【正文】 值為_(kāi)_______．解析　由已知條件得q＋q2＝3，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝，由a1＋a2＋…＋ana1a2…an，可知2n－5－2－5，可求得n的最大值為12，而當(dāng)n＝13時(shí)，28－2－5213，所以n的最大值為12.答案　12三、解答題4．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－.故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n－1＝(－1)n－1.(2)由(1)得Sn＝1－n＝當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1Sn≤S1＝，故0Sn－≤S1－＝－＝.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn1，故0Sn－≥S2－＝－＝－.綜上，對(duì)于n∈N*，總有－≤Sn－≤.所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－.第4講　數(shù)列求和[最新考綱]1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法. 知 識(shí) 梳 理1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝2．?dāng)?shù)列求和的幾種常用方法(1)分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．(3)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．(4)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．(5)并項(xiàng)求和法在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.3．常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.辨 析 感 悟數(shù)列求和的常用方法(1)當(dāng)n≥2時(shí)，＝－.()(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．()(3)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1176。＋sin2 2176。＋sin2 3176。＋…＋sin2 88176。＋sin2 89176。＝.(√)(4)(2014南京調(diào)研改編)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S50＝－25.(√)[感悟提升]兩個(gè)防范　一是用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，注意裂項(xiàng)后的系數(shù)以及搞清未消去的項(xiàng)，如(1)．二是含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類(lèi)討論，如(2)中a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三種情況求和，只有當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)可用錯(cuò)位相減法求和.學(xué)生用書(shū)第88頁(yè)考點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和Sn.解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1.綜上所述，Sn＝規(guī)律方法 (1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解．(2)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式．【訓(xùn)練1】 (2014湖州質(zhì)檢)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)記＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn.解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d.由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d，故??q＝3或1(舍去)．所以d＝2，所以an＝3n，bn＝2n＋1.(2)由題意，得＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，Sn＝c1＋c2＋…＋＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝n＋－＝＋n－；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－.所以Sn＝考點(diǎn)二　裂項(xiàng)相消法求和【例2】 (2013江西卷)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜.解　(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.綜上，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝2n.(2)證明　由于an＝2n，bn＝，則bn＝＝.Tn＝＝＜＝.規(guī)律方法 使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．【訓(xùn)練2】 (2013濱州一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，則Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．故an＝n－1＝2n(n∈N*)．(2)因?yàn)?－Sn＝an＝n.所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因?yàn)椋剑剑?，所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝.學(xué)生用書(shū)第89頁(yè)考點(diǎn)三　錯(cuò)位相減法求和【例3】 (2013山東卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn＋＝λ(λ為常數(shù))，令＝b2n，(n∈N*)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Rn.解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由題意知Tn＝λ－，所以n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.故＝b2n＝＝(n－1)()n－1，n∈N*，所以Rn＝0()0＋1()1＋2()2＋3()3＋…＋(n－1)()n－1，則Rn＝0()1＋1()2＋2()3＋…＋(n－2)()n－1＋(n－1)()n，兩式相減得Rn＝()1＋()2＋()3＋…＋()n－1－(n－1)()n＝－(n－1)()n＝－()n，整理得Rn＝(4－)．所以數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Rn＝(4－)．規(guī)律方法 (1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．【訓(xùn)練3】 (2013嘉興二模)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋2.(1)記bn＝an＋1，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明　由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3(an＋1)．因?yàn)閎n＝an＋1，所以bn＋1＝3bn，又b1＝a1＋1＝3，所以數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．(2)解　由(1)知an＋1＝3n，an＝3n－1，所以nan＝n3n－n，所以Sn＝(3＋232＋…＋n3n)－(1＋2＋…＋n)，其中1＋2＋…＋n＝，記Tn＝3＋232＋…＋n3n，①3Tn＝32＋233＋…＋(n－1)3n＋n3n＋1，②兩式相減得－2Tn＝3＋32＋…＋3n－n3n＋1＝－n3n＋1，即Tn＝3n＋1＋，所以Sn＝－. 　　　數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．　　　　　　　　　　　　　　　 答題模板7——求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問(wèn)題【典例】 (14分)(2013浙江卷)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.[規(guī)范解答] (1)由題意得5a3a1＝(2a2＋2)2， (2分)即d2－3d－4＝＝－1或4. (4分)所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N* ， (6分)(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.∴Sn＝－n2＋n， (8分)當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. (10分)當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. (12分)綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝[反思感悟] (1)本題求解用了分類(lèi)討論思想，求數(shù)列{|an|}的和時(shí)，因?yàn)閍n有正有負(fù)，所以應(yīng)分兩類(lèi)分別求和．(2)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①當(dāng)n≤11時(shí)，求{|an|}的和，有的學(xué)生認(rèn)為就是S11＝110；②當(dāng)n≥12時(shí)，求{|an|}的和，有的學(xué)生不能轉(zhuǎn)化為2(a1＋a2＋…＋a11)－(a1＋a2＋…＋an)，導(dǎo)致出錯(cuò)．答題模板　求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和一般步驟如下：第一步：求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和；第二步：令an≤0(或an≥0)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；第三步：分兩類(lèi)分別求前n項(xiàng)和；第四步：用分段函數(shù)形式下結(jié)論；第五步：反思回顧：查看{|an|}的前n項(xiàng)和與{an}的前n項(xiàng)和的關(guān)系，以防求錯(cuò)結(jié)果．【自主體驗(yàn)】已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為－3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由題意，得解得或所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)由(1)，知當(dāng)an＝－3n＋5時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an＝3n－7時(shí)，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件．故|an|＝|3n－7|＝記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝|a1|＝4；當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝|a1|＋|a2|＝5；當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(33－7)＋(34－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10.當(dāng)n＝2時(shí)，滿足此式．綜上，Sn＝基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為 (　　)．A．120 B．70 C．75 D．100解析　因?yàn)椋絥＋2，所以的前10項(xiàng)和為103＋＝75.答案　C2．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 (　　)．A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案　C3．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＝(　　)．A．9 B．8