【導(dǎo)讀】常微分方程是微積分學(xué)的重要組成部分，廣泛用于具體問(wèn)題的研究中.求解常微分的。的目的來(lái)解決問(wèn)題.本文就是對(duì)不同類型的常微分方程的解法及其求解技巧的系統(tǒng)總結(jié)：。先介紹求解常微分方程的幾種初等解法，如變量分離法，常數(shù)變易法，積分因子法等，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)不同類型的方程求解，揭示常微分方程的求解規(guī)律.然后介紹幾類。數(shù)學(xué)分析的心臟，它還是高等分析里大部分思想和理論的根源.人所共知，常微分方程?，F(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置。這些問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題.常微分方程。具有廣泛的社會(huì)實(shí)踐性，無(wú)論是在各類學(xué)科領(lǐng)域上，還是在實(shí)際生產(chǎn)生活中，都有舉足。輕重的作用．它所涉及范圍之廣，致使前人對(duì)它做了很深入的研究．應(yīng)用常微分方程理。微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種自然的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)。生，而又成為現(xiàn)代科學(xué)技

　　

【正文】 分因子的實(shí)質(zhì)是把求解微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)換為尋求積分因子的方法，這種方法體現(xiàn)了一種以退為進(jìn)的創(chuàng)新思維，這種思維方式的轉(zhuǎn)變還是值得我們學(xué)習(xí)的 . 以上總結(jié)了常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進(jìn)行求解，這是最基本的要求 .但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過(guò)的方程類型，因此要注意學(xué)習(xí)解題的技巧，善于根據(jù)方程的特點(diǎn)，引進(jìn)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將方程化為能求解的新類型，從而求解 . 下面是幾類方程之間 的關(guān)系圖： 15 這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問(wèn)題，更能深刻的體會(huì)到常微分方程幾種解法之間的聯(lián)系及其巧妙之處 . 幾個(gè)重要的變換技巧及實(shí)例 常微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強(qiáng)，有時(shí)能用不同方法解決同一問(wèn)題，因此我們也要熟悉常微分方程幾類初等解法之間的聯(lián)系及優(yōu)劣，從而能快速的找到最優(yōu)解法 .下面以例題來(lái)介紹“變換”的技巧和規(guī)律 . 變 dxdy 為 dydx 若微分方程 為（或可轉(zhuǎn)換為） ? ?? ?yxg yxfdxdy ,? , 當(dāng) ? ?? ?yxf yxg , 較 ? ?? ?yxg yxf , 簡(jiǎn)單時(shí)，可變變 dxdy 為 dydx ，此時(shí)方程變?yōu)? ? ?? ?yxf yxgdydx ,? , 經(jīng)此變換后方程可能是前面所介紹的某類方程 . 齊次方程 ),(),(/ yxNyxMdxdy ? uxy ?/ )0( /1),( ?? ??yNxM yNxMyxu (1 )nyz? ? ?? ? dyxpexu )()( dxxpnneyyxu )()1(),( ????? 可分離變量方程 )()(/ yNxMdxdy ? 方程 伯努利方程 nyxqyxpdxdy )()(/ ?? 全微分方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP 一階線性方程 )()(/ xqyxpdxdy ?? dyxpexcy ?? ? )()( )(/1)( yNyu ? 16 例 求方程 yx xydxdy ??22的通解 解 令 ? ? xyyxf 2, ? ， ? ? yxyxg ?? 2, ，因此原方程不屬于前面所介紹的各類方程，但 ? ?? ? xyxyxf yxg 212, ?? ， 所以 xyxdydx 212 ?? ， 方程屬于伯努利方程 . 令 2xz? ， dydxxz 239。 ? ，方程變?yōu)?1??yzdydz . 解之得 )( ln)(2 cyycdyeezx ydxydx ??????? ?. 分項(xiàng)組合法組合原則 分項(xiàng)組合法的關(guān)鍵在于組合，組合的原則為： (1) 分項(xiàng) 后，若存在只與 dx 和 x 相關(guān)的項(xiàng)，或只與 dy 和 y 相關(guān)的項(xiàng)，應(yīng)為獨(dú)立項(xiàng)，不與其它項(xiàng)組合 . (2) 所有微分相關(guān)項(xiàng)組合成一項(xiàng) . 例 求方程 0)32(143 2 ??? dyy xyedxy y的通解 . 解 求解過(guò)程如下 (1) 拆項(xiàng) dyy xdyyedxydyy xyedxy yy4343 321)32(1 22 ?????. (2) 組合 dyyey22 與 dy 相關(guān)，應(yīng)單獨(dú)為一項(xiàng)， 43 31 ???????????? yy ， 1??x ， 3ydx和 dyyx43?為全微分相關(guān)項(xiàng)，應(yīng)組合成新的一項(xiàng) . (3)將方程轉(zhuǎn)換成分組全微分方程 因?yàn)?222 yy dedyye ? ， ?????????? 