A與事件 B 互為對(duì)立事件 A∩ B＝ ? P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)＝ 1 對(duì)于任何兩個(gè)事件 A 和 B，在已知事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的概率叫 做 條件概率 ，用符號(hào) P(B|A)來表示，其公式為 P(B|A)＝ P?AB?P?A? . (1)在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A中基本事件的個(gè)數(shù)，則 P(B|A)＝ n?AB?n?A? . (2) 如果 B 和 C 是兩互斥事件，則 P(B∪ C|A)＝ P(B|A)＋ P(C|A)． 4． 概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍： 0≤ P(A)≤ 1. (2)必然事件的概率 P(E)＝ 1. (3)不可能事件的概率 P(F)＝ 0. (4)互斥事件概率的加法公式 ① 如果事件 A與事件 B 互斥 ， 則 P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)． ② 若事件 B 與事件 A互為對(duì)立事件，則 P(A)＝ 1－ P(B)． 【助學(xué) 廣州月考 )某射手在一次射擊中，射中 10 環(huán)， 9 環(huán)， 8 環(huán)的概率分別是 ， ,，則此射手在一次射 擊中不夠 8 環(huán)的概率為 ( )． A． B． C． D． 解析 一次射擊不夠 8 環(huán)的概率為： 1－ － － ＝ . 答案 A 3． (20xx陜西 )設(shè) (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)是變量 x和 y 的 n 個(gè)樣本點(diǎn)，直線 l 是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線 (如圖 )，以下結(jié)論正確的是 ( )． A．直線 l 過點(diǎn) ( x ， y ) B． x 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 l 的斜率 C． x 和 y 的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 D．當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，分布在 l 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 解析 由樣本的中心 ( x ， y )落在回歸直線上可知 A 正確； x 和 y 的相 關(guān)系數(shù)表示為 x 與 y 之間的線性相關(guān)程度，不表示直線 l 的斜率，故 B 錯(cuò)； x 和 y 的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－ 1 到 1 之間，故 C 錯(cuò)；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)并不絕對(duì)平均，即無論樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故 D 錯(cuò)． 答案 A 4． (20xx湖南 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù) 一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(