【正文】 第十一篇 統(tǒng)計(jì)與概率 第 1 講 抽樣方法與總體分布的估計(jì) 【 20xx 年高考會(huì)這樣考】 1．考查三種抽樣方法及其應(yīng)用． 2．考查頻率分布直方圖中的相關(guān)計(jì)算 (求解頻率、頻數(shù)等 )． 3．考查用樣本估計(jì)總體中的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 (平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等 )． 對(duì)應(yīng)學(xué)生162 考點(diǎn)梳理 1． 三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，均屬于不放回抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽樣 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (1)當(dāng)總體很大或 不便獲得時(shí)，可以用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布，我們把反映樣本頻率分布的表格稱為頻率分布表．繪制頻率分布表的步驟為：① 求極差 ； ② 決定組距和組數(shù) ； ③ 將數(shù)據(jù)分組 ； ④ 列頻率分布表． (2)利用直方圖反映樣本的頻率分布，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖．畫(huà)頻率分布直方圖的一般步驟是： ① 繪制頻率分布表； ② 作直角坐標(biāo)系，把橫軸分成若干段，每一段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距； ③ 在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以相鄰兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為底作矩形，它的高等于該組的 頻率組距 .此時(shí)，每個(gè)矩形的面積恰好就是該組的頻率，顯然所有矩 形的面積之和為 1. 3． 樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即 x ＝ 1n(x1＋ x2＋ ? ＋ xn)． (4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差： s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]． 標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ 1n[?x1－ x ?2＋ ?x2－ x ?2＋ ? ＋ ?xn－ x ?2] . 一條規(guī)律 三種抽樣方法的共同點(diǎn)都是等概率抽樣，即抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性．若樣本容量為 n，總體的個(gè)體數(shù)為 N，則用這三種方法抽樣時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是 nN. 兩個(gè)特性 (1)在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量，各小組頻率的和等于 1； (2)在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率 /組距，每個(gè)小矩形的面積等于該組的頻率，所有小矩形的面積之和為 1. 考點(diǎn)自測(cè) 1． (20xx山東 )采用系統(tǒng)抽樣方法從 960 人中抽取 32 人做問(wèn)卷調(diào)查．為此將他們隨機(jī)編號(hào)為 1,2， ? ， 960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為 32 人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間 [1,450]的人做問(wèn)卷 A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問(wèn)卷 B，其余的人做問(wèn)卷 ，做問(wèn)卷 B 的人數(shù)為( )． A． 7 B． 9 C． 10 D． 15 解析 從 960 人中用系 統(tǒng)抽樣方法抽取 32 人，則每 30 人抽取一人，因?yàn)榈谝唤M抽到的號(hào)碼為 9，則第二組抽到的號(hào)碼為 39，第 n 組抽到的號(hào)碼為 an＝ 9＋30(n－ 1)＝ 30n－ 21，由 451≤ 30n－ 21≤ 750，得 23615 ≤ n≤ 25710 ，所以 n＝ 16,17， ? ，25，共有 25－ 16＋ 1＝ 10 人，選 C. 答案 C 2． (20xx臨沂模擬 )甲校有 3 600 名學(xué)生，乙校有 5 400 名學(xué)生，丙校有 1 800名學(xué)生．為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為 90 的樣本，應(yīng)該在這三 校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是 ( )． A． 30,30,30 B． 30,45,15 C． 20,30,10 D． 30,50,10 解析 抽取比例是 903 600＋ 5 400＋ 1 800＝ 1120，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為 3 600 1120＝ 30,5 400 1120＝ 45,1 800 1120＝ 15. 答案 B 3 ． 