【正文】 變換得到這里其中是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；將代換為，得到將和代入式（），再利用整理后得到其中總結(jié)上述結(jié)論，我們有如下定理： 定理5．3．1(B1ackScholes歐式期權(quán)定價公式) 到期時刻為，行權(quán)價格為，標的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動的股票歐式看漲期權(quán)的價格為 ()根據(jù)歐式看漲朗權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，容易得出不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的定價公式： () 在使用式(5．3．16)和式(5．3．17)之前首先要解決的計算問題．)是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，可以由下面公式近似求得： ()其中167。 5．5．1 Delta對沖 Delta定義為在其他變量不變的條件下期權(quán)價格變化與標的資產(chǎn)價格變化的比率，即 （）Delta隨著標的資產(chǎn)價格的變化和時間的推移而不斷變化，因此在運用Delta對沖風險時，需要定期調(diào)整對沖頭寸，否則就要承擔頭寸風險暴露的風險． 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Delta為 (5．5．2)根據(jù)該式,在對一個歐式看漲期權(quán)的空頭進行Delta對沖時，在任何時候需要同時持有數(shù)量為的標的資產(chǎn)多頭．類似地，對一個歐式看漲期權(quán)的多頭進行Delta對沖，在任何時候需要同時持有數(shù)量為的標的資產(chǎn)空頭． 不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為. （5．5．3)由該式．為負值．這意味著看跌期權(quán)的多頭應(yīng)該利用標的資產(chǎn)的多頭頭寸來對沖風險，看跌期權(quán)的空頭應(yīng)該利用標的資產(chǎn)的空頭頭寸來對沖風險．5．5．2 對沖 定義為在其他變量不變時期權(quán)價格的變化相對于權(quán)力期間變化的比率，即 T (5．5．4) Theta一般是負值，它反映了期權(quán)價格隨著權(quán)力期間的減少而逐漸衰減的程度．因此，我們不可能用對沖的方法消除時間變化對期權(quán)價格的影響． 不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的為 （）式中，不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為5．5．3 Gamma對沖 Gamma反映了期權(quán)標的資產(chǎn)價格變動對期權(quán)Delta變動的影響程度,即 （） Gnmma大小反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸（當價格變動時），Delta中性是指Delta等于零的狀態(tài)(組合中性即組合沒有風險）．由于標的資產(chǎn)和衍生證券可以是多頭和空頭，所以Delta可大于零，也可小于零．如果組合內(nèi)標的資產(chǎn)和衍生證券數(shù)量匹配適當，整個組合的Delta等于零．然而Delta并非固定不變，隨著標的資產(chǎn)價格或者權(quán)利區(qū)間的變化，Delta也在變化．因此，進行風險對沖時就必須不斷隨著Delta的變化來調(diào)整頭寸，以保持Delta中性．在這種調(diào)整中，Gamma就是一個有用的指標，因為Gamma的大小正好反映了為保持Del飽中性而需要調(diào)整的頭寸． 不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma均為 () Vega vega定義為在其他變量保持不變的條件下期權(quán)價格變化對標的資產(chǎn)波動率變化的比率，即 () 標的資產(chǎn)價格波動對期權(quán)價格有著重大影響．在其他條件一定的條件下，波動率越大期權(quán)價格越高；波動率越小，期權(quán)價格越低．在對沖風險過程中，Vega是一個重要指標．B1ack—Scholes期權(quán)定價公式假定標的資產(chǎn)價格波動率為已知常數(shù)，這一假定是不符合實際的．所以，在實際交易過程中，投資者要面臨著波動率變動的風險，為了規(guī)避這種風險，必須縮小期權(quán)的Vega，把波動率變化可能造成的損失降低到最小． 不支付紅利股票的歐式看漲和看跌期權(quán)的Vega為 （） d對沖 Rho定義為在其他變量不變時期權(quán)價格c變化與利率f變化之間的比率，即 （） Rho反映了利率變化對期權(quán)價格的影響程度，因此在利率變動比較頻繁的時期，Rho將是一個重要的敏感指標．由于利率變動對看漲期權(quán)的價格有正的影響，對看跌期權(quán)的價格有負的影響，所以看漲期權(quán)的Rho值一般大于零，而看跌期權(quán)的Rho值一般小于零． 不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的Rho為 （） 支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的Rho為 （） 分析：對沖參數(shù)的公式中包含和．這兩個問題前面已經(jīng)解決，故上述對沖參數(shù)的程序?qū)崿F(xiàn)起來并不難．例5．5．1 考慮一個不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標的資產(chǎn)價格是$50，行權(quán)價格是$50，無風險年利率是l0％，年波動率是30％，權(quán)力期間還有6個月．試求其相應(yīng)的對沖參數(shù).至此，我們介紹了不支付紅利股票的歐式期權(quán)的對沖參數(shù)，并給出了其中的歐式看漲期權(quán)的對沖參數(shù)計算程序．參考這些程序讀者可給出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的對沖參數(shù)及支付紅利股票的歐式期權(quán)對沖參數(shù)的計算程序．167。 本章小結(jié)在本章，我們以B1ackScholes期權(quán)定價公式為主線先后介紹了維納過程、伊藤引理，B1ackScholes偏微分方程，BlackScho1es期權(quán)定價公式，支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)定價和支付紅利股票的美式看漲期權(quán)定價，歐式期權(quán)的風險對沖參數(shù)和隱含波動率等，并給出了相應(yīng)的程序．B1ackScholes偏微分方程是衍生證券所滿足的微分方程，適用于標的資產(chǎn)價格滿足幾何布朗運動的所有衍生證券．在給定歐式看漲期權(quán)和看躍期權(quán)的邊界條件下，可由該偏微分方程得出解析解，這個解即為著名的B1ack—scholes期權(quán)定價公式．B1ack—schole5期權(quán)定價公式提出之后，一大類衍生證券定價問題得到了解決．例如，支付紅利殿票的歐式朗權(quán)，支付紅利股票的美式看漲期權(quán)．我們以后還會看到，許多利率衍生證券、復雜期權(quán)等的定價都可經(jīng)過適當?shù)霓D(zhuǎn)換，由BlackScho1es期權(quán)定價公式給出結(jié)果．BLackScholes期權(quán)定價公式的另外一重要的應(yīng)用是風險對沖．在實際風險對沖中，我們可以通過一些變量變化與另外一些變量變化的比率來調(diào)整衍生證券頭寸與標的資產(chǎn)頭寸，達到對沖風險的目的．這些參數(shù)就是本章提到的Delta，Theta，Gamma，Vega和Rho．B1ackScholes期權(quán)定價公式中包含著一個重要的變量隱含波動率．這個波動率在市場上是無法觀察到的，是通過BlackScholes期權(quán)定價公式求解出來的．隱含波動率可用來監(jiān)視市場對于某種標的資產(chǎn)波動率的態(tài)度．由于我們無法給出隱含波動率的解析解，所以必須求助于數(shù)值方法．本章給出了計算隱含波動率的兩種方法：二分法和牛頓迭代法．