【正文】 1900年，法國數(shù)學家巴契里耶完成了自已的博士論文“投機理論”，這篇論文是歷史上第一次有人嘗試使用嚴謹?shù)臄?shù)學工具研究并解釋股市的運動，巴契里耶所推導的公式也領先于愛因斯坦的研究，他認為市場價格同時反映過去、現(xiàn)在和將來，但這些事件與價格變動卻沒有明顯的關(guān)系。 股價就象液體的中花粉受到周圍投資者買賣的碰撞而呈現(xiàn)出的波動，波動的范圍與時間的平方根成正比。 巴契里耶原創(chuàng)性的研究可以說是財務學的鼻祖，盡管他生前并沒有太大名氣，就是這篇論文也未能得到最優(yōu)評級，而且論文原稿還遺失了，直到 20世紀 50年代才被另一個統(tǒng)計學家意外地發(fā)現(xiàn)。 人大出版社 對證券市場分形的定量描述 ? 有偏隨機游動與赫斯特指數(shù) – 按照 EMH，股票價格是隨機游動的，即當期的價格已經(jīng)反映了所有可獲得的或公開的信息，未來的價格只能由新的信息決定。 – 即所有投資者立即對價格做出反應，未來與過去或現(xiàn)在都不相關(guān)。 – 但在現(xiàn)實中，證實一個趨勢所需的確認信息的時間是不同的，但對于信息的不均等的消化可能導致一個有偏的隨機游動。這種運動又稱為分數(shù)布朗運動或分形時間序列。 人大出版社 有偏隨機游動與赫斯特指數(shù)（續(xù)） – 赫斯特最先對有偏隨機游動做出全面研究。他提出了重標極差分析法。 – 重標極差是用觀測值的標準差去除極差所得的比率。 – 赫斯特發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)自然現(xiàn)象，包括河水外流、溫度、降雨、太陽黑子，都遵循一種“有偏隨機游動” ——一個趨勢加上噪聲。 – 趨勢的強度和噪聲的水平可以根據(jù)重標極差隨時間的變化情況來度量，即看 赫斯特指數(shù) H比 。 人大出版社 證券市場的 R/S分析 ? 赫斯特指數(shù) – R/S為重標極差； N為觀測次數(shù)； a為常數(shù)； H為赫斯特指數(shù)。 – 赫斯特指數(shù)的類型： ? H=。標志著一個序列是隨機的和不相關(guān)的。 ? 0H；標志著序列是 反持久性的時間序列。 如果一個時間序列在前一個時期是向上走的，那么，它在下一個期間多半向下走。 ? H。標志著序列是 持久性的或趨勢增強的序列 。如果序列在前一個期間是向上（下）走的，那么，它在下一個期間將繼續(xù)是向上（下）的。 ? 趨勢增強行為的強度或持久性，隨 H接近于 1而增強； H越接近于 ，其噪聲越大。 – 赫斯特發(fā)現(xiàn)，自然界和社會生活中，持久性序列很多，資本市場就是其中之一。 HaNSR )(/ ?人大出版社 0 時間序列是標準的隨機游走，收益率呈正態(tài)分布，可以認為現(xiàn)在的價格信息對未來不會產(chǎn)生影響，即市場是有效的。 反持久性序列 持久性增強序列 不同 H值的含義 人大出版社 證券市場的 R/S分析（續(xù)） ? 彼得斯（ 198 1991）將 R/S分析方法運用于對資本市場的分析。 ? 其基本方法是利用股票的對數(shù)收益率來計算 H值。 – 案例 1：蘋果電腦對于 S P500的貝塔值是 ，而Consolidated Edison的貝塔值為 。按照資本資產(chǎn)定價模型，蘋果電腦股票的風險應大于Consolidated Edison股票。 – 但是，運用赫斯特指數(shù)分析的結(jié)果， Consolidated Edison股票的 H值為 ，表明它的系統(tǒng)中的噪聲多，該時間系列具有更短的持久性和更參差不齊，因而它的風險較大。蘋果電腦的 H值為 ，則表明它的系統(tǒng)中的噪聲少，該時間系列具有更強的可持久性和清楚的趨勢，因而它的風險較小。 人大出版社 例 2：證明滬深兩市是否存在持久性和分形結(jié)構(gòu) ? R/S分析方法的基本內(nèi)容是：對于一個時間序列 {xt}，把它分為 A個長度為 N的等長子區(qū)間，對于每一個子區(qū)間，設： ? (1) ? ? 其中， Mn為第 n個區(qū)間 xu的平均值， Xt,n為第 n個區(qū)間的累計離差。令： ? R = max(Xt,n) ? min(Xt,n) (2) ? 