343 31 yxddyyxdxy，所以原方程轉(zhuǎn)化為 17 0)( 33 22 ???????????? yxedyxdde yy , 通解為 cyxey ?? 32 . 積分因子選擇 總所周知，當(dāng)微分方程為非恰當(dāng)?shù)臅r(shí)需借組積分因子將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)?shù)?，全微分方程的?biāo)準(zhǔn)格式為 ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 1 2 31 1 1 ????????? ??? ? ?? ? ?ni ni ni iii yqxgyxfdyxu , 其中 01?n ， 02?n ， 03?n . 0),( ?yxu 通常稱為積分因子，一般常微分方程需經(jīng)過(guò)恒等變化才能轉(zhuǎn)化成上式 .有上式可直接得到方程的解為 ? ? ? ? ? ? cyqxgyxfni ni ni iii ???? ? ?? ? ?1 2 31 1 1, . 解常微分方程時(shí)，積分因子是重新組合后各項(xiàng)的公因子，解題關(guān)鍵仍在于組合 . 例 求方程 ? ? 022 ??? xy dxdyyx 的通解 . 解 ? ? x y d xy d ydyxx y d xdyyx 22 22 ????? ， (1) 分項(xiàng)重新組合：因?yàn)?ydy 獨(dú)立微分項(xiàng)，應(yīng)為單獨(dú)一項(xiàng)； (2) 找積分因子 : 022 ?? xyd xdyx 不是全微分方程 .由于微分方程中 dx 前的函數(shù)是冪函數(shù)，但符號(hào)為負(fù)， dy 前的函數(shù)是冪函數(shù)符號(hào)為正，故一定要使函數(shù)之一為負(fù) .因?yàn)? yxddxyxdyyxx y dxdyxy22222 2)2(1 ??????， 所以積分因子為21y?.由此有 0ln)2(1 222 ?????? yxdydx y dxdyxy dyy , 所以通解為 cyxy ?? 2ln . 歸納起來(lái)，在我們求解已解出導(dǎo)數(shù)的常微分方程時(shí)，常常根據(jù)所給方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 18 設(shè)法做出適當(dāng)變換，將其化為可分離變量的方程或其他易于求解的類型 .在求解以微分形式出現(xiàn)的常微分方程是，應(yīng)先 考慮分項(xiàng)組合法 .因此在解題過(guò)程中注重應(yīng)用上述技巧將使得方程的解答相對(duì)比較簡(jiǎn)練快捷 . 參考文獻(xiàn) [1] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松等．常微分方程（第三版） [M]．北京：高等教育出版社， 2020：3060. [2] 許敏偉，吳炳華 . 變量代換法在求解微分方程問(wèn)題中的應(yīng)用 [J]. 徐州教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 7172. [3] 焦洪田 .一階非線性微分方程的常數(shù)變易法 [J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào) , 1999（ 6）： 4445. [4] 龔雅玲 .求解微分方程的積分因子法 [J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào) , 2020, 22(1)： 3135. [5] 伍軍 .求解積分因子的幾種方法 [J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ) ,2020, 25(1)： 103109. [6]孫清華，李金蘭，孫昊 .常微分方程內(nèi)容﹑方法與技巧 [M] 武漢：華中大學(xué)科技出版社 .2020： 810. [7] 潘鶴鳴．幾種特殊類型積分因子的求法及在解微分方程中的應(yīng)用 [J]． 巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020（ 3）：1822． [8] 鄧小青 .一類常微分方程初的等解法淺析 [J].湖南商學(xué)院學(xué)報(bào) , 2020, 22(1)： 7374. [9] 吳淼生．關(guān)于非恰當(dāng) 方程 0Mdx Ndy??積分因子的求法 [J]．宜春師專學(xué)報(bào)， 1994（ 2）： 1523． [10] 徐勝林 .《常微分方程》例題分析 [J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版） ,2020,18(02):2223. 19 致 謝 本次畢業(yè)論文是在老師的精心指導(dǎo)下完成的，在論文的構(gòu)思和寫作過(guò)程中，首先要感謝楊潔老師對(duì)我的細(xì)心指導(dǎo) ． 從楊老師身上，我不僅學(xué)到了治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)精神，而且也學(xué)到了做人的態(tài)度，這讓我受益匪淺 .所以，在此我要向楊老師表示最衷心得感謝和最深厚的敬意 ． 然后也要 感謝張芳老師、申進(jìn)老師以及大學(xué)期間的所有任課老師，感謝他們的教導(dǎo)與幫助 ． 同時(shí)，我想感謝我的父母，感謝他們對(duì)我多年的養(yǎng)育之恩 ． 他們給了我溫暖的家和無(wú)私的愛，沒(méi)有他們二十多年來(lái)的關(guān)心和支持，我無(wú)法想象自己能夠順利地完成學(xué)業(yè) ． 由于這次撰寫畢業(yè)論文的時(shí)間較短，加上本人的水平有限，所以論文還有許多的不足之處 ． 在此也懇請(qǐng)各位專家和教授給予批評(píng)與指導(dǎo) ． 最后向所有關(guān)心和幫助過(guò)我的老師和同學(xué)表示由衷的感謝 ．