【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1)由題意，第 5 組抽出的號(hào)碼為 22. 因?yàn)?k＋ 5 (5－ 1)＝ 22，所以第 1 組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為 2，抽出的 10 名職工的號(hào)碼分別為 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因?yàn)?10 名職工的平均體重為 x ＝ 110(81＋ 70＋ 73＋ 76＋ 78＋ 79＋ 62＋ 65＋ 67＋ 59)＝ 71， 所以樣本方差為： s2＝ 110(102＋ 12＋ 22＋ 52＋ 72＋ 82＋ 92＋ 62＋ 42＋ 122)＝ 52. (3)從 10 名職工中隨機(jī)抽取兩名體重不輕于 73 公斤的職工，共有 10 種不同的取法： (73,76)， (73,78)， (73,79)， (73,81)， (76,78)， (76,79)， (76,81)， (78,79)，(78,81)， (79,81)． 記 “ 體重為 76 公斤的職工被抽取 ” 為事件 A，它包括的事件有 (73,76)，(76,78)， (76,79)， (76,81)共 4 個(gè)． 故所求概率為 P(A)＝ 410＝ 25. 第 2 講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 【 20xx 年高考會(huì)這 樣考】 1．考查利用散點(diǎn)圖判斷變量之間的關(guān)系． 2．考查線性回歸方程的計(jì)算或回歸分析的思想與方法的應(yīng)用問題． 3．考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用． 考點(diǎn)梳理 1． 相關(guān)關(guān)系的判斷 (1)散點(diǎn)圖直觀反映了兩變量的成對(duì)觀測(cè)值之間存在的某種關(guān)系，利用散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān)．如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線的附近，我們說變量 x 和 y 具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)相關(guān)系數(shù) r＝?i＝ 1n ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 1n ?xi－ x ?2 ?i＝ 1n ?yi－ y ?2，當(dāng) r0 時(shí)，兩變量正相關(guān)，當(dāng)r0 時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，當(dāng) |r|≤ 1 且 |r|越接近于 1，相關(guān)程度 越高 ，當(dāng) |r|≤ 1 且 |r|越接近于 0，相關(guān)程度 越低． 2． 最小二乘法求回歸直線方程 (1)設(shè)線性回歸方程為 y^＝ b^x＋ a^，其中， b^是回歸方程的斜率， a^是截距． ????? b^＝ ?i＝ 1n ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 1n ?xi－ x ?2＝?i＝ 1nxiyi－ n x y?i＝ 1nx2i－ n x 2，a^＝ y － b^ x . (2)回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn) ( x ， y )，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問題． 3． 獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的有關(guān)概念 ① 分類變量 可用變量的不同 “ 值 ” 表示個(gè)體所屬的 不同類別 的變量稱為分類變量． ② 2 2 列聯(lián)表 假設(shè)有兩個(gè)分類變量 X 和 Y，它們的值域分別為 {x1， x2}和 {y1， y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表 (稱為 2 2 列聯(lián)表 )為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋ b x2 c d c＋ d 總計(jì) a＋ c b＋ d a＋ b＋ c＋ d (2)獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用隨機(jī)變量 K2＝ n?ad－ bc?2?a＋ b??c＋ d??a＋ c??b＋ d?(其中 n＝ a＋ b＋ c＋ d 為樣本容量 )來判斷 “ 兩個(gè)變量有關(guān)系 ” 的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 步驟如下： ① 計(jì)算隨機(jī)變量 K2的觀測(cè)值 k，查下表確定臨界值 k0： P(K2≥ k0) 0 0 5 5 k0 P(K2≥ k0) 5 25 10 05 1 k0 ② 如果 k≥ k0，就推斷 “ X 與 Y 有關(guān)系 ” ，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過P(K2≥ k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過 P(K2≥ k0)的前提下不能推斷“ X 與 Y有關(guān)系 ” ． 一個(gè)區(qū)別 函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系． 三個(gè)特征 (1)回歸方程 y^＝ b^x＋ a^中的 b^表示 x 增加一個(gè)單位時(shí)， y^的變化量約為 b^. (2)R2 越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好； R2 越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差． (3)當(dāng) K2≥ 時(shí)，則有 95%的把握說事件 A與 B 有關(guān)； 當(dāng) K2≥ 時(shí)，則有 99%的把握說事件 A與 B 有關(guān)； 當(dāng) K2≤ 時(shí)，則認(rèn)為事件 A與 B 無(wú)關(guān)． 考點(diǎn)自測(cè) 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ( )． A．正方體的棱長(zhǎng)與體積 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積與總產(chǎn)量 C．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 D．電壓一定時(shí)，電流與電阻 解析 A， B， D 中兩個(gè)變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系； C 中的兩個(gè)變量間是相關(guān)關(guān)系，對(duì)于日照時(shí)間一定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量，故選 C. 答案 C 2．對(duì)變量 x， y 有觀測(cè)數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， 10)，得散點(diǎn)圖 (1)；對(duì)變量 u，v 有觀測(cè)數(shù)據(jù) (ui， vi)(i＝ 1,2， ? ， 10)，得散點(diǎn)圖 (2)．由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷( )． A．變量 x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) B．變量 x 與 y 正相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān) C．變量 x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 正相關(guān) D．變量 x 與 y 負(fù)相關(guān)， u 與 v 負(fù)相關(guān) 解析 由圖 (1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)， x 與 y 負(fù)相關(guān)；由圖 (2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)， u 與 v 正相關(guān)． 答案 C 3． (20xx湖南 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù) 一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 y^＝ － ，則下列結(jié)論中不正確的是 ( )． A． y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心 ( x ， y ) C．若該大學(xué)某女生身高增加 1 cm，則其體重約增加 kg D．若該大學(xué)某女生身高為 170 cm，則可斷定其體重必為 kg 解析 根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解．