20xx屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式與推理證明(第2課時(shí))知識(shí)過關(guān)檢測(cè)理新人教a版-資料下載頁
2025-10-27 05:19本頁面
【正文】 k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命題也成立．根據(jù)①和②可知，對(duì)于任意的n∈N*，原命題成立．{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－an，先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng)，后猜想an并證明之．3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝22－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝23－a3，2n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝24－a4，得a4＝.猜想an＝－.482下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確：2n－121－1① 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊a1＝1，右邊＝－－1，猜想成立． 22k2－12k－1② 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.則當(dāng)n＝221k＋1時(shí)，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2kk＋12－1246。2－11＝k＋12k－－247。＝（＋）－ 2232。2248。2這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2△ABC的三邊長(zhǎng)為有理數(shù)，求證：(1)cos A是有理數(shù)；(2)對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．AB2＋AC2－BC2證明：(1)由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA＝ 2ABAC(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinAsinnA都是有理數(shù)．① 當(dāng)n＝1時(shí)，由(1)知cosA是有理數(shù)，從而有sinAsinA＝1－cos2A也是有理數(shù)． ② 假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，coskA和sinAsinkA都是有理數(shù)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由cos(k＋1)A＝cosAcoskA－sinAsinkA，sinAsin(k＋1)A＝sinA(sinAcoskA＋cosAsinkA)＝(sinAsinA)coskA＋(sinAsinkA)cosA，由①及歸納假設(shè)，知cos(k＋1)A與sin Asin(k＋1)A都是有理數(shù)．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．綜合①②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)．第五篇：2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章 推理與證明第1課時(shí) 合情推理與演繹推理課時(shí)訓(xùn)練n－mb答案： a解析：等差數(shù)列中bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中bn－am可以類n－mbbn－ambn比等比數(shù)列中的，－(x)，觀察： x＋2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．x答案：（2－1）x＋2解析：觀察知四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)xn＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以歸納出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母為(2－1)xx＋2n，故當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋：① sin210176。＋cos240176。＋sin10176。cos40176。＝ sin26176。＋cos236176。＋sin 6176。43cos36176。＝4由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想？并證明你的猜想．3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30176。)＋sinαcos(α＋30176。).4證明如下：2左邊＝sinα＋cos(α＋30176。)[cos(α＋30176。)＋sinα]＝sin2α＋230。α－1sinα246。230。α＋1α246。 232。2248。232。2248。22313＝sin2α＋22α＝ 444所以，猜想是正確的．△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h，則易證11－ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a、b、c之間的等式關(guān)系并證明．1111解：類比得到：＋.habc證明：過S作△ABC所在平面的垂線，垂足為O，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D，連結(jié)SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥△ABS中，有111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab “已知圓C的方程是x＋y＝r，求證：經(jīng)過圓C上一點(diǎn)2M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r”，聰明的小明很快就完成了，完成后覺得該題很有意思，經(jīng)過認(rèn)真思考后大膽猜想出如下結(jié)論：若圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則經(jīng)過圓2C上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝嗎？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)說明理由．解：小明的猜想正確．(證法1)若x0≠a，y0≠b，則因圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圓C上y0－b一點(diǎn)，所以直線MC的斜率為k1＝，設(shè)過M(x0，y0)的切線斜率為k，因直線MC與切x0－ax0－ax0－a1線l垂直，所以k＝－＝－所以過M(x0，y0)的切線l方程為y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又點(diǎn)M(x0，y0)在圓C上，所以有(x0222－a)＋(y0－b)＝r，故此時(shí)過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝＝a或y0＝b(同時(shí)成立不合題意)，則切線的斜率不存在或?yàn)?，可直觀看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此時(shí)切線方程分別為y＝y(tǒng)0或x＝x0，適合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝，過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(證法2)設(shè)P(x，y)為切線上任一點(diǎn)，則PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM→→→⊥CM，∴ PMCM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化簡(jiǎn)得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2為所求切線．，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；1111(3)＋＋?＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1解：(1)f(5)＝41.(2)因?yàn)閒(2)－f(1)＝4＝41，f(3)－f(2)＝8＝42，f(4)－f(3)＝12＝43，f(5)－f(4)＝16＝44，?，由上式規(guī)律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝?＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋?＋4＝2n2－2n＋，(3)當(dāng)n≥2＝230。f（n）－12n（n－1）2232。n－1n248。1111所以＋＋?＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－?＋)222334n－1n1131＝1＋1－＝－2n22n
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