20xx屆高三數(shù)學一輪復習測試：集合與函數(shù)(參考版)
2024-08-23 23:00本頁面
【正文】 廣東 )某單位用 2160 萬元購得一塊空地 ， 計劃在該地塊上建造一棟至少 10 層 、 每層 2020 平方米的樓房 ． 經(jīng)測算 ， 如果將樓房建為 x(x≥ 10)層 ， 則每平方米的平均建筑費用為 560＋ 48x(單位 ： 元 )． 為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少 ， 該樓房應建為多少層 ？ (注 ： 平均綜合費用 ＝ 平均建筑費用 ＋ 平均購地費用 ， 平均購地費用 ＝購地總費用建筑總面積 )． [解析 ] 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為 f(x)元，則 9 f(x)＝ (560＋ 48x)＋ 2160 100002020x ＝ 560＋ 48x＋ 10800x (x≥ 10， x∈ N*)， f′ (x)＝ 48－ 10800x2 ， 令 f′ (x)＝ 0 得 x＝ 15. 當 x15 時， f′ (x)0；當 0x15 時， f′ (x)0， 因此當 x＝ 15 時， f(x)取最小值 f(15)＝ 2020. 答：為了樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為 15 層 ． 22． (本小題滿分 14 分 )(文 )已知函數(shù) f(x)＝ loga1－ mxx－ 1 (a0， 且 a≠ 1)的圖象關(guān)于原點對稱 ． (1)求 m 的值 ； (2)判斷 f(x)在 (1，＋ ∞ )上的單調(diào)性 ， 并利用定義證明 ． [解析 ] (1)m＝－ 1. (2)f(x)＝ logax＋ 1x－ 1， 當 a1 時， f(x)在 (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞減； 當 0a1 時， f(x)在 (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ． 證明：設(shè) 1x1x2，則 x1＋ 1x1－ 1－x2＋ 1x2－ 1＝2(x2－ x1)(x1－ 1)(x2－ 1)0， ∴ x1＋ 1x1－ 1x2＋ 1x2－ 10. 當 a1 時， logax1＋ 1x1－ 1logax2＋ 1x2－ 1，即 f(x1)f(x2)， ∴ f(x)在 (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞減 ． 當 0a1 時， logax1＋ 1x1－ 1logax2＋ 1x2－ 1， 即 f(x1)f(x2)， ∴ f(x)在 (1，＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ． (理 )設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 [－ 1,0)∪ (0,1]上的奇函數(shù) ， 當 x∈ [－ 1,0)時 ， f(x)＝ 2ax＋ 1x2(a∈ R)． (1)求函數(shù) f(x)的解析式 ； (2)若 a－ 1， 試判斷 f(x)在 (0,1]上的單調(diào)性 ； (3)是否存在實數(shù) a， 使得當 x∈ (0,1]時 ， f(x)有最大值 － 6. [解析 ] (1)設(shè) x∈ (0,1]，則－ x∈ [－ 1,0)， ∴ f(－ x)＝－ 2ax＋ 1x2 ∵ f(x)是奇函數(shù)， ∴ f(－ x)＝－ f(x) ∴ 當 x∈ (0,1]時， f(x)＝ 2ax－ 1x2， ∴ f(x)＝ ??? 2ax－ 1x2 x∈ (0， 1],2ax＋ 1x2 x∈ [－ 1， 0) . (2)當 x∈ (0,1]時， ∵ f′ (x)＝ 2a＋ 2x3＝ 2?? ??a＋ 1x3 ， ∵ a－ 1， x∈ (0,1]， ∴ a＋ 1x30. 即 f′ (x)0. ∴ f(x)在 (0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù) ． (3)當 a－ 1 時， f(x)在 (0,1]上單調(diào)遞增 ． f(x)max＝ f(1)＝ 2a－ 1＝－ 6， ∴ a＝－ 52(不合題意，舍去 )， 10 當 a≤ － 1 時，由 f′ (x)＝ 0 得， x＝－3 1a. 如下表可知 fmax(x)＝ f??? ???3 － 1a ＝－ 6，解出 a＝－ 2 2. x ??? ???－ ∞ ， 3 － 1a 3－ 1a ??????3－ 1a，＋ ∞ f′ (x) ＋ 0 － f(x) 極大值 此時 x＝ 22 ∈ (0,1) ∴ 存在 a＝－ 2 2，使 f(x)在 (0,1]上有最大值－ 6. 。x， ∴ x2＋ 3x－ 3＝ 0 ① ，或 x2＋ 5x＋ 3＝ 0 ② ， 方程 ① 的兩根之和為－ 3，方程 ② 的兩根之和為－ 5. ∴ 滿足 f(x)＝ f(x＋ 3x＋ 4)的所有 x 之和為－ 8. [點評 ] 可利用偶函數(shù)的性質(zhì) f(x)＝ f(|x|)轉(zhuǎn)化求解 ． 三、解答題 (本大題共 6 個小題，共 74 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 ) 17． (本小題滿分 12 分 )已知函數(shù) f(x)＝ x＋ 1－ aa－ x (a∈ R 且 x≠ a)的定義域為 [a－ 1， a－ 12]時 ，求 f(x)的值域 ． [解析 ] f(x)＝ － (a－ x)＋ 1a－ x ＝－ 1＋ 1a－ x， 當 a－ 1≤ x≤ a－ 12時，－ a＋ 12≤ － x≤ － a＋ 1， ∴ 12≤ a－ x≤ 1， ∴ 1≤ 1a－ x≤
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