若以 S表示 xu序列的標準差，則可定義重標極差 R/S，它隨時間而增加。Hurst通過長時間的實踐總結(jié)，建立了如下關(guān)系： ? R / S = K(n)H (3) ? 對（ 3）式相邊取對數(shù)，得到（ 4）式： ? log(R / S)n = Hlog(n) + log(K) (4) ? 因此，對 log(n)和 log(R / S)n進行最小二乘法回歸就可以估計出 H的值。 ? 在對周期循環(huán)長度進行估計時，可用 Vn統(tǒng)計量，它最初是 Hurst用來檢驗穩(wěn)定性，后來用來估計周期的長度。 ? 人大出版社 ? 為了測算序列對隨機游走的偏離， Peters還引入了 E(R / S)n統(tǒng)計量，它的計算公式為： ? ? ? 對于一個時間序列，當 H≠，對應于方差比分析中 VR(q)≠1時的情況，收益率不再呈正態(tài)分布，時間序列各個觀測值之間不是互相獨立的，后面的觀測值都帶著在它之前的觀測值的“記憶”，這就是我們所說的長期記憶性，從理論上來說它是存在的。隨時間延長，前面觀測值對后面觀測值影響越來越少。因此，時間序列是一長串相互聯(lián)系的事件疊加起來的結(jié)果。為了描述現(xiàn)在對未來的影響，Mandelbrot引進了一個相關(guān)性度量的指標 CM，它表示的意思和 H是對應的。 ? CM = 2(2H ? 1) ? 1 ? 其中 CM表示在期間 M上的相關(guān)性。所以，當 H=，序列不相關(guān)；當 H0時，序列正相關(guān)；當 H0時，序列負相關(guān)。 人大出版社 ? 在檢驗過程中，使用對數(shù)收益率，對 502個周收盤價數(shù)據(jù)按下面公式進行處理，得到 501個數(shù)據(jù)組成的周收益率序列。為了消除序列的線性依賴，一般分析收益率序列的 AR(1)殘差，因為線性依賴會使分析偏離 Hurst指數(shù)或?qū)е碌谝活愬e誤（棄真）的發(fā)生。以 St為因變量， St ? 1為自變量，St對 St ? 1進行回歸，就可以得到 St的殘差序列。 – St = Ln(Pt / Pt ? 1) – Xt = St ? (a + bSt ? 1) 人大出版社 n log(n) R/S log(R/S) E(R/S) V統(tǒng)計量 R/S E(R/S) 上海 4 5 10 20 25 50 100 125 250 人大出版社 區(qū)間 截距 Hurst指數(shù) 估計的標準差 觀察個數(shù) R2 P 值 (F) CM 上海 4≤n≤250 9 4≤n≤20 4 20≤n≤250 5 人大出版社 人大出版社 結(jié)果說明： ? 上海 Hurst指數(shù)為 ，明顯大于隨機游走假設的臨界值 ，說明存在明顯的持久性和分形結(jié)構(gòu)。股票的周收益序列不同于普通的隨機游走，是一個有偏的隨機游走過程，這是因為序列的前后的記憶性在起作用。 ? 圖給出了滬深兩市 V統(tǒng)計量相對于 log(n)的變化趨勢。因為 V統(tǒng)計量是 (R/S)n相對于 ，所以當時間序列呈現(xiàn)出持續(xù)性（ H）時，比率就會增加， V統(tǒng)計量曲線就會一直上升；如果序列呈現(xiàn)出隨機游走（ H=）或反持續(xù)性（ H）， V統(tǒng)計量將大致保持不變或單調(diào)下降。所以， V統(tǒng)計量曲線由上升轉(zhuǎn)而為保持大致不變或下降的分界點就是序列長期記憶的消失點。上海在 n=20處V統(tǒng)計量停止增長，所以， n=20即為市場的分界點。分別就分界點前后的 log(n)和 log(R/S)序列進行回歸，可以計算分界點前后的Hurst指數(shù)（表）。以上海證券市場為例，分界點前， Hurst指數(shù)為，相關(guān)系數(shù) CM為 %，遠高于隨機游走時的情況；分界點后， Hurst指數(shù)僅有 ，接近隨機游走時的 。這表明序列中非周期成分是存在的，分界點處 n=20，即 20周就是非周期循環(huán)的長度。 人大出版社 本章重點知識小結(jié) ? 有效市場假說及其局限性； ? 什么是期望理論？ ? 行為金融學的發(fā)展； ? 幾種投資者行為分析。