定價(jià)理論-第5章--期權(quán)定價(jià)理論-在線瀏覽
2024-09-15 05:28本頁(yè)面
【正文】 我們直接給出不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)與美式看跌期權(quán)之間的關(guān)系為 （）5．1．6紅利對(duì)于期極的影響1．對(duì)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)下限的影響 為了討論紅利對(duì)于看漲期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合： 組合A：一個(gè)價(jià)格為c的歐式看漲期權(quán)加上數(shù)額為的現(xiàn)金（D表示在期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值)； 組合B：一般價(jià)格是的股票． 經(jīng)過(guò)類似式(5．1．4)的推導(dǎo)，我們有 （）為了討論紅利對(duì)于歐式看跌期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合：組合A：一個(gè)價(jià)格為c的歐式看漲期權(quán)加上一股價(jià)格是的股票；組合B：數(shù)額為的現(xiàn)金．經(jīng)過(guò)類似式(5．1．6)的推導(dǎo)，我們有 （）在這里，我們直接給出以后各章將要用到的結(jié)果．當(dāng)存在紅利時(shí)，歐式看漲期權(quán)看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系修正為 （）對(duì)于美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，紅利將使得，從而看漲期權(quán)與看躍期權(quán)的平價(jià)關(guān)系修正為 （） 提前行權(quán)在這里，我們直接給出在下面幾章經(jīng)常用到的結(jié)論：結(jié)論5．1．1 在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)提前行權(quán)不是最優(yōu)的選擇。 股票價(jià)格的行為模型股票價(jià)格的變化是不確定的，適合用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述．如果某變量以不確定的方式隨時(shí)間變化，則稱該變量遵循隨機(jī)過(guò)程．隨機(jī)過(guò)程分為離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程兩種．一個(gè)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程是指標(biāo)的變量只能在確定的時(shí)間點(diǎn)上變化，而一個(gè)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程是指標(biāo)的變量可以在任何時(shí)刻發(fā)生變化．隨機(jī)過(guò)程還可分為連續(xù)變量隨機(jī)過(guò)程和離散變量隨機(jī)過(guò)程．在連續(xù)變量隨機(jī)過(guò)程中，該變量在某一范圍內(nèi)可以取任何值，而在離散變量隨機(jī)過(guò)程中，變量只能取某些離散值。維納過(guò)程是馬爾可夫過(guò)程的特殊形式．如果變量服從維納過(guò)程，則該變量的期望值為0，方差為1．股票價(jià)格模型通常用維納過(guò)程表達(dá)．在物理學(xué)中，這種過(guò)程也稱為布朗運(yùn)動(dòng)．如果變量服從維納過(guò)程，則其增量必須滿足如下兩個(gè)基本性質(zhì)： 與之間滿足關(guān)系 ()其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)值．性質(zhì)5．2．2 對(duì)任何兩個(gè)不同的時(shí)間間隔的值相互獨(dú)立．由性質(zhì)5．2．1，我們得出服從期望值為0，方差為，．2．2意味著變量服從馬爾可夫過(guò)程．再由性質(zhì)5．2．1，當(dāng)時(shí)，的微分形式為 （）5．2．2一般維納過(guò)程變量服從一般維納過(guò)程的定義如下： （）其中為常數(shù)，是一般維納過(guò)程的預(yù)期漂移率，是波動(dòng)率．式(5．2．3)由兩項(xiàng)組成，如果不考慮，則有 或 其中為在0時(shí)刻的值，經(jīng)過(guò)時(shí)刻后，的增加值為．如果僅考慮，則，可以看做是附加在變量軌跡上的噪聲或者波動(dòng)，這些噪聲或波動(dòng)是維納過(guò)程的倍。類似以上討論，我們可得出任意時(shí)間后，值的變化也服從均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．5．2．3 伊藤過(guò)程和伊藤引理如果上面隨機(jī)過(guò)程中的與是x和的函數(shù)，則可得到伊藤過(guò)程 （）伊藤過(guò)程中的預(yù)期漂移率和波動(dòng)率隨時(shí)間變化‘定理5．2．