10 名 工 人 某 天 生 產(chǎn) 同 一 零 件 ， 生 產(chǎn) 的 件 數(shù) 分 別 是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，則這一天 10 名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是( )． A． 14 B． 16 C． 15 D． 17 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得 10,12,14,14,15,15,16,17,17,15＋ 152 ＝ 15. 答案 C 4． (20xx西北工大附中測(cè)試 )如圖是容量為 150 的樣本的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落在 [6,10)內(nèi)的頻數(shù)為 ( )． A． 12 B． 48 C． 60 D． 80 解析 落在 [6,10)內(nèi)的頻率為 4＝ ，故頻數(shù)為 150＝ 48. 答案 B 5． (20xx長(zhǎng)沙模擬 ) 如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為 ________． (注：方差 s2＝ 1n[(x1－ x )2＋ (x2－ x )2＋ ? ＋ (xn－ x )2]，其 中 x 為 x1， x2， ? ，xn 的平均數(shù) ) 解析 x ＝ 15(8＋ 9＋ 10＋ 13＋ 15)＝ 11， s2＝ 15 (9＋ 4＋ 1＋ 4＋ 16)＝ . 答案 考向一 抽樣方法 【例 1】 ?從某廠生產(chǎn)的 802 輛轎車(chē)中抽取 80 輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫(xiě)出抽樣過(guò)程． [審題視點(diǎn) ] 因?yàn)?802 不能整除 80，為了保證 “ 等距 ” 分段，應(yīng)先剔除 2 個(gè)個(gè)體． 解 由于總體及樣本中的個(gè)體數(shù)較多，且無(wú)明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方法，步驟如下： 第一步：先從 802 輛轎車(chē)中剔除 2 輛轎車(chē) (剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法 )； 第二步：將余下的 800 輛轎車(chē)編號(hào)為 1,2， ? ， 800，并均勻分成 80 段，每段含 k＝ 80080 ＝ 10 個(gè)個(gè)體； 第三步：從第 1 段即 1,2， ? ， 10 這 10 個(gè)編號(hào)中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)編號(hào) (如 5)作為起始編號(hào)； 第四步：從 5 開(kāi)始，再將編號(hào)為 15,25， ? ， 795 的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量為 80 的樣本． 解決系統(tǒng)抽樣問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟為： (1)分段的方法應(yīng)依據(jù)抽取的樣本容量而定，即根據(jù)定義每段抽取一個(gè)樣本． (2)起始編號(hào)的確定應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，一旦起始編號(hào)確定，其他編號(hào)便隨之確定了． 【訓(xùn)練 1】 (20xx天津 )某地區(qū)有小學(xué) 150 所，中學(xué) 75 所，大學(xué) 25 所．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取 30 所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)中抽取 ________所學(xué)校，中學(xué)中抽取 ________所學(xué)校． 解析 根據(jù)分層抽樣的特 點(diǎn)求解．從小學(xué)中抽取 30 150150＋ 75＋ 25＝ 18 所學(xué)校；從中學(xué)中抽取 30 75150＋ 75＋ 25＝ 9 所學(xué)校． 答案 18 9 考向二 頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用 【例 2】 ?某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) [25,55]歲的人群隨機(jī)抽取 n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念，稱為 “ 低碳族 ” ，否則稱為 “ 非低碳族 ” ，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 [25,30) 120 第二組 [30,35) 195 p 第三組 [35,40) 100 第四組 [40,45) a 第五組 [45,50) 30 第六組 [50,55] 15 續(xù)表 (1)補(bǔ)全頻率分布直方圖； (2)求 n， a， p 的值． [審題視點(diǎn) ] (1)要補(bǔ)全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計(jì)算出第二組的頻率； (2)靈活運(yùn)用關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率 ， 頻數(shù)樣本容量 ＝頻率求解． 解 (1)第二組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 5＝ ，所以小長(zhǎng)方形的高為 ＝ ． (2)第一組的人數(shù)為 ＝ 200，頻率為 5＝ ， 所以 n＝ ＝ 1 000. 