20xx屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式與推理證明(第7課時(shí))知識(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)理新人教a版-資料下載頁(yè)
2024-11-10 00:37本頁(yè)面
【正文】 ＋ak＝1a2?ak≤a11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋1a1b1＋a2b2＋?＋akbk，1－bk＋1a1b1＋a2b2＋?＋akbk1－bk＋1230。從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤231。abk＋1k＋－bk＋1232。248。又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得1－bk＋1a1b1＋a2b2＋?＋akbk230。a1b1＋a2b2＋?＋akbkabk＋1k＋1≤(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋231。1－bk＋11－bk＋1232。248。因a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋1，從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋＝k＋1時(shí)，③成立．由①②可知，對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立． 說(shuō)明：(3)中如果推廣形式中指出③式對(duì)n≥2成立，則后續(xù)證明中不需討論n＝1的情況．【難點(diǎn)突破】*16．解：(1)對(duì)任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)是等差數(shù)列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝{an}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列． 于是an＝1＋(n－1)4＝4n－3.*(2)①必要性：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對(duì)任意n∈N，有an＋1＝＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是B（n）a2＋a3＋?＋an＋1q（a1＋a2＋?＋an）＝q，A（n）a1＋a2＋?＋ana1＋a2＋?＋anC（n）a3＋a4＋?＋an＋2q（a2＋a3＋?＋an＋1）＝＝q，B（n）a2＋a3＋?＋an＋1a2＋a3＋?＋an＋1B（n）C（n）即＝＝(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列． A（n）B（n）*②充分性：若對(duì)任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝＋2錯(cuò)誤!＝＋1故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列．*綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．因?yàn)閍n＞0，所以第五篇：2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章 推理與證明第3課時(shí) 數(shù)學(xué)歸納法課時(shí)訓(xùn)練(n)＝＋?＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________． 2nn＋1n＋211答案： 2n＋12n＋2解析：f(n＋1)－f(n)11111＝233。（n＋1）＋1＋（n＋1）＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2（n＋1）249。 235。111－233。n＋1＋n＋2＋?＋2n 235。11111＝－.2n＋12（n＋1）n＋12n＋12n＋2－＋23＋332＋433＋?＋n3n1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為_(kāi)___________．11答案：a＝，b＝c＝24解析：∵ 等式對(duì)一切n∈N*均成立，∴ n＝1，2，3時(shí)等式成立，236。1＝3（a－b）＋c，239。2即237。1＋23＝3（2a－b）＋c，239。238。1＋23＋332＝33（3a－b）＋c，3a－3b＋c＝1，236。239。11整理得237。18a－9b＋c＝7，解得ab＝c 24239。238。81a－27b＋c＝34，{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋*a(n∈N*)．用數(shù)學(xué)歸納法證明：ana3證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝1＋，a12ak＋1ak＋1時(shí)，＝k＋1時(shí)，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1－1＋ak＋11＋ak＋1ak＋1－ak230。1＋a246。＝232。1＋ak248。（1＋ak）（1＋ak＋1）0，所以n＝k＋1時(shí)，不等式成立．綜上所述，不等式an＋－：an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．證明：① 當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即當(dāng)n＝1時(shí)原命題成立．＋－＋② 假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，ak1＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak2＋＋－＋－－＋(a＋1)2k1＝aak1＋(a＋1)2(a＋1)2k1＝aak1＋a(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k1＝[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－＋a＋1能被a2＋a＋1整除可a＋＋知，ak2＋(a＋1)2k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命題也成立．根據(jù)①和②可知，對(duì)于任意的n∈N*，原命題成立．{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－an，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，后猜想an并證明之．3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝22－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝23－a3，2n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝24－a4，得a4＝.猜想an＝－.482下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：2n－121－1① 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊a1＝1，右邊＝－－1，猜想成立． 22k2－12k－1② 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.則當(dāng)n＝221k＋1時(shí)，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2kk＋12－1246。2－11＝k＋12k－－247。＝（＋）－ 2232。2248。2這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，求證：(1)cos A是有理數(shù)；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．AB2＋AC2－BC2證明：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝ 2ABAC(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinAsinnA都是有理數(shù)．① 當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA＝1－cos2A也是有理數(shù)． ② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由cos(k＋1)A＝cosAcoskA－sinAsinkA，sinAsin(k＋1)A＝sinA(sinAcoskA＋cosAsinkA)＝(sinAsinA)coskA＋(sinAsinkA)cosA，由①及歸納假設(shè)，知cos(k＋1)A與sin Asin(k＋1)A都是有理數(shù)．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．綜合①②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．
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