20xx屆高三數(shù)學一輪復習測試：集合與函數(shù)(完整版)
【正文】 又曲線 y＝ f(x)在 (－ 1， f(－ 1))處的切線垂直于 y 軸，故 f′ (－ 1)＝ 0， 即－ 2a＋ b＝ 0，因此 b＝ 2a. (2)由 (1)得 bc＝ 2a(2a＋ 3)＝ 4?? ??a＋ 34 2－ 94. 故當 a＝－ 34時， bc 取得最小值－ 94. 此時有 b＝－ 32， c＝ 32. 從而 f(x)＝－ 34x2－ 32x＋ 32， f′ (x)＝－ 32x－ 32. g(x)＝－ f(x)e－ x＝ ?? ??34x2＋ 32x－ 32 e－ x. 所以 g′ (x)＝ (f(x)－ f′ (x))e－ x＝－ 34(x2－ 4)e－ x. 令 g′ (x)＝ 0，解得 x1＝－ 2， x2＝ 2. 當 x∈ (－ ∞ ，－ 2)時， g′ (x)0，故 g(x)在 x∈ (－ ∞ ，－ 2)上為減函數(shù)； 當 x∈ (－ 2,2)時， g′ (x)0，故 g(x)在 x∈ (－ 2,2)上為增函數(shù)； 當 x∈ (2，＋ ∞ )時， g′ (x)0，故 g(x)在 x∈ (2，＋ ∞ )上為減函數(shù) ． 由此可見，函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 為 (－ ∞ ，－ 2)和 (2，＋ ∞ )；單調(diào)遞增區(qū)間為 (－ 2，2)． 19． (本小題滿分 12 分 )某商場根據(jù)以往銷售統(tǒng)計資料 ， 預計 2020 年從 1月起前 x個月 ，顧客對某種奧運商品的需求總量 p(x)件與月份 x的近似關(guān)系是 p(x)＝ 12x(x＋ 1)(39－ 2x)(x∈ N*，且 x≤ 12)， 該商品的進價 q(x)元與月份 x 的近似關(guān)系是 q(x)＝ 150＋ 2x(x∈ N*， 且 x≤ 12)． (1)寫出今年第 x 月的需求量 f(x)件與月份 x 的函數(shù)關(guān)系式 ； (2)該商品每件的售價為 185 元 ， 若不計其他費用且每月都能滿足市場 需求 ， 則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是多少元 ？ [解析 ] (1)當 x＝ 1 時， f(1)＝ p(1)＝ 37； 當 2≤ x≤ 12 時， f(x)＝ p(x)－ p(x－ 1) ＝ 12x(x＋ 1)(39－ 2x)－ 12(x－ 1)x(41－ 2x)＝－ 3x2＋ 40x(x∈ N*，且 2≤ x≤ 12)． 驗證 x＝ 1 符合 f(x)＝－ 3x2＋ 40x， ∴ f(x)＝－ 3x2＋ 40x(x∈ N*且 1≤ x≤ 12)． (2)該商場預計銷售該商品的月利潤為 g(x)＝ (－ 3x2＋ 40x)(185－ 150－ 2x)＝ 6x3－ 185x2＋ 1400x(x∈ N*,1≤ x≤ 12)， g′ (x)＝ 18x2－ 370x＋ 1400，令 g′ (x)＝ 0，解得 x＝ 5， x＝ 1409 (舍去 )． 8 當 1≤ x5 時， g′ (x)0，當 5x≤ 12 時， g′ (x)0， ∴ 當 x＝ 5 時， g(x)max＝ g(5)＝ 3125(元 )． 綜上可知， 5 月份的月利潤最大是 3125 元 ． 20． (本小題滿分 12 分 )已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) f(x)＝ ax2－ 4bx＋ 1. (1)已知集合 P＝ {－ 1,1,2,3,4,5}， Q＝ {－ 2，－ 1,1,2,3,4}， 分 別從集合 P 和 Q 中隨機取一個數(shù)作為 a 和 b， 求函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上是增函數(shù)的概率 ； (2)在區(qū)域????? x＋ y－ 8≤ 0x0y0內(nèi)隨機任取一點 (a， b)． 求函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上是增函數(shù)的概率 ． [解析 ] (1)∵ a∈ P， ∴ a≠ 0. ∴ 函數(shù) f(x)＝ ax2－ 4bx＋ 1 的圖象的對稱軸為 x＝ 2ba ， 要使 f(x)＝ ax2－ 4bx＋ 1 在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上為增函數(shù)， 當且僅當 a0 且 2ba ≤ 1，即 2b≤ a. 若 a＝ 1，則 b＝－ 2，－ 1； 若 a＝ 2，則 b＝－ 2，－ 1,1； 若 a＝ 3，則 b＝－ 2，－ 1,1； 若 a＝ 4，則 b＝－ 2，－ 1,1,2； 若 a＝ 5，則 b＝－ 2，－ 1,1,2. 所求事件包含基本事件的個數(shù)是 2＋ 3＋ 3＋ 4＋ 4＝ 16. ∴ 所求事件的概率為 1636＝ 49. (2)由條件知 a0， ∴ 同 (1)可知當且僅當 2b≤ a 且 a0 時， 函數(shù) f(x)＝ ax2－ 4bx＋ 1 在區(qū)間 [1，＋ ∞ )上為增函數(shù)， 依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域 ??????(a， b)|????? a＋ b－ 8≤ 0a0b0，為 △ OAB，所求事件構(gòu)成區(qū)域為如圖陰影部分 ． 由????? a＋ b－ 8＝ 0a－ 2b＝ 0. 得交點 D?? ??163 ， 83 ， ∴ 所求事件的概率為 P＝12 88312 8 8＝ 13. 21． (
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