【導(dǎo)讀】行更加深入的研究。前人已經(jīng)對歐式期權(quán)定價進行了很深入的研究，在1973年Fischer. Black和MyronScholes建立了看漲期權(quán)定價公式并因此獲得諾貝爾學(xué)獎。例分析，并得出簡單的結(jié)論。本文將從以下六個方面討論。究Black-Scholes模型，通過求解Black-Scholes方程得到Black-Scholes公式。，就可以求出與之相匹配的二項式模型中的u，d和q；

　　

【正文】 t? 時，股票價格按照 上升比例和下降比例出現(xiàn)兩種可能： Su 和 Sd ，以此類推，在一般情況下， it? 時刻，股票價格有 1i? 種可能，它們是 j i jSud? ， 0,1,ji? … ， 期權(quán)的計算是從數(shù)圖的末端 (時刻 T)開始向后倒退進行的，即 T 時刻的期權(quán)已知。 而前面各個時刻的期權(quán)價格均可以通過 u ， d 和 q 的值推導(dǎo)出來，這樣我們就能求出零時刻的期權(quán)值。 圖 3 二叉樹圖模型時的股票價格完整數(shù)圖 實例分析 例 ： 2020 年 10 月 18 日，模擬交易參與者小王認(rèn)為某只 3 期股票會上漲，于是決定買看漲期權(quán)，該股票現(xiàn)在市場價格為 100 元，執(zhí)行價為 105 元，股票的價格一期只發(fā)生兩個變動，一個是上 漲到 110 元，一個是下降到 90 元，市場的無風(fēng)險利率為 5%， 求 20 該期權(quán)當(dāng)期的理論價格是多少？ 我們首先構(gòu)造一個既可以反映三期的股票價格又可以反映三期 ( 3t? )的期權(quán)價格的二叉樹圖 (如圖 4)。 圖 4 三期的股票和三期的期權(quán)價格二叉樹圖 解：由題意得 0 100S ? ? 105X? ? ? (1 ) 0 .7 5rdq ud????? 因為該期權(quán)是看漲期權(quán)，所以當(dāng) T=3 時期權(quán)價格 33m ax( , 0)jjC S X??， 由此可求得 T ， 31 ? ， 32 0C? ， 33 0C? 。 由公式 ()得當(dāng) 2T? 時20 1 ( 0 . 7 5 * 2 8 . 1 0 . 2 5 * 3 . 9 ) 2 11 0 . 0 5C ? ? ??。 同理得 21 ? ， 22 0C? ， 10 ? ， 11 ? ， 00 ? 。 所以得到當(dāng)期期權(quán)價格為 00 ? 。 現(xiàn)在用 C 語言表示這個過程 (程序見附錄 ) 21 運行程序出現(xiàn)： 圖 5 C 語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)： 圖 6 輸入上述要求的值 得出結(jié)果： 圖 7 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 這個程序不僅僅是解這道題，程序中的期權(quán)到期時間 T ，股票零時刻價格 00S ，利率r ，股票價格上升比例 u ，股票價格下降比例 d ，最后期權(quán)執(zhí)行價格 X ，自己可以針對任何題目輸入相關(guān)數(shù)值得出當(dāng)期的期權(quán)價格 00C 。 在例 中我們得知了股票價格上升比例 u ，股票價格下降比例 d ，但是在實際中我們能夠估計的更多是波動率 ? ，所以我們來介紹當(dāng)只知道 ? 時期權(quán)的計算。 例 ： 考慮一個不付紅利股票的 5 個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為 50 元，執(zhí)行價格為 50，無風(fēng)險利率為每年 10%,波動率為每年 40%，為構(gòu)造一個二叉樹，我們把期權(quán) 22 的有效期分為十個時間段，每個時間段長度為半個月， (= 年 )，則 ?? ，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 解：由于期數(shù)較大，手工計算會比較麻煩，編寫 C 語言程序去實現(xiàn)這個結(jié)果 (程序見附錄 )[9][10]： 運行程序出現(xiàn)： 圖 8 C 語言程序運行的結(jié)果 輸入數(shù)據(jù)： 圖 9 輸入上述要求的值 得出結(jié)果： 圖 10 程序運行之后各時刻期權(quán)的價格 23 由圖可讀出期權(quán)的價格為 00 ? 。 在 t 取不同的值時，期權(quán)現(xiàn)值會有所不同，運行結(jié)果如下。 