【導(dǎo)讀】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，創(chuàng)造了光輝的業(yè)績(jī)，在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位。約公元前5世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家就研究了幻方。即從1到n2的自然數(shù)排列成。如圖，每行每列3個(gè)數(shù)的和都是15，而且兩條主對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)的。西方人大約在14世紀(jì)才開始研究幻方構(gòu)造。比我國(guó)晚約2020年。學(xué)家劉徽在公元263年又有所發(fā)展，而西方出現(xiàn)類似的方法晚于公元390年。里才重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)。數(shù)的概念是由人類生產(chǎn)和生活的實(shí)踐需要而逐漸形成和發(fā)展起來的。為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問題，人們又。有理數(shù)和無理數(shù)的全體組成實(shí)數(shù)。解下去時(shí)，促使人們考慮數(shù)的概念還應(yīng)繼續(xù)發(fā)展。到16世紀(jì)，人們開始。的自然數(shù)，但是自然數(shù)沒有最大的。這個(gè)“35”，既可以表示這橫隊(duì)共有35個(gè)學(xué)生，也可以。表示站在排尾的這個(gè)學(xué)生是第35號(hào)。的自然數(shù)叫做基數(shù)；用來表示事物次序的自然數(shù)叫做序數(shù)。個(gè)“五”可以表示一只手共有五個(gè)手指，也可以表示小指是第五號(hào)。

　　

【正文】 1， 2， 3，?， n）， ai、 bi 可以是零。 這個(gè)性質(zhì)，是減法法則的依據(jù)。 例如： 3617628 =（ 3 千 +6 百 +4 拾 +7） （ 6百 +2拾 +8） =（ 3 千 +6 百 +3 拾 +17 ） （ 6 百 +2 拾 +8） =3 千 +（ 6 百 6 百） +（ 3 拾 2 拾） +（ 178） =3 千 +1拾 +9 =3019 為了簡(jiǎn)便，可用豎式計(jì)算： ？ 多位數(shù)的減法，通常用豎式計(jì)算。法則是： （ 1）相同數(shù)位對(duì)齊； （ 2）從個(gè)位減起； （ 3）被減數(shù)某數(shù)位上的數(shù)不夠減時(shí)，就要向相鄰較高數(shù)位退 1 當(dāng) 10，并與本數(shù)位上的數(shù)加在一起，然后再減。 例如： 3074896=2178 為什么減法法則是這樣規(guī)定的呢？這是根據(jù)減法的“和”減“和”的性質(zhì)規(guī)定的。 以內(nèi)數(shù)的退位減法有幾種算法？ 以 一題為例，說明幾種不同的思考過程。 （ 1）用加算減。由于減法是加法的逆運(yùn)算，可以用加法來計(jì)算減法。通常叫做以加代減。 158=？ 這樣想：因?yàn)?8加 7等于 15，所以 15 減 8 等于人。 ① 8+7=15 ② 158=7 （ 2）破 10法。先用 10 減去減數(shù)，再把所得的差加上被減數(shù)中的個(gè)位數(shù)。 158=？ 這樣想：因?yàn)?10減 8等于 2， 2加 5等于 7；所以， 15 減 8等于 7。 ① 108=2 ② 2+5=7 （ 3）連減法。先把減數(shù)分成兩部 分，使一部分與被減數(shù)的個(gè)位數(shù)相等，另一部分暫且叫做“多余的部分”。然后，先從被減數(shù)里減去與它個(gè)位數(shù)相等的那一部分減數(shù)，再用 10減去減數(shù)中的多余的部分。 158=？ 這樣想：因?yàn)?15 減 5 等于 10， 10 再減 3等于 7；所以，15 減 8 等于 7。 ① 155=10 ② 103=7 這一種計(jì)算方法，如果運(yùn)用熟練以后，這道題可以直接用 10 減去 3就是所求的得數(shù)了。 這個(gè)“ 3”是怎樣找出來的呢，就是減數(shù)比被減數(shù)的個(gè)位數(shù)多的那一部分，就是前面所說的“多余的部分”?？梢院?jiǎn)化成一句話 ：多 3 得 7。由此推得： 157=8（因?yàn)?7比 5多 2，所以多 2得 8） 148=6（因?yàn)?8比 4多 4，所以多 4得 6） 167=9（因?yàn)?7比 6多 1，所以多 1得 9） 138=5（因?yàn)?8比 3多 5，所以多 5得 5） ?? 