由于線性回歸方程中 x 的系數(shù)為 ，因此 y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故 A 正確．又線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn) ( x ， y )，因此 B 正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知， x 每增加 1 cm，其體重約增加 kg，故 C 正確．當(dāng)某女生的身高為 170 cm 時(shí)，其體重估計(jì)值是 kg，而不是具體值，因此 D 不正確． 答案 D 4．為了評(píng)價(jià)某個(gè)電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點(diǎn)抽取了 100位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計(jì)算 K2≈ ，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是( )． A．有 99%的人認(rèn)為 該欄目?jī)?yōu)秀 B．有 99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 C．有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 D．沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 解析 只有 K2≥ 才能有 99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系，而即使 K2≥ 也只是對(duì) “ 電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系 ” 這個(gè)論斷成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有 99%的人等無(wú)關(guān)．故 D 正確． 答案 D 5． (20xx遼寧 )調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x(單位：萬(wàn)元 )和年飲食支出 y(單位：萬(wàn)元 )，調(diào)查顯示年收入 x 與年飲食支出 y 具有線性 相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到 y 對(duì) x 的線性回歸方程： y^＝ ＋ ，家庭年收入每增加 1 萬(wàn)元，年飲食支出平均增加 ________萬(wàn)元． 解析 由題意，知其回歸系數(shù)為 ，故家庭年收入每增加 1 萬(wàn)元，年飲食支出平均增加 萬(wàn)元． 答案 考向一 線性相關(guān)關(guān)系的判斷 【例 1】 ?下表是某小賣部 6 天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比 表 . 氣溫 /℃ 26 18 13 10 4 － 1 杯數(shù) y 20 24 34 38 50 64 (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖； (2)你能依據(jù)散點(diǎn)圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？ (3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請(qǐng)畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系． [審題視點(diǎn) ] (1)用 x 軸表示氣溫， y 軸表示杯數(shù)，逐一畫點(diǎn)； (2)根據(jù)散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系． 解 (1)畫出的散點(diǎn)圖如圖． (2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān)，圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系． (3)根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓畫出的直線上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等．如圖． 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡(jiǎn)便的方法．在散點(diǎn)圖中如果所 有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系．即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 【訓(xùn)練 1】 5 個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 A B C D E 學(xué)科 數(shù)學(xué) 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系． 解 把數(shù)學(xué)成績(jī)作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成績(jī)作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， 5)，作出散點(diǎn)圖如圖． 從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)龃髸r(shí)，物理成績(jī)也在由小變大，即它們正相關(guān)．考向二 線性回歸方程及其應(yīng)用 【例 2】 ?(20xx福建 )某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià) x/元 8 9 銷量 y/件 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^，其中 b^＝－ 20， a^＝ y － b^ x ； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？ (利潤(rùn)＝銷售收入－成本 ) [審題視點(diǎn) ] (1)分別計(jì)算 x ， y ，利用線性回歸方程過點(diǎn) ( x ， y )，代入方程可得解； (2)將已知條件代入可得關(guān)于單價(jià) x 的二次函數(shù)，配方可得最大值． 解 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b^＝－ 20， 所以 a^＝ y － b^ x ＝ 80＋ 20 ＝ 250， 從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20( )x－ 2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時(shí)， L 取得最大值． 故當(dāng)單 價(jià)定為 元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 求回歸直線方程的步驟： (1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)計(jì)算出 x ，y ， ?i＝ 1nx2i， ?i＝ 1nxiyi的值； (3)計(jì)算回歸系數(shù) a^， b^； (4)寫出回歸直線方程 y^＝ b^x＋ a^. 【訓(xùn)練 2】 (20xx南昌模擬 )以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格 y 和房屋的面積 x 的數(shù)據(jù) . 房屋面積 x/m2 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格 y/萬(wàn)元 22 (1)求線性回歸方程； (2)據(jù) (1)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為 150 m2時(shí)的銷售價(jià)格． 解 (1) x ＝ 15 (115＋ 110＋ 80＋ 135＋ 105)＝ 109， y ＝ 15 (＋ ＋ ＋ ＋ 22)＝ . 設(shè)所求回歸直線方程為 y^＝ b^x＋ a^，則 b^＝?i＝ 15 ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 15 ?xi－ x ?2＝ 3081 570≈ 2， ∴ a^＝ y － b^ x ＝ － 109 3081 570≈ 6. ∴ 所求回歸直線方程為 y^＝ 2x＋ 6. (2)由第 (1)問可知，當(dāng) x＝ 150 m2時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為 y^＝ 2 150＋ 6＝ 6(萬(wàn)元 )．考向三 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用 【例 3】 ?在調(diào)查男女乘客是否暈機(jī)的事件中，已知男乘客暈機(jī)為 28 人，不暈機(jī)的也是 28 人，而女乘客暈機(jī)為 28 人，不暈機(jī)的為 56 人． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè) 2 2 的列聯(lián)表； (2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過 的