表 1 t 取不同值時，期權(quán) 的現(xiàn)值 t 00C 3 5 10 從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) t 取得越大， 離期權(quán)到期日越短，在其他參數(shù)一樣的條件下，離到期日越短的期權(quán)，價值越小。 BlackScholes 公式 (歐式期權(quán)定價 )的數(shù)值計算 有限差分方法 求解衍生證券所滿足的微分方程，可以用有限差分方法，它的方法就是把 微分方程轉(zhuǎn)化為一系列的差分方程，然后再用迭代法求解這些差分方程。為了說明這種方法，我們考慮用它來估算一個不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)。 步驟如下： 步驟 1：首先確定該期權(quán)滿足的微分方程： 22221 02P P PrS S rPt S S?? ? ?? ? ? ?? ? ? () 步驟 2：假定期權(quán)的期限為 T ，將這一期限分成 N 個等間隔，長度為 NTt /?? 的時間區(qū)間?？紤] 1?N 個時間點 Ttt ,2,0 ??? 步驟 3：假定 maxS 為股票的最高價格。定義 MSS /max?? 并同時考慮 1?M 個股票價格 SSS ,2,0 ??? 因此，選取的股票價格和時間構(gòu)成了一個共有 )1)(1( ?? NM 個點的網(wǎng)格。網(wǎng)格上的點 ),( ji對應(yīng)于時間為 ti? ，股票價格為 Sj? 。用變量 ,ijP 代表 ),( ji 點的期權(quán)價格。 步驟 4：運用有限差分方法中的內(nèi)含差分方法對上述偏微分方程進行計算，對于網(wǎng)格 24 內(nèi)部的點 ),( ji ， /PS??可被近似為 , 1 ,i j i jPPPSS? ?? ??? () 或 , , 1i j i jPPPSS??? ??? () 被稱為向前差分近似 (forward difference approximation)；或稱為向后差分近似 (backward difference approximation).將以上兩種差分方程平均，我們可以得出一個對稱的差分方程 , 1 , 12i j i jPPPSS???? ??? () 對于 /Pt??，采用向前差分近似使得 ti? 時刻的價格與 ti ??)1( 的價格發(fā)生關(guān)聯(lián) 1, ,i j i jPPPtt? ?? ??? () 在點 )1,( ?ji 的 /PS??向后差分近似 , 1 ,i j i jPPS? ?? 在點 ),( ji ，對 22/PS??的有限差分近似為 2 , 1 , , , 1 , 1 , 1 ,21( ) / ( )i j i j i j i j i j i j i jP P P P P P PPP SS S S S S S? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? () 步驟 5：將上面多式結(jié)合，且 SjS ?? ，得 1 , , , 1 , 1 , 1 , 1 ,2 2 2 ,2 2122i j i j i j i j i j i j i j ijP P P P P P Prj S j S rPt S S?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? () 其中 1, 2, 1j M? ?… ， ， 10,1 Ni ?? … ， 經(jīng)過合并得： , 1 , , 1 1 ,i j i j jj jj iijP P P Pa b c? ? ?? ? ? () 222222112211122jjja rj t j tb j t r tc rj t j t???? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? () T 時刻看跌期權(quán)的價值為 ? ?max ,0TXS? ，其中 TS 為 T 時刻的股票價格，因此： 25 ? ?, m a x , 0NjP X j S? ? ? () 0,1, 2, Mj ? … ， 當(dāng)股票價格為零時，看跌期權(quán)的價值為 X ，因此： ,0iPX? () 0,1i N? … ， 當(dāng)股票價格趨于無窮大時，看跌期權(quán)的價值是趨于零。因此用近似值 ,iMP j S?? () 0,1i N? … ， ()()和 ()式定義了三個邊界 (即 max0,S S S??