1(伊藤引理) 假設(shè)變量服從伊藤過(guò)程其中是維納過(guò)程．設(shè)是的二次連續(xù)可微函數(shù)，則遵從如下過(guò)程： （39。)因?yàn)? （）由此得到 （） ()將（）,()和（）代入式(39。所以，一般假設(shè)股票價(jià)格變化的比例服從一般維納過(guò)程，即因此，股票價(jià)格可用漂移率和波動(dòng)率的伊藤過(guò)程來(lái)描述，即其離散形式為 （）其離散形式為 （）如果和為常數(shù)，則稱式()為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)是最廣泛的描繪股票價(jià)格行為的模型．如果服從伊藤過(guò)程，則和的函數(shù)也服從伊藤過(guò)程： ()注意，和都受得影響．我們定義，因?yàn)?，則式中（）簡(jiǎn)化為 （）因?yàn)楹蜑槌?shù)，故式(5．2．13)也是維納過(guò)程，其漂移率是，波動(dòng)率是。167。 假設(shè)衍生證券價(jià)格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，則一定是和時(shí)間的某個(gè)函數(shù)。此時(shí)，終止條件轉(zhuǎn)化為初始條件注意到方程(5．3．13)中僅包含一個(gè)參數(shù)．令其中和是待定的常數(shù)．代入式(5．3．13)有結(jié)果現(xiàn)在選擇和使其滿足求解得到這樣得到式中滿足由偏微分方程知識(shí)有作變換得到這里其中是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；將代換為，得到將和代入式（），再利用整理后得到其中總結(jié)上述結(jié)論，我們有如下定理： 定理5．3．1(B1ackScholes歐式期權(quán)定價(jià)公式) 到期時(shí)刻為，行權(quán)價(jià)格為，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為 ()根據(jù)歐式看漲朗權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，容易得出不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式： () 在使用式(5．3．16)和式(5．3．17)之前首先要解決的計(jì)算問(wèn)題．)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，可以由下面公式近似求得： ()其中167。 當(dāng)存在多期紅利時(shí)，只有在最后一個(gè)除息日前執(zhí)行權(quán)才是明智的．因此，可以運(yùn)用公式（5．4．3)，其中要減去除最后紅利之外所有紅利的現(xiàn)值，變量應(yīng)等于最后的紅利，為最后的除息日期． 分析：式(5．4．3)用來(lái)近似計(jì)算美式看漲期權(quán)的價(jià)格．該式計(jì)算有兩個(gè)難點(diǎn)：一是求解,二是求解值．求解的程序我們事先編譯好放在一個(gè)文件夾中，當(dāng)使用的時(shí)候，在程序的開頭部分用指令“include”嵌入頭文件“，在計(jì)算美式看漲期權(quán)的函數(shù)主體中直接調(diào)用即可．求解值可調(diào)用函數(shù)option_price_call_black_scholes( .)． 上述兩個(gè)問(wèn)題得到解決之后，式(5．4．3)就是一個(gè)包含C++基本運(yùn)算的簡(jiǎn)單問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)起來(lái)就容易了．例5．4．2 考慮一美式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是$100，行權(quán)價(jià)格是$100，年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是10％，年波動(dòng)率是25％，權(quán)利期間還有1年，距離除息日有6個(gè)月的時(shí)間，預(yù)計(jì)派發(fā)的紅利是$10．試求該期權(quán)的價(jià)格．167。 5．5．1 Delta對(duì)沖 Delta定義為在其他變量不變的條件下期權(quán)價(jià)格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率，即 （）Delta隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化和時(shí)間的推移而不斷變化，因此在運(yùn)用Delta對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，需要定期調(diào)整對(duì)沖頭寸，否則就要承擔(dān)頭寸風(fēng)險(xiǎn)暴露的風(fēng)險(xiǎn)． 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的De
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