【正文】 認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)？并寫(xiě)出簡(jiǎn)要分析． 解 (1)2 2 列聯(lián)表如下： 主食蔬菜 主食肉類 合計(jì) 50 歲以下 4 8 12 50 歲以上 16 2 18 合計(jì) 20 10 30 (2)因?yàn)?K2＝ 30 ?8－ 128?212 18 20 10＝ 10， 所以有 99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)． 方法優(yōu)化 16——求回歸直線方程的方法與技巧 【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析的考查主要是這兩種知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，以計(jì)算和判斷為主．有的省市以選擇題、填空題形式考查，有的省市以解答題形式考查，難度中等． 【真題探究】 ? (20xx福建 )某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià) x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？ (利潤(rùn)＝銷售收入－成本 ) [審題視點(diǎn) ] (1)分別計(jì)算 x ， y ，利用線性回歸方程過(guò)點(diǎn) ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關(guān)于單價(jià) x 的二次函數(shù)，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時(shí)， L 取得最大值． 故當(dāng)單 價(jià)定為 元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)計(jì)算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計(jì)算回歸系數(shù) a^， b^； (4)寫(xiě)出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓(xùn)練 2】 (20xx湖南 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù) 一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 y^＝ － ，則下列結(jié)論中不正確的是 ( )． A． y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心 ( x ， y ) C．若該大學(xué)某女生身高增加 1 cm，則其體重約增加 kg D．若該大學(xué)某女生身高為 170 cm，則可斷定其體重必為 kg 解析 根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解．由于線性回歸方程中 x 的系數(shù)為 ，因此 y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故 A 正確．又線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn) ( x ， y )，因此 B 正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知， x 每增加 1 cm，其體重約增加 kg，故 C 正確．當(dāng)某女生的身高為 170 cm 時(shí)，其體重估計(jì)值是 kg，而不是具體值，因此 D 不正確． 答案 D 4．為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了 100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過(guò)計(jì)算 K2≈ ，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說(shuō)法正確的是( )． A．有 99%的人認(rèn)為 該欄目?jī)?yōu)秀 B．有 99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C．有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．沒(méi)有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 解析 只有 K2≥ 才能有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，而即使 K2≥ 也只是對(duì) “ 電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 ” 這個(gè)論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有 99%的人等無(wú)關(guān)．故 D 正確． 答案 D 5． (20xx沈陽(yáng)質(zhì)檢 )沈陽(yáng)市某高中有高一學(xué)生 600 人，高二學(xué)生 500 人，高三學(xué)生550 人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為 n 的樣本，其中高三學(xué)生有 11 人，則 n 的值等于 ________． 解析 由 n600＋ 500＋ 550＝ 11550，得 n＝ 33(人 )． 答案 33 4． (20xx哈爾濱模擬 )一個(gè)樣本容量為 10 的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個(gè)公差不為 0的等差數(shù)列 {an}，若 a3＝ 8，且 a1， a3， a7成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中位數(shù)分別是 ( )． A． 13,12 B． 13,13 C． 12,13 D． 13,14 解析 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d(d≠ 0)， a3＝ 8， a1a7＝ (a3)2＝ 64， (8－ 2d)(8＋ 4d)＝ 64， (4－ d)(2＋ d)＝ 8,2d－ d2＝ 0，又 d≠ 0，故 d＝ 2，故樣本數(shù)據(jù)為4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，樣本的平均數(shù)為 ?4＋ 22? 510 ＝ 13，中位數(shù)為 12＋ 142 ＝13，故選 B. 答案 B 2． (20xx揭陽(yáng)調(diào)研 )某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成 績(jī) (滿分為 100 分 )的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見(jiàn)部分如圖，據(jù)此解答下列問(wèn)題： (1)求分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率及全班人數(shù)； (2)求分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高． 解 (1)分?jǐn)?shù)在 [50,60]的頻率為 10＝ . 由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在 [50,60]之間的頻數(shù)為 2，所以全班人數(shù)為 ＝ 25. (2)分?jǐn)?shù)在 [80,90]之間的頻數(shù)為 25－ 2－ 7－ 10－ 2＝ 4，頻率分布直方圖中 [80,90]間的矩形的高為 425247。武夷模擬 )用系統(tǒng)抽樣法要從 160 名學(xué)生中抽取容量為 20 的樣本，將 160名學(xué)生隨機(jī)地從 1～ 160編號(hào)，按編號(hào)順序平均分成 20組 (1～ 8號(hào)， 9～ 16號(hào)， ? ，153～ 160 號(hào) )，若第 16 組抽出的號(hào)碼為 126，則第 1 組中用抽簽的方法確定的號(hào)碼是 ________． 解析 設(shè)第 1 組抽取的號(hào)碼為 b，則第 n 組抽取的號(hào)碼為 8(n－ 1)＋ b， ∴ 8 (16－ 1)＋ b＝ 126， ∴ b＝ 6，故第 1 組抽取的號(hào)碼為 6. 