【正文】 式看漲期權和看跌期權的Gamma均為 () Vega vega定義為在其他變量保持不變的條件下期權價格變化對標的資產波動率變化的比率，即 () 標的資產價格波動對期權價格有著重大影響．在其他條件一定的條件下，波動率越大期權價格越高；波動率越小，期權價格越低．在對沖風險過程中，Vega是一個重要指標．B1ack—Scholes期權定價公式假定標的資產價格波動率為已知常數，這一假定是不符合實際的．所以，在實際交易過程中，投資者要面臨著波動率變動的風險，為了規(guī)避這種風險，必須縮小期權的Vega，把波動率變化可能造成的損失降低到最?。? 不支付紅利股票的歐式看漲和看跌期權的Vega為 （） d對沖 Rho定義為在其他變量不變時期權價格c變化與利率f變化之間的比率，即 （） Rho反映了利率變化對期權價格的影響程度，因此在利率變動比較頻繁的時期，Rho將是一個重要的敏感指標．由于利率變動對看漲期權的價格有正的影響，對看跌期權的價格有負的影響，所以看漲期權的Rho值一般大于零，而看跌期權的Rho值一般小于零． 不支付紅利股票的歐式看漲期權的Rho為 （） 支付紅利股票的歐式看跌期權的Rho為 （） 分析：對沖參數的公式中包含和．這兩個問題前面已經解決，故上述對沖參數的程序實現起來并不難．例5．5．1 考慮一個不支付紅利股票的歐式看漲期權，其標的資產價格是$50，行權價格是$50，無風險年利率是l0％，年波動率是30％，權力期間還有6個月．試求其相應的對沖參數.至此，我們介紹了不支付紅利股票的歐式期權的對沖參數，并給出了其中的歐式看漲期權的對沖參數計算程序．參考這些程序讀者可給出相應的歐式看跌期權的對沖參數及支付紅利股票的歐式期權對沖參數的計算程序．167。 隱含波動率 隱含波動率是一個在市場上無法觀察到的波動率，是通過BlackScholes期權定價公式計算出來的波動率．由于我們無法給出它的解析式，因此只能借助于數值計算給出近似解．本節(jié)介紹兩種計算隱含波動率的數值方法；二分法和牛頓迭代法． 二分法的設計思想相當簡單：如果某函數在一區(qū)間內符號有變化，則在此區(qū)間內該函數必有零點．根據這個思想，我們先計算該函數在給定區(qū)間內中點的值，并考查其符號變化，然后再用中點值替代與其有相同符號的端點．這樣，每經過一次迭代，包含零點的區(qū)間就縮小一半．假設經過n次迭代后，零點位于長度為的區(qū)間內，則在下一輪迭代結束后，這個零點將被劃界在長度恰好是的區(qū)間內．經過n次這樣的迭代后，包含零點的區(qū)間兩端就會逼近真值。注意：在使用二分法時，需要事先計算出達到給定精度的解所需要的迭代次數，其中為初始區(qū)間的長度，為迭代結束后所期望達到的精度，這給計算帶來很大的方便． 分析：根據上述二分法的基本思想，我們給出如下求解隱含波動率的步驟：(1）設定隱含波動率的上下限；(2)計算隱含波動率上、下限的平均值并代入BlackScho1es期權定價公式；(3)計算該期權價格與市場觀察到的期權價格之差，直到達到給定精度為止． 程序5．6．1 隱含波動率(二分法)．例5．6．1 假設當前觀察到的期權價格是$，標的資產價格是$21，期權的行權價格是$20，無風險年利率為10％，權利期間還有3個月，試求隱含波動率 解 在本例中，c=，S＝21，X＝20，r＝，Tt＝．根據二分法功率的步驟如下： (1)給出一個被動率的上、下限，并計算它們的平均值； (2)將計算出來的平均值代入BlackScholes期權定價公式計算期權的價格； (3)如果計算出來的期權價格大于期權價格的觀察值，縮小波動率的上、下限重新計算； (4)不斷重復上述過程直至計算結果逼近期權價格的觀察值．5．6．2牛頓選代法牛頓迭代法(Newton39。s method)又稱為牛頓拉夫遜方法(NewtonRaphson method)，是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程根的方法．這種方法的基本步驟如下：(1)將函數在點附近展開成泰勒級數：(2)取泰勒級數的前兩項近似得到設，求解方程，并令其解為，得到，這樣得到迭代公式經過次迭代，可以求出方程的近似解．根據牛頓迭代法，隱含波動率的計算步驟如下r(1)假設其他變量保持不變，認為函數是隱合波動率的一元函數，其中為市場上觀察到的期權價格，是由B1ackSchole期權定價公式計算出來的期權價格．(2)求函數的導數．(3)由下面迭代公式計算波動率，直到(是期望達到的精度)，根據牛頓迭代法計算隱含波動率的步驟，我們給出如下程序，供讀者參考． 程序5．6．2 隱含波動率(牛頓迭代法)．例5．6．3 試用牛頓迭代法計算例5．6．1的隱合波動率．解 在本例中，c＝，S＝2l，X＝20,r=,Tt=．根據牛頓迭代法，隱含波動率的計算步驟如下：(1)構造函數并計算該函數的導數；(2)由下面迭代公式計算波動率，直至167。 本章小結在本章，我們以B1ackScholes期權定價公式為主線先后介紹了維納過程、伊藤引理，B1ackScholes偏微分方程，BlackScho1es期權定價公式，支付紅利股票的歐式看漲期權定價和支付紅利股票的美式看漲期權定價，歐式期權的風險對沖參數和隱含波動率等，并給出了相應的程序．B1ackScholes偏微分方程是衍生證券所滿足的微分方程，適用于標的資產價格滿足幾何布朗運動的所有衍生證券．在給定歐式看漲期權和看躍期權的邊界條件下，可由該偏微分方程得出解析解，這個解即為著名的B1ack—scholes期權定價公式．B1ack—schole5期權定價公式提出之后，一大類衍生證券定價問題得到了解決．例如，支付紅利殿票的歐式朗權，支付紅利股票的美式看漲期權．我們以后還會看到，許多利率衍生證券、復雜期權等的定價都可經過適當的轉換，由BlackScho1es期權定價公式給出結果．BLackScholes期權定價公式的另外一重要的應用是風險對沖．在實際風險對沖中，我們可以通過一些變量變化與另外一些變量變化的比率來調整衍生證券頭寸與標的資產頭寸，達到對沖風險的目的．這些參數就是本章提到的Delta，Theta，Gamma，Vega和Rho．B1ackScholes期權定價公式中包含著一個重要的變量隱含波動率．這個波動率在市場上是無法觀察到的，是通過BlackScholes期權定價公式求解出來的．隱含波動率可用來監(jiān)視市場對于某種標的資產波動率的態(tài)度．由于我們無法給出隱含波動率的解析解，所以必須求助于數值方法．本章給出了計算隱含波動率的兩種方法：二分法和牛頓迭代法．