在計(jì)算這幾個(gè)減法題的過程中，用到“多 2得 8”“多 4 得 6”“多1 得 9”“多 5得 5”，可以看出一條規(guī)律，就是使這個(gè)“多余的部分”與得數(shù)相補(bǔ)為 10。 20 以內(nèi)數(shù)的加、減法是多位數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)？ 先從多位數(shù)加減法看。在計(jì)算多位數(shù)的加減法過程中，總是一位數(shù)對(duì)一位數(shù)地 相加及相減。兩個(gè)一位數(shù)相加的和，或是得幾或是得十幾，不超過 20。與其相對(duì)應(yīng)的減法或是幾減幾或是十幾減幾，總稱為 20以內(nèi)數(shù)的加、減法。為了使多位數(shù)加減法的計(jì)算正確而迅速，首先應(yīng)熟練掌握 20 以內(nèi)數(shù)的加、減法。 例如： 在計(jì)算過程中有： 4+9=13， 5+2+1=8， 3+7=10。（ 20以內(nèi)數(shù)的 1083 加法） 又如： 5346 在計(jì)算過程中有： 66=0， 149=5， 1318=4， 513=1。（ 20 以內(nèi)數(shù)的減法） 再?gòu)亩辔粩?shù)的乘、除法看，在計(jì)算多位數(shù)乘、除法的過程中，既要用到乘法口決，也要用到加、減法。 例如： 在計(jì)算過程中用到 20 以內(nèi)加法的地方有： 8＋ 0=8， 5＋ 6=11， 8＋ 1＋ 2=11。 又如： 在計(jì)算過程中用到了 20 以內(nèi)減法的地方有： 168=8， 1418=5. 211=0， 114=7. 816=1， 55=0。 總之，在多位數(shù)四則計(jì)算中，常常要用到 20 以內(nèi)數(shù)的加、減法。因此，在教學(xué) 20 以內(nèi)數(shù)的加、減法時(shí)，要使學(xué)生算得正確而迅速，如果能夠達(dá)到脫口而出的程度，就更好了。 、減法需要哪些基礎(chǔ)知識(shí)？ 需要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)主要有以下幾點(diǎn)： （ 1）要熟練掌握 10以內(nèi)數(shù)的加、減法及 20以內(nèi)數(shù)的進(jìn)位加法、退位減法的口算。在計(jì)算多位數(shù)加、 減法時(shí)，一般都要分解成一位數(shù)的加法或減法，而一位數(shù)的加減法不外乎 10 以內(nèi)的加減或者 20 以內(nèi)的加減，這些計(jì)算比較簡(jiǎn)單，用口算就可以了。為了使學(xué)生能夠正確、迅速計(jì)算多位數(shù)加、減法，應(yīng)熟練掌握 10 以內(nèi)加、減法及 20 以內(nèi)進(jìn)位加法、退位減法的口算是十分必要的。 （ 2）要使學(xué)生懂得進(jìn)位、退位的道理并且能夠正確運(yùn)用進(jìn)位、退位法則。計(jì)算多位數(shù)加、減法的時(shí)候，經(jīng)常遇到進(jìn)位、退位的情況。計(jì)算時(shí)要注意標(biāo)明進(jìn)位、退位的記號(hào)，免得忘記了進(jìn)位、退位的數(shù)而發(fā)生錯(cuò)誤。計(jì)算熟練以后，進(jìn)位、退位記號(hào)就可以不標(biāo)了。 （ 3）正確運(yùn)用豎式進(jìn) 行計(jì)算。加法、減法豎式是人們經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐創(chuàng)造出來的一種格式，在書寫時(shí)要特別注意相同數(shù)位對(duì)齊。 “口算是筆算的基礎(chǔ)”？ 下面我們以一道“三位數(shù)和三位數(shù)相乘”的題目為例，研究一下在筆算過程中，一般需要多少次的口算。 例如： ① 9 7=63 ② 8 7+6=62 ③ 3 7+6=27 ④ 9 4=36 ⑤ 8 4+3=35 ⑥ 3 4+3=15 ⑦ 9 6=54 ⑧ 8 6+5=53 ⑨ 3 6+5=23 ⑩ 2+6=8 ⑾ 7＋ 5＋ 4=16 ⑿ 2＋ 5＋ 3＋ 1=11 ⒀ 1＋ 3＋ 1=5 如果按照運(yùn)算符號(hào)統(tǒng)計(jì)一下，這道筆算題用了 23次口算，假如有一次口算出了錯(cuò)誤，這道題的結(jié)果就錯(cuò)了。不難看出，口算是筆算的基礎(chǔ)。 乘法筆算如此，除法筆算也是這樣。特別是當(dāng)除數(shù)是兩、三位數(shù)的時(shí)候，在試商過程中，要用到兩、三位數(shù)乘以一位數(shù)的口算。加法、減法的筆算更離不開 10 以內(nèi) 的加、減和 20 以內(nèi)的進(jìn)位加法、退位減法的口算。 總之，加、減、乘、除的筆算，在計(jì)算過程中，每一步都要依靠口算求出結(jié)果。