答案 6 6． (20xx成都模擬 )交通管理部門(mén)為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員 (簡(jiǎn)稱駕駛員 )對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為 N，其中甲社區(qū)有駕駛員 96 人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取 駕駛員的人數(shù)分別為 12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù) N 為 ( )． A． 101 B． 808 C． 1 212 D． 2 012 解析 甲社區(qū)駕駛員的抽樣比例為 1296＝ 18，四個(gè)社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比例為 12＋ 21＋ 25＋ 43N ＝ 101N ，由 101N ＝ 18，得 N＝ 808. 答案 B 4． (20xx西安質(zhì)檢 )對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)， 得到樣本的莖葉圖 (如圖所示 )，則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是 ( )． A． 46,45,56 B． 46,45,53 C． 47,45,56 D． 45,47,53 解析 樣本共 30 個(gè)，中位 數(shù)為 45＋ 472 ＝ 46；顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為45，故眾數(shù)為 45；極差為 68－ 12＝ 56，故選 A. 答案 A 2． (20xx江蘇 )某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為 3∶3∶ 4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為 50 的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 ________名學(xué)生． [教你審題 ] 一審 等比例性質(zhì)； 二審 抽取的樣本容量． [優(yōu)美解法 ] 高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的 33＋ 3＋ 4＝ 50，則高二年級(jí)抽?。?50 310＝ 15(名 )學(xué)生． [答案 ] 15 [反思 ] 用分層抽樣抽樣時(shí)，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即 nN. 【試一試】 (20xx煙臺(tái)四校聯(lián)考 )據(jù)悉 20xx 年山東省高考要將體育成績(jī)作為參考，為此，濟(jì)南市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)? m(精確到 m)以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成 6 組，并畫(huà)出頻率分布直方圖的一部分如圖所示．已知從左到右前 5 個(gè)小組對(duì)應(yīng)矩形的高分別為 ， ,，且第 6小組的頻數(shù)是 7. (1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)； (2)若由直方圖來(lái)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出該中位數(shù)在第幾組內(nèi)，并說(shuō)明理 由． 解 (1)由題易知，第 6 小組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 1＝， ∴ 此次測(cè)試的總?cè)藬?shù)為 ＝ 50. ∴ 這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)為 ( 1＋ 1＋ 1) 50＝ 36. (2)直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的矩形面積和相等，即頻率和相等，前三組的頻率和為，前四組 的頻率和為 ， ∴ 中位數(shù)位于第 4 組內(nèi)． 考向三 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 【例 3】 ?甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)． [審題視點(diǎn) ] (1)先通過(guò)圖象統(tǒng)計(jì)出甲、乙二人的成績(jī)； (2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績(jī)，作出評(píng)價(jià)． 解 (1)由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試 的成績(jī)分別為 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 . x 甲 ＝ 10＋ 13＋ 12＋ 14＋ 165 ＝ 13， x 乙 ＝ 13＋ 14＋ 12＋ 12＋ 145 ＝ 13， s2甲 ＝ 15[(10－ 13)2＋ (13－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (16－ 13)2]＝ 4， s2乙 ＝ 15[(13－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2]＝ . (2)由 s2甲 ＞ s2乙 可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣撸业某煽?jī)則無(wú)明顯提高． (1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析 平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 (方差 )分析穩(wěn)定情況． (2)若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差 )；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小反映方差 (標(biāo)準(zhǔn)差 )的大?。? 【訓(xùn)練 3】 (20xx長(zhǎng)沙模擬 ) 如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為 ________． (注：方差 s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]，其 中 x 為 x1， x2， ? ，xn 的平均數(shù) ) 解析 x ＝ 15(8＋ 9＋ 10＋ 13＋ 15)＝ 11， s2＝ 15 (9＋ 4＋ 1＋ 4＋ 16)＝ . 答案 考向一 抽樣方法 【例 1】 ?從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車中抽取 80 輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程． [審題視點(diǎn) ] 因?yàn)?802 不能整除 80，為了保證 “ 等距 ” 分段，應(yīng)先剔除 2 個(gè)個(gè)體． 解 由于總體及樣本中的個(gè)體數(shù)較多，且無(wú)明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方法，步驟如下： 第一步：先從 802 輛轎車中剔除 2 輛轎車 (剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法 )； 第二步：將余下的 800 輛轎車編號(hào)為 1,2， ? ， 800，并均勻分成 80 段，每段含 k＝ 80080 ＝ 10 個(gè)個(gè)體； 第三步：從第 1 段即 1,2， ? ， 10 這 10 個(gè)編號(hào)中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)編號(hào) (如 5)作為起始編號(hào)； 第四步：從 5 開(kāi)始，再將編號(hào)為 15,25， ? ， 795 的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量為 80 的樣本． 解決系統(tǒng)抽樣問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟為： (1)分段的方法應(yīng)依據(jù)抽取的樣本容量而定，即根據(jù)定義每段抽取一個(gè)樣本． (2)起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了． 【訓(xùn)練 1】 (20xx臨沂模擬 )甲校有 3 600 名學(xué)生，乙校有 5 400 名