和 tT? )的看跌期權(quán)值，還需用 ()式來求出左邊界的 0,jP 值，其中的一個格點就是我們所要求的期權(quán)值。利用 ()和邊界條件，可以寫出 ( 1)Nt??時刻的 1M? 個聯(lián)立方程： 1 , 1 1 , 1 , 1 ,N j N j N j jj Njja b cP P P P? ? ? ? ?? ? ? () 1, 2, 1j M? ?… ， 且 1,0NPX? ? 1, 0NMP? ? 因此解出每個 1,NjP? 的值，依次類推，最后可計算出 0,jP ，當(dāng) jS? 等于初始資產(chǎn)價格時，該格點對應(yīng)的 P 就是所要求的期權(quán)價值。 對內(nèi)含有限差分方法略加修改，使用外推外推有限差分方法假設(shè)點 ),( ji 處的 PS?? 和22PS??與 (, 1)ij? 處的對應(yīng)值相等，即 1, 1 1, 12i j i jPPPSS? ? ? ??? ??? () 2 1 , 1 1 , 1 1 ,22 2i j i j i jP P PPSS? ? ? ? ???? ??? () 相應(yīng)的差分方程修改為： 1 , 1 1 , 1 , 1 ,j jji j i j i j i jPP c Pa Pb??? ? ? ???? ? ? () 其中 26 2222221 1 1()1 2 21 (1 )11 1 1()122jjja rj t j trtb j trtc rj t j trt??????? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? () 0,1, 110,1,ji MN ???? … ，… ， 此即顯性的有限差分方程 [11]。 內(nèi)含和外推有限差分方法在期權(quán)定價中的優(yōu)勢主要在于：當(dāng)格點有規(guī)律很均勻時，把一個偏微分方程化成差分方程式相對比較簡單的。而內(nèi)含和外推兩種方法各有優(yōu)劣。外推方法計算比較直接方便，無需像內(nèi)含方法那樣需要求解大量的聯(lián)立方程，工作量小，易于應(yīng)用。而外推方法卻存在一個缺陷：它的三個概率可能小于零，這導(dǎo)致了這種方法的不穩(wěn)定，它的解有可能不收斂于偏微分方程的解。而下文所提供的 CrankNicolson 差分格式則是求 這兩種方法的平均值。內(nèi)含的有限差分方程 ()給出： 1 , 1 1 , 1 , 1 ,i j i j i j jj ijja b cP P P P? ? ? ? ?? ? ? 外推的有限差分方程 ()給出 : , 1 , , 1 1 ,j jji j i j i j i jP P P Pa b c??? ? ? ?? ? ? 將這兩個方程式進行平均，得到： , 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 , , 1j jji j i j i j i j i j i jj j j i j i jP P P P P Pa b c a b cPP? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 令 , , 1 , , 1, j jji j i j i j iij jg a bP P P c P? ? ???? ? ??， 我們得到 1 , 1 1 , 1 , 1, 1,i j i j ijj ii jjj jg a b cP P P P? ? ? ? ? ?? ? ?? () 這說明使用 CrankNicolson類似于使用內(nèi)含有限差分方法。 CrankNicolson方法的優(yōu)點是它比內(nèi)含的和外推的有限差分方法收斂更快。 實例分析 例 ：考慮一個不付紅利股票的 5 個月期歐式看跌期權(quán)，股票價格為 50 元，執(zhí)行價格為 50 元，無風(fēng)險利率為每年 10%,波動率為每年 40%，求期權(quán)的現(xiàn)值是多少？ 這是一個很簡單的例子，如果運用 BlackScholes 公式計算就可以得出一個數(shù)值，但顯然有更好的方法去解決，用計算機語言把內(nèi)含差分方法描述出來，從而通過計算機解 27 除這個歐式看跌期 權(quán)的值。 解：令 M 、 N 和 S? 的值分別取 20， 10 和 5，根據(jù)已知的 50S? , 50X? , ?? . ? 根據(jù)以上數(shù)值編寫出 matlab 程序語言 (程序見附錄 )[12][13] 按要求輸入數(shù)值： 圖 11 輸入程序已知的值