由 (1)知，第二組的頻率為 ，所以第二組的 人數(shù)為 1 000 ＝ 300，所以 p＝ 195300＝ 5＝ ，所以第四組的人數(shù)為 1 000 ＝ 150，所以 a＝ 150 ＝ 60. (1)繪制頻率分布直方圖時(shí)需注意： ① 制作好頻率分布表后可以利用各組的頻率之和是否為 1 來(lái)檢驗(yàn)該表是否正確； ② 頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距 ，而不是頻率． (2)由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌 握下列關(guān)系式： 頻率組距 組距＝頻率． 【訓(xùn)練 2】 (20xx煙臺(tái)四校聯(lián)考 )據(jù)悉 20xx 年山東省高考要將體育成績(jī)作為參考，為此，濟(jì)南市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個(gè)班進(jìn)行鉛球測(cè)試，成績(jī)?cè)? m(精確到 m)以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成 6 組，并畫(huà)出頻率分布直方圖的一部分如圖所示．已知從左到右前 5 個(gè)小組對(duì)應(yīng)矩形的高分別為 ， ,，且第 6小組的頻數(shù)是 7. (1)求這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)； (2)若由直方圖來(lái)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出該中位數(shù)在第幾組內(nèi)，并說(shuō)明理 由． 解 (1)由題易知，第 6 小組的頻率為 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ ) 1＝， ∴ 此次測(cè)試的總?cè)藬?shù)為 ＝ 50. ∴ 這次鉛球測(cè)試成績(jī)合格的人數(shù)為 ( 1＋ 1＋ 1) 50＝ 36. (2)直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的矩形面積和相等，即頻率和相等，前三組的頻率和為，前四組 的頻率和為 ， ∴ 中位數(shù)位于第 4 組內(nèi)． 考向三 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 【例 3】 ?甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)． [審題視點(diǎn) ] (1)先通過(guò)圖象統(tǒng)計(jì)出甲、乙二人的成績(jī)； (2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績(jī)，作出評(píng)價(jià)． 解 (1)由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試 的成績(jī)分別為 甲： 10 分， 13 分， 12 分， 14 分， 16 分； 乙： 13 分， 14 分， 12 分， 12 分， 14 分 . x 甲 ＝ 10＋ 13＋ 12＋ 14＋ 165 ＝ 13， x 乙 ＝ 13＋ 14＋ 12＋ 12＋ 145 ＝ 13， s2甲 ＝ 15[(10－ 13)2＋ (13－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (16－ 13)2]＝ 4， s2乙 ＝ 15[(13－ 13)2＋ (14－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (12－ 13)2＋ (14－ 13)2]＝ . (2)由 s2甲 ＞ s2乙 可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)則無(wú)明顯提高． (1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析 平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 (方差 )分析穩(wěn)定情況． (2)若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差 )；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小反映方差 (標(biāo)準(zhǔn)差 )的大?。? 【訓(xùn)練 3】 (20xx陜西 )從甲乙兩個(gè)城市分別隨機(jī)抽取 16 臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)，對(duì)其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示 (如圖所示 )．設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為 x甲 ， x 乙 ，中位數(shù)分別為 m 甲 ， m 乙 ，則 ( )． A. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 B. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 C. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 D. x 甲 x 乙 ， m 甲 m 乙 解析 x 甲 ＝ 116(41＋ 43＋ 30＋ 30＋ 38＋ 22＋ 25＋ 27＋ 10＋ 10＋ 14＋ 18＋ 18＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 34516 ， x 乙 ＝ 116(42＋ 43＋ 48＋ 31＋ 32＋ 34＋ 34＋ 38＋ 20＋ 22＋ 23＋ 23＋ 27＋ 10＋ 12＋ 18)＝ 45716 . ∴ x 甲 x 乙． 又 ∵ m 甲 ＝ 20， m 乙 ＝ 29， ∴ m 甲 m 乙． 答案 B 方法優(yōu)化 15——快速掌握抽樣方法的 技巧 【命題研究】 通過(guò)近三年的高考試題分