常微分方程初等解法及其求解技巧畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-01 14:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分離方程 . 做變量替換 2xyu?, 則，有 xu dxduxdy 22 ?? () 將（ ）代入 ()中，得 ? ? dxxduuuf 121 ?? ， 所以，原方程同樣是變量可替換方程 . 類型 6：形如 )(xyfdxdyyx ? () 的方程是變量分離方程 . 做變量替換 xyu? , 則 2xuxdxdudxdy ?? () 代入原方程，得 ? ? dxxduuufu 11 ?? , 是變量分離方程 . 類型 7：形如 ?? byaxdxdy ?? () 其中 ? 、 ? 滿足 ???? ?? ）的方程 . 可令 1?? ?zy ，方程 ()化為齊次方程 ???????? ?????????? bxzdxdz??? 11， 事實(shí)上 7 ( 1)dy dzzdx dx???? ， 由于 ???????? ??? bzxbzxbyxdxdz ?????? ?， 所以 ? ? ???? bzaxdxdzz ??? 1 ， 即 ? ????????? ?????????? bxzdxdz??? 11， 再設(shè) xzu? ，可化為變量分離變量 . 變量分離求解方程是一種相當(dāng)簡潔的解法，也是最基本的解法，求解變量可分離的微分方程，關(guān)鍵是在正確的分離變量與計(jì)算不定積分，要理解隱式解存在的根據(jù)是隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，并應(yīng)該注意 不要遺漏可能存在的常數(shù)解 . 對(duì)于比較復(fù)雜的方程，需經(jīng)過變量替換或等價(jià)變形使之轉(zhuǎn)換成變量分離方程，最后利用變量分離求解，變量代換是求解一階微分方程的一種重要方法，在一階微分方程的初等解法中具有重要的作用 . 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過求解待定函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)而求出原方程通解，常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量變換方法，通過變換可將方程化為變量分離方程 . 一階線性非齊次微分方程的常數(shù)變易法 對(duì)于一階線性齊次方程 0)( ??? yxpy ，它的通解為 ?? ? dxxpcey )( .從此出發(fā)，將通解中的任意常數(shù) c 換成待定函數(shù) )(xu ，假設(shè) ?? ? dxxpexuy )()( （ ） 為一階線性非齊次方程 )()( xqyxpy ??? （ ） 的解 ，為了確定 )(xu ，將（ ）代入（ ）的左邊，得到 ????? ? dxxpexuyxpy )()()( . 從而得到 )()( )( xqexu dxxp ??? ? ， 8 即 ??? dxxpexqxu )()()( ， 積分后得到 cdxexqxu dxxp ??? ? )()()( ， 其中 c 為任意常數(shù) .把 )(xu 代入（ ）中，得到方程（ ）的通解為 ))(( )()( cdxexqey dxxpdxxp ???? ?? . 這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常被稱為常數(shù)變易法 . 例 解方程 xd ydxyxy ?? )1( 22 . 解 方程變形為 3xyxydxdy ?? ，令 2??yz ，則 dxdyydxdz 32 ??? ， 代入變形方程為 xzxdxdz 22 ??? ， 利用常數(shù)變易法，其中 xxp 2)( ? ， xxq 2)( ?? ，則它的通解為 222 xcxz ??? ， 代回原來的變量 y ，得到 222 21 xcxy ???,即原方程的通解為 cxyx ?? 2422 . 此外，方程還有解 0?y . 一階非線性微分方程的常數(shù)變易法 個(gè)別的一階非線性微分方程，可用常數(shù)變易法求解，下面介紹四種形式非線性微分方程的常數(shù)變易法，包括齊次方程、貝努力方程和黎卡提方程等的常數(shù)變易法 . xydxdy? （ ） 對(duì)這種方程的解法，在一般教科書中都是首先把它化為可分離變量方程，然后根據(jù)可分離變量方程的解法去解，在這里我們可以直接用常數(shù)變 易法求解 . 9 根據(jù)常數(shù)變易法，先求出原方程“對(duì)應(yīng)”的齊次方程 xydxdy? 的通解為 cxy? , 再令 xxcy )(? （ ） 則有 ? ?)()()()( xcgxcxcxxc ???? ， 即 ? ?xxcgdxxdc )()( ? ，即 ? ? xdxxcg xdc ?)( )( . 兩邊積分就可以求出 )(xc ,然后再代入（ ），便得原方程的通解 . 例 求方程 xyxyyx tan??? 的通解 . 解 將方程改寫為 xyxydxdy tan?? ，可以求得它“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程 xydxdy? 的通解為 cxy? ，再令 xxcy )(? ，代入原方程可得 )(tan)( xcxdxxdc ? , 即 xdxxcxdc ?)(tan )( ， 兩邊積分得 cxxc ?)(sin （其中 c 是任意常數(shù)）， 代回變量，得原方程的通解為 cxxy?sin （其中 c 是任意常數(shù)） . 2． 伯努利微分 nyxQyxpdxdy )()( ?? （ ） 其中 )(xP , )(xQ 為 x 的連續(xù)函數(shù) , ( 0,1)n? .對(duì)于伯努利方程，在一般的教科書上都是先把它化為線性方程，然后根據(jù)線性方程的求解方法去解，在這里我們直接用常數(shù)變易法去求解 . 根據(jù)常數(shù)變易法，先求它“對(duì)應(yīng)”的齊次線性方程 yxpdxdy )(? 的通解 ?? dxxpcey )( . 令 ?? dxxpexcy )()( ,代入（ ）得， ???????? dxxpnndxxpdxxpdxxp excxQexpxcexpxcexc )()()()( )()()()()()()( ， 即 10 ??? ? dxxpnn excxQxc )()1()()()( ， 所以 dxexQxcdxc dxxpnn ?? ?? )()1()()]([)( ， 解得 11)()1( ])()1[()( ??? ???? ndxxpn cdxexQnxc ， 所以（ ）的通解為 11)()1()( ])()1[( ??? ????? ndxxpndxxp cdxexQney . 利用此公式可求出任 一 伯努利方程的通解 . 例 求方程 xyxydxdy ??6 的通解 . 解 可以判斷此方程為 伯 努力方程，這里 xxp 6)( ? ， xxQ ??)( ， 2?n ,原方程“對(duì)應(yīng)”的齊次方程為 xydxdy 6?
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