要使最后的結(jié)果正確，必須保證每一步的口算不出錯(cuò)誤才行。因此，在教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)口算訓(xùn)練是必要的。 ？ 我們這里說的是非負(fù)整數(shù)。在比較兩個(gè)整數(shù)的大小時(shí)，分兩種情況說明。 （ 1）如果兩個(gè)整數(shù)的位數(shù)不相同，那么位數(shù)多的整數(shù)較大。 例如： 3275＞ 978； 216＞ 89。 （ 2）如果兩個(gè)整數(shù)位數(shù)相同，就從最高位開始比較。最高位上的數(shù)字較大的那個(gè)整數(shù) 較大。如果最高位上的數(shù)字相同，就比較第二高位上的數(shù)字，第二高位上的數(shù)字較大的那個(gè)整數(shù)較大。如果第二高位上的數(shù)字也相同，再比較第三高位上的數(shù)字，??如果所有的數(shù)字都相同，那么這兩個(gè)整數(shù)就相等。 例如： 2459＞ 2437； 3862＞ 3861； 4705=4705。 ，需要哪些基礎(chǔ)知識(shí)？ 要掌握多位數(shù)的讀法，需要以下 3點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)： （ 1）要掌握前 10 個(gè)自然數(shù)的名稱、順序和計(jì)數(shù)單位的名稱、順序。就是要掌握一、二、三、四、五、六、七、八、九、十的名稱和順序以及個(gè)、十 、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億等計(jì)數(shù)單位的名稱、順序。 （ 2）要知道計(jì)數(shù)法的十進(jìn)位制度。我們數(shù)數(shù)，采用的是十進(jìn)位制度，也就是某一個(gè)單位的 10 倍組成與它相鄰的較高的 1 個(gè)單位。即 10 個(gè)一是1 個(gè)十， 10個(gè)十是 1個(gè)百， 10個(gè)百是 1個(gè)千， 10個(gè)千是 1個(gè)萬?? （ 3）要學(xué)會(huì)四位一級(jí)的讀數(shù)法。為了使用較少的名稱，能夠數(shù)出較大的數(shù)來，人們創(chuàng)造了數(shù)的分級(jí)的辦法。我國(guó)使用的是四位一級(jí)的讀數(shù)制度，即個(gè)、十、百、千四個(gè)單位做為第一級(jí)，叫做個(gè)級(jí)；萬、十萬、百萬、千萬四個(gè)單位做為第二級(jí)，叫做萬級(jí)；億、十億、百億、千億四個(gè)單 位做為第三級(jí)，叫做億級(jí)；等等。 要掌握多位數(shù)的寫法，還需要以下 4 點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)： （ 1）要掌握 0，這 10 個(gè)數(shù)字的寫法。字要寫得規(guī)范、美觀。 （ 2）要學(xué)會(huì)阿位伯寫數(shù)法的位值原則及用 0占位的方法。當(dāng)遇到哪一位上一個(gè)單位也沒有時(shí)，就寫 0，用 0占位。 （ 3）要牢記數(shù)位的順序。特別要記清楚第五位是萬位，第九位是億位。 （ 4）要了解三位一節(jié)的分節(jié)法。寫較大的數(shù)，有一個(gè)分節(jié)的問題，每三位一節(jié)。我國(guó)政府在 1950 年曾有通知：“??，為取得全國(guó)一致，并和國(guó)際習(xí)慣符合起來，今 特規(guī)定數(shù)字的分位方法為三位制，??”。后來，我國(guó)國(guó)家語言文字工作委員會(huì)等七個(gè)部門頒布《關(guān)于出版物上數(shù)字用法的試行規(guī)定》中指出：節(jié)與節(jié)之間空半個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字的位置。 例如： 28 613 900 讀作：二千八百六十一萬三千九百。 985 470 000 讀作：九億八千五百四十七萬。 以上講的，就是讀、寫多位數(shù)時(shí)，必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，針對(duì)小學(xué)生的年齡特征，根據(jù)他們的接受能力，把這 7項(xiàng)基礎(chǔ)知識(shí)，由淺入深地分別編排在各個(gè)年級(jí)，與計(jì)算法則相互配合，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)。教學(xué)時(shí)，要把每一項(xiàng)知識(shí)講解 清楚并加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生打好基礎(chǔ)，最后，能夠熟練掌握多位數(shù)的讀、寫法。 “ 0”的連續(xù)退位的減法怎樣計(jì)算呢？ 我們舉出一道題來說明。 例如： 20063=137 計(jì)算這道題，難在什么地方呢？主要的是：個(gè)位的 0減 3不夠減，需要從十位退 1，可是十位上還是 0，初學(xué)的時(shí) 候，就覺得困難了。教學(xué)時(shí)，可以這樣講：十位是 0，可以從百位退 1，百位的 1是 10 個(gè)十，再?gòu)倪@ 10個(gè)十里面退 1個(gè)十變?yōu)?10 個(gè)一， 10個(gè)一減去 3 個(gè)一得 7 個(gè)一，在得數(shù)的個(gè)位上寫 7；十位上還剩9個(gè)十，減去 6 個(gè)十，得 3個(gè)十，在得數(shù)的十位上寫 3；百位上的 2 退走了 1，還剩 1個(gè)百，在得數(shù)的百位上寫 1。結(jié)果得 137。 也可以講得簡(jiǎn)單些：個(gè)位的 0，減 3不夠減，從十位退 1是 10， 10減 3得 7（十位上雖然是 0，暫時(shí)退 1），十位的 0，減 6不夠減，從百位退 1 是 10 個(gè)十，10個(gè)十先去掉退走的 1個(gè)十，還剩 9個(gè)十， 9減 6得 3，百位剩 1。結(jié) 果得 137。 為了防止學(xué)生忘記退走的“ 1”而發(fā)生錯(cuò)誤，應(yīng)注意標(biāo)明退位記號(hào)“”。通常叫做退位點(diǎn)。 ？ 我們知道，減法是加法的逆運(yùn)算。 例如，加法： 230+370=600 減法： 600230=370 600370=230 一般地，加法： a+b=c 減法： ca=b cb=a 可以看出，加法中的和相當(dāng)于減法中的被減數(shù)，加法中的一個(gè)加數(shù)相當(dāng)于減法中的減數(shù)（或差），另一個(gè)加數(shù)相當(dāng)于減法中的差（或減數(shù)）。 、減法怎樣驗(yàn)算嗎？ 檢查加法 運(yùn)算是否正確的方法叫做加法的驗(yàn)算。加法的驗(yàn)算 方法如下： （ 1）根據(jù)加法交換律，把加數(shù)交換位置后，再加一次，如果計(jì)算是正確的，兩次加得的結(jié)果應(yīng)該相同。 （ 2）用減法驗(yàn)算。把加法所得的和減去其中的一個(gè)加數(shù)，如果計(jì)算是正確的，減得的結(jié)果應(yīng)該等于另一個(gè)加數(shù)。 檢查減法運(yùn)算是否正確的方法叫做減法的驗(yàn)算。減法的驗(yàn)算方法如下： （ 1）用加法驗(yàn)算。把所得的差與減數(shù)相加，如果計(jì)算是正確的，那么所得的結(jié)果應(yīng)該等于被減數(shù)。 （ 2）用減法驗(yàn)算。從被減數(shù)中減去所得的差，如果計(jì)算是正確的，那么所得的結(jié)果應(yīng)該等 于原來的減數(shù)。 ，如果被減數(shù)、減數(shù)有變化，它們的差將會(huì)有什么變化？ 變化的規(guī)律有： 規(guī)律 1 如果被減數(shù)增加一個(gè)數(shù)，減數(shù)不變，那么它們的差也增加同一個(gè)數(shù)，即： 如果 7030=40，那么（ 70+10） 30=40＋ 10 一般地：如果 ab=c，那么（ a+m） b=c+m 規(guī)律 2如果被減數(shù)減少一個(gè)數(shù)，減數(shù)不變，那么它們的差也減少同一個(gè)數(shù)。即： 如果 7030=40，那么（ 7010） 30=4010 一般地： 如果 ab=c，那么（ am） b=cm 規(guī)律 3如果減數(shù)增加一個(gè)數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差就減少同一個(gè)數(shù)。即： 如果 15050=100，那么 150（ 50+30） =100— 30 一般地： 如果 ab=c，那么 a（ b＋ m） =cm 規(guī)律 4如果減數(shù)減少一個(gè)數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差就增加同一個(gè)數(shù)，即： 如果 15050=100，那么 150（ 5030） =100+30 一般地： 如果 ab=c，那么 a（ bm） =c+m 規(guī)律 5如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個(gè)數(shù)，那么它們的差不變。即： 如果 380180=200 那么（ 380+20） （ 180+20） =200 （ 38080） （ 18080） =200 一般地： 如果 ab=c 那么（ a+m）