【正文】 到期時(shí)（ T時(shí)刻）的期望值為：根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 c等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： （ ）對式（ ）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 其中，由于歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系 ,可得 169。2023,,*? (d1)是 的價(jià)值 (d2)是 X份看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。? N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說大于 X的概率， (d2)是 X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 (d1)是得到的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。? 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，（d1)就是股票的市值 ,(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。169。2023,,* 三、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式 （一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式 在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時(shí)，我們只要用（ S－ I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率 q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替 S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格，從而使布萊克 —— 舒爾斯的歐式期權(quán)定價(jià)公式適用歐式貨幣期權(quán)和股價(jià)指數(shù)期權(quán)的定價(jià)。 169。2023,,*? 對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價(jià)公式： ? ? ? 其中，? 例子見書 .169。2023,,*（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià) 1．美式看漲期權(quán) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，其方法我們在本章第一節(jié)已論述過。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T時(shí)刻和時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯(cuò)。 2．美式看跌期權(quán) 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。 169。2023,,*第五節(jié) 二叉樹期權(quán)定價(jià)摸型 ? 由于美式看跌期權(quán)無法用布萊克 —— 舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行精確定價(jià)，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，該模型是由科克斯（）、羅斯 ()和魯賓斯坦 ()于 1979年首先提出的。 169。2023,,* 一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格從開始的 S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值和中的一個(gè)，如圖 。其中， u1， d1，且 1 圖 ?T時(shí)間內(nèi)證券價(jià)格的變動(dòng) 為了對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，二叉樹模型也應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理并假定： （ 1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率； （ 2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)來計(jì)算現(xiàn)值。 S0u ?uS0d ?dS0 ?p(1 – p )169。2023,,*（一）參數(shù) p、 u和 d的確定 參數(shù) p、 u和 d的值必須滿足這個(gè)要求，即：根據(jù)本章第 2節(jié)的討論，在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是 。根據(jù)方差的定義，變量 X的方差等于 X2的期望值與 X期望值平方之差，因此：由上可得，169。2023,,*（二）證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 應(yīng)用二叉樹模型來表示證券價(jià)格變化的完整樹型結(jié)構(gòu)如圖 示。 圖 證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) 當(dāng)時(shí)間為 0時(shí)，證券價(jià)格為 S。 時(shí)間為 ?t時(shí)，證券價(jià)格要么上漲到，要么下降到；時(shí)間為 2 ?t時(shí)，證券價(jià)格就有三種可能： （等于 S）和 2，以此類推。一般而言，在時(shí)刻 i ?t ，證券價(jià)格有 1種可能，它們可用符號(hào)表示為： 其中 0， 1， 2， …… ， i169。2023,,*（三）倒推定價(jià)法 由于在 T時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值是已知的。 所以在二叉樹模型中，期權(quán)定價(jià)從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端 T時(shí)刻開始，采用倒推法定價(jià)。 例： S0 = 50。 X = 50。 r =10%。 s = 40%。 T = 5 = 。 = 1 = 則可得： u = 。 d = 。 a = 。 p = 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如下圖： 169。2023,,*169。2023,,*? 在時(shí)刻，股票在第 j個(gè)結(jié)點(diǎn)（ 0， 1， 2， ……i ）的價(jià)格等于。例如， F結(jié)點(diǎn)（ 4， 1）的股價(jià)等于。在最后那些結(jié)點(diǎn)處，期權(quán)價(jià)值等于。例如， G結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格等于 50－ =。 ? 從最后一列結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值可以計(jì)算出倒數(shù)第二列結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。首先，我們假定在這些結(jié)點(diǎn)處期權(quán)沒被提前執(zhí)行。這意味著所計(jì)算的期權(quán)價(jià)值是時(shí)間內(nèi)期權(quán)價(jià)值期望值的現(xiàn)值。 如 E結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值等于：? ? 而 F結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值等于： ? 然后，我們要檢查提前執(zhí)行期權(quán)是否較有利。在 E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價(jià)值為 0 ，所以不應(yīng)提前執(zhí)行。而在 F結(jié)點(diǎn)，如果提前執(zhí)行，期權(quán)價(jià)值等于 － ，等于 ，大于上述的 。因此，若股價(jià)到達(dá) F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提前執(zhí)行。? 用相同的方法我們可以算出各結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值，并最終倒推算出初始結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值為 。 169。2023,,*? （四）美式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 ? 其中 0， 1， 2，…… ， N? 假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下： ? 如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話，式中的必須與期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值比較，由此可得：? 按這種倒推法計(jì)算，當(dāng)時(shí)間區(qū)間的劃分趨于無窮大，或者說當(dāng)每一區(qū)間趨于 0時(shí)，就可以求出美式看跌期權(quán)的準(zhǔn)確價(jià)值。根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，一般將時(shí)間區(qū)間分成 30個(gè)就可得到較為理想的結(jié)果。 169。2023,,*二、有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) （一）支付連續(xù)復(fù)利收益率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率 q的收益時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長率應(yīng)該為 r－ q， 因此可得：對于股價(jià)指數(shù)期權(quán)來說， q 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， q為國外無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此上式也可用于股價(jià)指數(shù)和外匯的美式看跌期權(quán)的定價(jià)。對于期貨期權(quán)來說，布萊克曾證明，在對期貨期權(quán)定價(jià)時(shí)期貨的價(jià)格可以和支付連續(xù)紅利率 r的證券同樣對待，因此對于期貨期權(quán)而言，即：因此，也就可用于美式期貨看跌期權(quán)的定價(jià)。 169。2023,,*（二）支付已知收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 1．已知紅利率 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時(shí)間將支付已知收益率 ?，我們只要調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格就可算出期權(quán)價(jià)格。調(diào)整方法如下：如果時(shí)刻 i 在除權(quán)日之前，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格仍為： 如果時(shí)刻 i 在除權(quán)日之后，則結(jié)點(diǎn)處證券價(jià)格相應(yīng)調(diào)整為： 0， 1， …… 對在期權(quán)有效期內(nèi)有多個(gè)已知紅利率的情況，也可進(jìn)行同樣處理。若 δi 為 0時(shí)刻到時(shí)刻之間所有除權(quán)日的紅利支付率，則時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為：169。2023,,*2．已知紅利額 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定日期將支付已知數(shù)額的收益，則除權(quán)后樹枝將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額收益的話。 為了簡化起見，我們?nèi)钥梢园炎C券價(jià)格分為兩個(gè)部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來紅利的現(xiàn)值。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一個(gè)除息日 ?，而且 x時(shí)刻不確定部分的價(jià)值 S*為： 當(dāng) x?時(shí)當(dāng) x=?時(shí)169。2023,,*? 其中 D表示收益金額。設(shè) 為 S*的標(biāo)準(zhǔn)差，假設(shè) 是常數(shù)，這樣就可用通常的方法構(gòu)造出模擬 S*的二叉樹了 。 通過把未來收益現(xiàn)值加在每個(gè)結(jié)點(diǎn)的證券價(jià)格上，就會(huì)使原來的二叉樹轉(zhuǎn)化為另一個(gè)模擬 S的二叉樹。在 iDt時(shí)刻，當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價(jià)格為：j=0， 1， 2…… ， i? 當(dāng) 時(shí)，這個(gè)樹上每個(gè)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的證券價(jià)格為：j=0， 1， 2…… ， iCopyright169。ZhenlongZheng2023,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*謝 謝一月 2120:32:3920:3220:32一月 21一月 2120:32 20:3220:32:39一月 21一月2120:32:392023/1/25 20:32:39? 靜夜四無 鄰 ，荒居舊 業(yè)貧 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 雨中黃葉 樹 ，燈下白 頭 人。 20:32:3920:32:3920:321/25/2023 8:32:39 PM? 1以我獨(dú)沈久，愧君相 見頻 。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1故人江海 別 ，幾度隔山川。 20:32:3920:32:3920:32Monday, January 25, 2023? 1乍 見 翻疑夢，相悲各 問 年。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1他 鄉(xiāng) 生白 發(fā) ，舊國 見 青山。 25 一月 20238:32:39 下午 20:32:39一月 21? 1比不了得就不比，得不到的就不要。 。 一月 218:32 下午 一月 2120:32January 25, 2023? 1行 動(dòng) 出成果，工作出 財(cái) 富。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時(shí) ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點(diǎn)的射 線 向前。 8:32:39 下午 8:32 下午 20:32:39一月 21? 沒有失 敗 ，只有 暫時(shí) 停止成功！。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 很多事情努力了未必有 結(jié) 果，但是不努力卻什么改 變 也沒有。 20:32:3920:32:3920:321/25/2023 8:32:39 PM? 1成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的 積 累。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1世 間 成事，不求其 絕對圓滿 ，留一份不足，可得無限完美。 20:32:3920:32:3920:32Monday, January 25, 2023? 1不知香 積 寺，數(shù)里入云峰。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1意志 堅(jiān) 強(qiáng) 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 25 一月 20238:32:39 下午 20:32:39一月 21? 1楚塞三湘接， 荊門 九派通。 。 一月 218:32 下午 一月 2120:32January 25, 2023? 1少年十五二十 時(shí) ，步行 奪 得胡 馬騎 。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 8:32:39 下午 8:32 下午 20:32:39一月 21? 楊 柳散和 風(fēng) ，青山澹吾 慮 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 閱讀 一切好 書 如同和 過 去最杰出的人 談話 。 20:32:3920:32:3920:321/25/2023 8:32:39 PM? 1越是沒有本 領(lǐng) 的就越加自命不凡。 一月 2120:32:3920:32Jan2125Jan21? 1越是無能的人，越喜 歡 挑剔 別 人的 錯(cuò) 兒。 20:32:3920:32:3920:32Monday, January 25, 2023? 1知人者智，自知者明。 勝 人者有力，自 勝 者 強(qiáng) 。 一月 21一月 2120:32:3920:32:39January 25, 2023? 1意志 堅(jiān) 強(qiáng) 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 25 一月 20238:32:39 下午 20:32:39一月 21? 1最具挑 戰(zhàn) 性的挑 戰(zhàn) 莫 過 于提升自我。 一月 218:32 下午 一月 2120:32January 25, 2023? 1 業(yè) 余生活要有意 義 ，不要越 軌 。 2023/1/25 20:32:3920:32:3925 January 2023? 1一個(gè)人即使已登上 頂 峰，也仍要自 強(qiáng) 不息。 8:32:39 下午 8:32 下午 20:32:39一月 21MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. 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